La Statistica

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La Statistica

• La statistica è una disciplina che ha come fine
  lo studio quantitativo e qualitativo di un
  particolare fenomeno. Studia i modi (descritti
  attraverso formule matematiche) in cui una realtà
  fenomenica - limitatamente ai fenomeni collettivi
  - può essere sintetizzata e quindi compresa.

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Introduzione

• La statistica è la scienza che studia fenomeni di
  interesse generale,ed è una parte di studio della
  matematica.
• Essa si divide in 1) metodologica
• 2) applicativa.
• La prima riguarda il metodo statistico e i
  concetti di carattere generale,la seconda
  utilizza il metodo statistico nei più svariati
  campi.
• Appartengono alla Statistica applicata discipline
  quali
• -la statistica demografica
• -la statistica biometria
• -la statistica sanitaria
• -la statistica economica
• -la statistica giudiziaria

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Indagine statistica

• Unindagine statistica si articola nelle seguenti
  fasi
• Prima fase determinazione del fenomeno da
  sottoporre a ricerca statistica
• Seconda fasedeterminazione della popolazione
  oggetto dellindagine statistica
• Terza faserilevazione dei dati statistici o
  caratteri
• Quarta faserilevazione dei dati statistici
• Quinta fasespoglio o rappresentazione grafiche
  dei dati rilevati
• Sesta faseelaborazione dei dati che consente di
• -formulare leggi empiriche
• -ricavare previsioni
• -operare scelte e prendere decisioni applicative

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Statistica
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Determinazione del fenomeno da sottoporre ad
indagine statistica

• La Statistica ricerca le leggi che regolano i
  fatti appartenenti a due distinte classi di
  fenomeni
• la classe dei fenomeni naturali
• la classe dei fenomeni sociali.
• I fenomeni relativi alla prima classe sono
  denominati naturali perché cadono sotto il
  dominio delle scienze naturali quali la fisica,
  la chimica, la biologia, ecc. Essi, non solo si
  possono osservare nelle manifestazioni spontanee,
  ma, in diversi casi, si possono riprodurre in
  laboratorio attraverso esperimenti svolti con
  modalità e condizioni ambientali invarianti.
• Le leggi che si ricavano sono, nella maggioranza
  dei casi, espresse in termini matematici, in
  altre parole, esiste una relazione algebrica che
  lega le grandezze protagoniste del fenomeno.
• I fenomeni relativi alla seconda classe sono
  denominati sociali perché cadono sotto il
  dominio delle scienze sociali, quali la
  demografia, leconomia, la psicologia, la sanità,
  la sociologia, ecc.
• I fenomeni sociali, al contrario di quelli
  naturali, non si possono ricostruire in
  laboratorio, sicché bisogna accontentarsi di
  osservarli nelle condizioni di tempo e di luogo
  in cui si manifestano spontaneamente e da cui si
  ricavano leggi empiriche cioè non riproducibili
  in relazioni matematiche.
• Se consideriamo i seguenti fenomeni di studio
• fenomeno relativo alla caduta di un grave
• fenomeno relativo alle nascite avvenute in Italia
  dal 1974 al 1984,
• il primo è un fenomeno naturale il secondo è
  sociale.
• home

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Determinazione della popolazione

• Nella seconda fase, dopo aver determinato il
  fenomeno che si vuole sottoporre a ricerca
  statistica, si stabilisce su quale spazio di
  elementi si dovrà porre tale indagine. Tale
  spazio detto popolazione è strettamente legato al
  tipo di fenomeno da studiare. Se lo spazio è
  tutta la popolazione lindagine è totale
  (ricordiamo i censimenti) altrimenti è parziale e
  si stabilisce uno spazio campione su cui lavorare
  che deve riprodurre lo spazio campione in modo
  uniforme (ad esempio stessa percentuale di
  maschi, donne, bambini, anziani ecc.).
• home

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Schema caratteri di una unità statistica

• Si possono distinguere due tipi di caratteri
• caratteri di tipo qualitativo
• caratteri di tipo quantitativo
• Un carattere di tipo qualitativo si esprime
  mediante aggettivi o nomi detti modalità.
• Un carattere di tipo quantitativo si esprime
  attraverso modalità numeriche

