Universidad T

1
Universidad Técnica Particular de Loja

• PROCESAMIENTO DE SEÑALES

Carlos Carrión Betancourth EQBYTE.INC dsputpl_at_gma
il.com
Escuela de Electrónica y Telecomunicaciones
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Contenido de la presentación

• Característica Básicas
• Diseño a partir de polos y ceros
• Filtros FIR
• Método de las ventanas
• Método Optimo

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Ventajas Filtros Digitales

• Pueden tener características no posibles en los
  filtros análogos, por ejemplo la respuesta en
  fase lineal.
• Su desempeño no depende de las condiciones
  ambientales.
• La respuesta en frecuencia puede ser ajustada por
  software. Filtros adaptativos.
• Varios canales de entrada pueden ser aplicados al
  mismo filtro. Multiplexación.
• Los datos filtrados y no filtrados pueden ser
  almacenados para su uso futuro.
• Pueden diseñarse para muy bajas frecuencias.
• Pueden trabajar en un amplio rango de frecuencias
  solo cambiando la frecuencia de muestreo.

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Filtros Ideales
Pasabajas Pasaaltas
Pasabanda
-p p
-p p
-p p

• La ganancia es 1 y la respuesta en fase es
  lineal
• q(w) -wno

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Filtros FIR - IIR

• Los filtros FIR tienen respuesta en fase lineal.
  Importante en transmisión de datos, biomedicina,
  audio, imágenes. Los IIR tienen respuesta en fase
  no lineal especialmente cerca de los bordes.
• Al ser los FIR implementados por ecuaciones no
  recursivas siempre son estables. La estabilidad
  de los IIR no está garantizada.
• FIR requiere mas coeficientes, entonces mayor
  memoria, tiempo de procesamiento.
• Filtros análogos pueden transformarse a IIR
  logrando especificaciones similares. Esto no es
  posible con FIR.
• En general FIR es mas difícil de sintetizar
  algebraicamente.

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Filtros FIR IIR Ecuación en Diferencias
Filtros FIR
h(k) bk
Filtros IIR
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Pasos de diseño

• Especificación de requerimientos.
• Cálculo de coeficientes.
• Realización.
• Análisis de los efectos de palabra finita y
  análisis de desempeño.

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Pasos Especificación de Requerimientos

• dp desviación banda de paso
• ds desviación banda de rechazo
• fp frecuencia en el borde de banda pasante
• fs frecuencia en el borde de banda rechazo

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Pasos Cálculo de coeficientes

• Se calculan h(k), k0,1N-1 coeficientes. N es la
  longitud del filtro.
• Se calculan ak, bk para los filtros IIR.
• Filtros FIR
• Método de ventanas simple, pero sin control
  sobre los parámetros.
• Frecuencia de muestreo permite implementar FIR
  recursivos, computacionalmente mas eficientes.
• El método óptimo es actualmente muy empleado.
• Filtros IIR
• Tradicionalmente consiste en la transformación de
  un filtro análogo.
• Invariante al impulso la respuesta al impulso
  del filtro análogo es preservada pero no su
  respuesta en frecuencia en amplitud. No apropiado
  para pasa altas y rechaza banda.
• Bilineal filtros eficientes preservando la
  respuesta en frecuencia y en amplitud del filtro
  análogo pero no sus propiedades en el tiempo. Muy
  bueno para filtros selectivos.

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Pasos Análisis número de bits

• Fuentes de degradación en los cálculos pueden
  causar inestabilidad de IIR.
• Cuantización de la señal I/O.
• Cuantización de los coeficientes
• Errores de redondeo en los cálculos.
• Overflow

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Contenido de la presentación

• Característica Básicas
• Diseño a partir de polos y ceros
• Filtros FIR
• Método de las ventanas
• Método Optimo
• Filtros IIR
• Transformación bilineal
• Método invariante al impulso

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Pasa Bajas

• Tienen los polos cerca de la circunferencia
  unidad correspondiente a las bajas frecuencias
  (cerca de w0). Los ceros están cerca de la
  circunferencia unidad cerca de las altas
  frecuencias (wp)

H(z)1/(1-0.9z-1) y H(z)1/(1-(0.85j0.3)z-1)
(1-(0.85-j0.3)z-1)
13
Pasa Altas

• Características contrarias de los pasabajas. Se
  obtienen reflejando los polos y ceros en el eje
  imaginario.