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Caratteri

• Popolazioni o universo
• Unità statistiche
• Caratteri delle unita statistiche
• Caratteri di tipo qualitativo
  Caratteri di tipo quantitativo
• (Modalità non numeriche
• classi aggettivi, nomi, professioni,ecc)
  (Modalità numeriche, intensità, oppure
  classi di intensità).
• Serie statistica
  Seriazione statistica
• (Successione dei dati statistici,
  (Successione dei dati
  statistici
• cioè delle frequenze)
  cioè
  delle frequenze)
• 
  
• 
  Caratterecontinuo Carattere discreto
• (le intensità assumono soltanto un numero finito
  di valori)
  
  (Le intensità assumonotutti gli
  infiniti valori numerici reali
  di intervallo)

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Rilevazione dati

• La rilevazione in funzione del tempo si può
  suddividere in
• rilevazioni continue
• rilevazioni periodiche
• rilevazioni occasionali.
• Una rilevazione si suddivide in totale se
  effettuata sulle unità statistiche di tutto
  luniverso della popolazione, altrimenti è
  parziale ed è effettuata su uno spazio campione.

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Rilevazione dei dati



Rivelazione totale dati

svantaggi


problema dellestensione

quantitativa
del

campione problema della


composizione qualitativa


del campioneproblema


dellestensione dei risultati


dal campione alluniverso.
Rilevazione parziale Ristretta ad una parte
delluniverso vantaggi risparmio di tempo
risparmio di spesa
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INDICI DI POSIZIONE CENTRALE

• Gli indici di posizione centrale sono chiamati,
  più precisamente, valori medi o medie di un
  insieme di dati statistici.
• Un valore medio di un insieme di dati numerici
• x1,x2,,xn
• è un particolare numero M che, da solo, è capace
  di rappresentare sinteticamente l intero insieme
  dei predetti dati che, per scopi prefissati, è ad
  esso sostituibile.
• È facile convincersi che M è, in ogni caso, un
  numero compreso tra il minimo e il massimo dei
  dati x1,x2,,xn.
• I valori medi più importanti sono i seguenti
• 1) la media aritmetica
• 2) la moda
  
• 3) la mediana
• La media aritmetica è il rapporto tra la somma
  dei valori e il numero totale dei valori n.
• 
  
• 
  
• La moda è il valore che si ripete con maggiore
  frequenza,mentre la mediana è il valore centrale
  dellinsieme ordinato dei valori .
• Dora in poi con M indicheremo la media aritmetica

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Indici di variabilità

• 1)Campo di variazione
• È il più semplice degli indici di variabilità.
  Esso è dato dalla differenza tra il dato massimo
  e il dato minimo. Ossia
• 
  
• Tale indice equivale allampiezza del minimo
  intervallo che contiene tutti i dati.

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Indici di variabilità

• 2)Scarto semplice medio
• Si ottiene la formula di un nuovo indice di
  variabilità, detto scarto semplice medio
• 
  
• Lo scarto semplice medio è uguale alla media
  aritmetica dei valori assoluti degli scarti
  semplici di ciascun dato x dalla media aritmetica
  M.

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Indici di variabilità

• 3)Varianza
• Consideriamo la successione di dati statistici
  
• aventi la seguente media aritmetica
• Le differenze sotto indicate
• tra ciascun dato e la media aritmetica si
  chiamano scarti semplici dei dati statistici
  dalla loro media aritmetica M. Si verifica
  facilmente che la sommatoria di tutti gli scarti
  semplici è uguale a zero, ossia che
• Se calcoliamo la media aritmetica di questi
  scarti quadratici
• 
  

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Indici di variabilità

• Ricaviamo un indice di variabilità detto varianza

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Indici di variabilità

• 4)Scarto quadratico medio
• Eseguendo la radice quadratica della varianza,
  otteniamo per risultato quellimportante indice
  di variabilità che si chiama scarto quadratico
  medio

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Indici relativi della variabilità

• Gli indici E, S, , che abbiamo presentato,
  sono indici assoluti,ossia sono espressi nella
  stessa unità di misura dei dati da elaborare.
• Gli indici assoluti servono solo per confrontare
  le variabilità di due insiemi di dati
  omogenei,cioè che siano valori della stessa
  grandezza infatti, non ha alcun senso
  confrontare direttamente, per esempio,temperature(
  C) con lunghezze (m),oppure masse(kg)con
  tempi(sec),ecc.
• Per poter confrontare due successioni di dati non
  omogenei,cioè due insiemi di valori di due
  grandezze distinte,occorre svincolarsi dalle
  rispettive unità di misura. Tale obbiettivo si
  raggiunge introducendo nuovi indici, detti indici
  relativi di variabilitàessi sono numeri puri che
  si ottengono,in generale,dai rapporti degli
  indici assoluti di variabilità con la media
  aritmetica dei dati.

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Indici relativi della variabilità

• 1)IL CAMPO DI VARIAZIONE RELATIVO
• ER E/M
• 2)LO SCARTO SEMPLICE MEDIO RELATIVO
• SR S/M
• 3)LO SCARTO QUADRATICO MEDIO RELATIVO
• /M

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Grafici

• Nella quinta fase la rilevazione statistica può
  essere rappresentata con vari tipi di grafici
  essi sono
• Gli ideogrammi rappresentano lentità di una
  grandezza con un simbolo che richiama alla mente
  lidea di ciò che si intende rappresentare, ad
  esempio la popolazione di un territorio può
  essere rappresentata attraverso luso di figure
  stilizzate di uomini e donne ogni simbolo
  rappresenta una quantità ad esempio ogni figura
  stilizzata rappresenta 100.000 abitanti talvolta
  i simboli hanno dimensione fissa e varia il
  numero, in altri casi varia la dimernsione del
  simbolo. In ogni caso la legenda ci fornisce la
  chiave di lettura da utilizzare.

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Grafici

• Gli istogrammi lineari sono grafici in cui le
  grandezze che descrivono dei fenomeni sono
  rappresentate da linee spezzate in un riferimento
  cartesiano ortogonale

Questo è il grafico delle oscillazioni dei prezzi
di combustibili fossili dal 1980 al 2001in
dollari/barili equivalenti di petrolio
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Grafici

• Gli ortogrammi o istogrammi a colonne sono
  grafici in cui le grandezze che descrivono dei
  fenomeni sono rappresentate da figure
  geometriche, in genere rettangoli o
  parallelogrammi la cui altezza o area o volume è
  proporzionale al fenomeno che rappresenta
  talvolta questi grafici vengono ruotati di 90 in
  modo che le figure geometriche siano poste
  orizzontalmente.

Questo istogramma rappresenta la crescita della
popolazione di alcune grandi città del cosiddetto
terzo mondo le barre di diverso coloro
permettono di confrontare la crescita della
popolazione della città vera e propria con la
crescita della popolazione della baraccopoli
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Grafici

• Gli areogrammi larea del cerchio (o del
  quadrato) rappresenta la totalità del fenomeno,
  ossia il 100, ogni spicchio corrisponde ad una
  data percentuale sono anche comunemente detti
  grafici a torta.

Areogrammi o grafici a torta si utilizzano per
rappresentare le componenti di un fenomeno
come puoi vedere sono molto facili da leggere e
consentono una percezione immediata delle
proporzioni
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Grafici

• I cartogrammi si usano per raffigurare la
  distribuzione di un fenomeno su un territorio,
  infatti la base del cartogramma è una carta
  geografica sulla quale vengono visualizzati con
  opportuni simboli gli elementi che si intendono
  rappresentare, ad esempio i minerali, le
  industrie, i prodotti agricoli e così via.

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Cartogramma
Rappresenta i saldi provvisori dei movimenti di
energia elettrica in Italia nel 2003 in GWh.
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ELABORAZIONE DEI DATI

• L elaborazione dei dati è quella fase dell
  indagine statistica che consiste nella
  trasformazione dei dati grezzi rilevati in nuovi
  dati, ricavati matematicamente, dotati della
  proprietà di essere più sintetici, indicati e
  interpretabili ai fini della scoperta delle leggi
  empiriche che regolano il fenomeno in oggetto.
• Prenderemo in esame quelle elaborazioni che
  portano alla determinazione di due importanti
  tipi di indici sintetici gli indici di posizione
  centrale o medie e gli indici di dispersione o di
  variabilità.
• Si costruisce una tabella delle frequenze per
  ogni dato (frequenza numero di volte che il dato
  si ripete) con relativo grafico