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Resonadores digitales

• Son filtros pasa banda formados por 2 polos
  complejos conjugados en
• p1,2 re-jwo , 0ltrlt1
• Esto produce un pico cerca de w0

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Filtros ranura

• Filtros con uno o mas cortes profundos
  idealmente nulos perfectos. Empleados para
  eliminar frecuencias. Se introducen un par de
  ceros complejos conjugados en la circunferencia
  unidad con ángulo wo, tal que
• z1,2 e-jwo
• H(z)bo(1- ejwoz-1)(1- e-jwoz-1)
• H(z)bo(1-2z-1coswoz-2)

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Filtro ranura

• Para reducir el ancho de banda de la banda
  rechazada se insertan polos en la vecindad del
  nulo p1,2 e-jwo
• Entonces
• H(z)bo(1- 2z-1coswoz-2)(1- 2rz-1coswor2z-2)

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Filtro Ranura

• Ceros en wp/4, wp/2

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Contenido de la presentación

• Característica Básicas
• Diseño a partir de polos y ceros
• Filtros FIR
• Método de las ventanas
• Método Optimo
• Filtros IIR
• Transformación bilineal
• Método invariante al impulso

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Filtros FIR

• Respuesta en fase lineal
• Fáciles de implementar
• El diseño de filtros FIR consiste en obtener los
  valores de h(n) que cumplan los requerimientos
  del filtro
• Ventana
• Óptimo
• Frecuencia de Muestreo

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Contenido de la presentación

• Característica Básicas
• Diseño a partir de polos y ceros
• Filtros FIR
• Método de las ventanas
• Método Optimo
• Filtros IIR
• Transformación bilineal
• Método invariante al impulso

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Método de la ventana

• H(w) transformada de Fourier de h(n).
• Si se conoce H(w) puede obtenerse h(n).

H(w) 1 wltwc
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Filtros ideales

• Pasabajas
• Pasaaltas
• Pasabanda
• Rechazabanda

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Filtros ideales

• De la respuesta al impulso puede observarse que
  los filtros no son realizables al no ser
  causales.
• Además los filtros no son FIR por tener una
  respuesta infinita al impulso.
• h(n) debe truncarse en un valor M. Pero aparece
  el fenómeno de Gibbs.

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Filtros ideales

• Fenómeno de Gibb Al disminuir el número de
  armónicos para describir una señal cuadrada gt
  aparecen oscilaciones alrededor de la frecuencia
  de corte.
• Para no truncar abruptamente, primero se
  multiplica la respuesta ideal al impulso h(n) por
  una función ventana w(n) de duración finita.

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Tabla comparativa ventanas
Ventana Df Riple pasante dB Máx. atenua. rechazo dB w(n)
Rectangular 0.9/N 0.7416 21 1
Hamming 3.1/N 0.0546 44 0.50.5cos(2pn/N)
Hanning 3.3/N 0.0194 53 0.540.46cos(2pn/N)
Blackman 5.5/N 0.0017 74 0.420.5cos2pn/(N-1) 0.08cos4pn/(N-1)
Digital Signal Processing, A practica Approach.
IFEACHOR, Emmanuel y JERVIS, Barrie.
Addison-Wesley.1993.
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Ejemplo 1

• Diseñar un filtro pasabajas
• borde frecuencia de paso 1.5k
• Ancho transición 0.5k
• Atenuación banda de rechazo gt 50dB
• Frecuencia de muestreo 8k

27
Ejemplo 1

• hD(n) 2fcsinc(2nfc)
• La atenuación se consigue con Hamming o Blackman.
  Por simplicidad Hamming.
• Df 0.5k/8k 0.0625
• Df 3.3/N
• N 3.3/Df
• N 3.3/0.0625
• N 52.8
• N 53, número de coeficientes