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La distribuzione

• Quando dobbiamo giudicare un evento possiamo
  descriverlo con la distribuzione dei suoi
  possibili valori. Se analizziamo la distribuzione
  di un campione di persone che seguono un certo
  programma televisivo per decadi di età, magari
  otteniamo un grafico di questo tipo

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Curva di Gauss

• Le cose si complicano quando ho molti valori
  possibili, addirittura infiniti.Supponiamo per
  esempio di effettuare tante misurazioni di una
  stessa grandezza con uno strumento avremo
  risultati differenti, dovuti all'inevitabile
  imprecisione del nostro strumento e del nostro
  operato, che sono detti errori accidentali. Se
  rappresentiamo le misure ottenute su un grafico,
  se il numero di misurazioni è molto grande, al
  limite infinito, la curva che otterremo è proprio
  la curva di Gauss.

Si tratta di una curva dalla classica forma a
campana che ha un massimo attorno alla media dei
valori misurati e può essere più o meno stretta a
seconda della dispersione dei valori attorno alla
media la dispersione si misura con la deviazione
standard praticamente una delle proprietà della
gaussiana è che il 68 delle misurazioni
differisce dalla media meno della deviazione
standard e che il 95 meno di due deviazioni
standard quindi maggiore è la deviazione
standard, più la gaussiana è "aperta" e più c'è
la possibilità che la media (il punto più alto)
non sia rappresentativo di tanti casi.Anche nel
caso della curva di Gauss l'area sottesa dalla
curva vale 1 perché la somma delle probabilità di
tutti i valori dà 1, cioè la certezza.
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Un esempio reale

• La distribuzione di Gauss è spesso detta normale.
  L'aggettivo è significativo perché indica che
  moltissimi fenomeni possono essere descritti da
  una curva gaussiana o Gauss-like (cioè
  simile).Se è vero che la gaussiana vale per una
  popolazione infinita di misurazioni e per eventi
  del tutto casuali, è altresì vero che curve a
  campana (Gauss-like) possono descrivere
  facilmente molti fenomeni per detti fenomeni
  anche i concetti di media e di deviazione
  standard continuano a essere validi, anche se
  spesso solo il primo può essere definito con una
  notevole precisione.
• Supponiamo di considerare l'altezza degli
  italiani maschi. Analizziamo un campione di 1.000
  soggetti. Probabilmente otterremmo una curva a
  campana, centrata attorno a una media, del tipo
  174 cm di media con una "deviazione standard" di
  circa 20 cm, cioè il 95 dei soggetti analizzati
  sarebbe compreso fra 154 cm e 194 cm.

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APPROFONDIMENTI

• CENNI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA
• Si definisce variabile casuale x (o aleatoria)
  una quantità variabile che può assumere i valori
  X1, X2, Xn, al realizzarsi degli eventi
  incompatibili e complementari E1, E2, En aventi
  rispettivamente probabilità p1, p2, pn.
• Definiamo uno spazio di probabilità O in questo
  modo
• 1) p (O) 1 con O E1 ? E2 ? ? En
• 2) p (Ø) 0
• 3) 0 p (Ei) 1 con i1, n
• 4) p (E1 ? E2) p (E1) ? p (E2)
• con Ei incompatibili cioè i ? j

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Funzione di probabilità

• Si dice variabile casuale continua una variabile
  casuale che può assumere qualsiasi valore reale
  appartenente a un certo intervallo limitato o
  illimitato.
• Per descrivere una variabile casuale continua non
  si può più utilizzare una distribuzione di
  probabilità P(x) la quale, per ogni x, dà la
  probabilità che X assuma proprio quel valore,ma
  sarà necessario ricorrere alla funzione di
  ripartizione, che esprime la probabilità che la
  variabile causale assuma valori compresi in un
  certo intervallo, o alla funzione di densità.

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Distribuzione di Gauss

• Tra le variabili casuali continue, la più
  importante per la varietà di situazioni in cui
  trova applicazione è quella a distribuzione
  normale o di Gauss, che assume qualsiasi valore
  reale, avente la seguente funzione di densità.
• f(x)
• I parametri che descrivono tale distribuzione
  sono
• - M, che corrisponde al valore medio M(X) e
  quindi rappresenta il valore rispetto a cui la
  distribuzione è simmetrica
• - s, che è lo scarto quadratico medio s(X),
  quindi rappresenta la dispersione della
  distribuzione attorno al valore medio.

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Errori di misura

• La teoria degli errori si occupa di determinare
  lerrore che si commette quando si approssima un
  numero c con un valore a che gli si avvicina.
• Lapprossimazione, che può essere per difetto, se
  a lt c,o per eccesso, se a gt c, si effettua per
  esempio quando si arrotonda a una certa cifra un
  numero irrazionale, oppure quando il valore da
  utilizzare deriva da una misurazione che, a
  seconda della precisione degli strumenti
  utilizzati o dalla correttezza delle operazioni
  di misurazione, fornisce un valore prossimo, ma
  non coincidente, con il reale valore della
  grandezza.
• Ci occuperemo di quest ultimo tipo di
  approssimazione, considerando cioè gli errori di
  misura.
• Tali errori vanno valutati quando in una
  misurazione è richiesta una certa
  precisione,quindi quando è opportuno effettuare
  più misurazioni di una stessa grandezza, che
  spesso non danno il medesimo risultato. Ciò può
  riguardare la valutazione di una lunghezza, di un
  peso, di un voltaggio, eccetera.

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Errori di misura

• Supponendo di poter eliminare gli errori derivati
  dallimprecisione degli strumenti, consideriamo
  solo gli errori casuali, che dipendono
  dallaccuratezza della misurazione.
• Definiamo innanzi tutto lerrore assoluto.
• Nella misurazione di una grandezza lerrore
  assoluto ea è il valore assoluto della differenza
  fra il valore xi ottenuto dalla misurazione e il
  valore esatto c, cioè
• ea xi c

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Errori di misura

• Indichiamo con xi il valore ottenuto dalle
  misurazioni perché supponiamo di effettuare più
  misurazioni e di ottenere quindi più valori di
  ea.
• Per determinare i valori precisi di ea si può
  solo effettuare una stima di ea.
• Da n misurazioni si ottengono n valori
  x1,x2,,xn, dei quali è possibile calcolare la
  media
• M
• Tale valore M viene considerato come valore
  esatto c,quindi gli scarti in valore assoluto
  x1- M, x2 M,.....,xn M corrispondono ai
  valori degli errori assoluti ea.

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Errori di misura

• Se consideriamo la distribuzione degli errori
  assoluti casuali,possiamo verificare che essa
  segue un andamento di tipo gaussiano, quindi la
  sua funzione di densità è
• F(x) con
  e

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Errori di misura
Ponendo z
si ottiene la funzione di densità della
distribuzione normale standardizzata
f(z)
avente M0 e
E possibile determinare la probabilità che
lerrore casuale sia contenuto in un certo
intervallo.
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Esempio

• Dopo aver utilizzato un certo numero di
  misurazioni di una grandezza, si è calcolato che
  M180,6 e 1,2. Determinare la probabilità che
  lerrore assoluto sia
• minore di 1
• minore di 2

a)Abbiamo
Per poter utilizzare la tavola della curva
normale standardizzata dobbiamo determinare i
valori di z z1
e z2
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Esempio
quindi risulta p
I valori di z si possono anche determinare
ponendo z1 -
e z2
Per la simmetria della funzione e utilizzando la
tavola di Excell, arrotondando il valore alla
seconda cifra decimale possiamo scrivere p
Otteniamo quindi una probabilità superiore al 50
che lerrore assoluto sia minore di 1. b)
Analogamente abbiamo
Trasformiamo nella normale standardizzata
z1
e z2
quindi,arrotondando alla seconda cifra decimale
il valore di z, p
La probabilità che lerrore assoluto sia minore
di 2 è 0,905.
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GRAFICI

• CALCOLO DELLA DISTRIBUZIONE NORMALE (O GAUSSIANA)
  E DELLA SUA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE FISSANDO
  MEDIA (M) E LA DEVIAZIONE STANDARD (s)
• M10 s5

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GRAFICI

• M0 s5

• M-10 s5