28
Ejemplo 1

• w(n) 0.540.46cos(2pn/53), -26ltnlt26
• Se selecciona fc en la mitad de la banda de
  transición
• fc fc Df
• fc (1.5k 0.25k)/8k 1.75k/8k 0.21875

29
Ejemplo 1

• Como h(n) es simétrico se calculan solo
  h(0)h(26)
• Para n0
• hD(0) 2fcsinc(2nfc) 0.4375
• w(0) 0.540.46cos(2pn/53) 1
• h(0) hD(0)w(0) 0.4375
• h(1) hD(1)w(1) 0.31119
• h(2) hD(2)w(2) 0.06012
• h(26) hD(26)w(26) 0.000913

30
Ejemplo 1

• Cálculo de los coeficientes en Matlab
• n-2626
• fc 0.2187
• hd 2fcsinc(2nfc)
• w 0.540.46cos(2pin/53)
• hhd.w
• Hf,wfreqz(h,1,128)

31
Ejemplo1

• fvtool(h,1) Filter visualization tool

32
Ejemplo 1

• n-2626
• fc 0.2187
• hd 2fcsinc(2nfc)
• h hd.window(_at_hann,53)
• fvtool(h,1)

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Ventana de Kaiser

• Las ventanas anteriores tienen características
  fijas. La ventana de Kaiser tiene un parámetro
  para el control del riple b. Pueden alcanzarse
  atenuaciones muy altas.
• b 0 ventana rectángular
• b 5.44 similar a Hamming
• 0, si A 21dB
• b 0.5842(A-21)0.40.07886(A-21) si 21 lt Alt 50dB
• b 0.1102(A-8.7) si A 50dB
• N (A - 7.95)/(14.36Df)

34
Ejemplo 2

• Banda pasante 150-250Hz
• Ancho de transición 50Hz
• Atenuación banda rechazo 60dB
• Frecuencia de muestreo 1k

35
Ejemplo 2

• Kaiser
• N(A-7.95)/(14.36Df)
• (60-7.95)/(14.3650/1000)72.49
• N73.
• b0.1102(A-8.7)0.1102(60-8.7)5.65
• fc1 (150-25)/1000 0.125
• fc2 (15025)/1000 0.175

36
Ejemplo 2

• Cálculo en Matlab
• n-3636
• f10.275
• f20.125
• B5.65
• hd 2f1sinc(2nf1) - 2f2sinc(2nf2)
• w window(_at_kaiser,73,5.65)
• hhd.w
• Hf,wfreqz(h,1,128)
• subplot(2,1,1)
• plot(w/(2pi),20log10(abs(Hf)))grid on
• subplot(2,1,2)
• plot(w/(2pi),unwrap(angle(Hf)))grid on

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Contenido de la presentación

• Característica Básicas
• Diseño a partir de polos y ceros
• Filtros FIR
• Método de las ventanas
• Método Optimo
• Filtros IIR
• Transformación bilineal
• Método invariante al impulso

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Método óptimo

• Flexible, poderoso, requiere programa de diseño.
• Diseño
• D(w) filtro ideal
• H(w) filtro seleccionado
• Se define el error
• E(w) W(w)H(w) D(w)
• Donde W(w) es un factor de peso. El problema
  consiste en determinar H(w) dadas E(w) y W(w)
  para satisfacer D(w). W(w) permite determinar
  cual porción del filtrto actual es mas importante
  para el desempeño del filtro entre la banda
  pasante o la banda de rechazo.

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Método óptimo

• Para diseñar filtrtos óptimos en Matlab
• b gremez(n,f,a,w)
• La función permite diseñar los siguientes tipos
  de filtros
• b gremez(n,f,a,w) retorna n1 coeficientes de
  fase lineal con la respuesta deseada descritas en
  f y a. w es un vector de pesos, uno por banda,
  cuando se omite, todas las bandas tienen igual
  peso.