Elementarne funkcije

1
Elementarne funkcije

• Napisala Borka Jadrijevic

2
Ponovimo

• Svaka strogo monotona funkcija je injekcija.
• Za svaku funkciju f A ? ?, suženje f A ? f(A)
  je surjekcija.
• Ako je f A ? ? strogo monotona na nekom
  intervalu I ? A, onda je suženje f I ? f(I)
  bijekcija.

3
Ako je f A ? B bijekcija onda vrijedi

• Postoji funkcija g B ? A tako da vrijedi g ?
  f iA i f ? g iB .
• Funkcija g B ? A je jedinstvena, oznacavamo
  je g f -1 i nazivamo inverzna funkcija funkcije
  f.
• Graf inverzne funkcije f -1 je simetrican grafu
  funkcije f s obzirom na pravac y x.

4
Osnovne elementarne funkcije

• Konstantna funkcija
• Opca potencija
• Eksponencijalna funkcija
• iv) Logaritamska funkcija
• v) Trigonometrijske funkcije
• vi) Ciklometrijske funkcije

5
Konstantna funkcija
f(x) c, c ? ?
y
y c
c
x
f ? ? ? f(?) c
6
Opca potencija
f(x) xr, r ? ? \ 0

• Razlikujemo slucajeve
• r n ? ?
• 2. r -n ? ? \ ?
• 3. r m/n ? ? \ ?
• 4. r ? ? \ ?

Napomena ako je r 0, onda je x0 1, za x ? 0,
pa dobivamo suženje konstantne funkcije f(x) 1.
7
Potencije s prirodnim eksponentom
f(x) xn, n ? ?
y
y x
y x2
x
y x3
f ? ? ?, f(?) ? za n neparan, f(?)
0, ?) za n paran
8
Potencije s cijelobrojnim eksponentom
oblika f(x) x-n, n ? ?
y
y 1/x
y 1/x2
x
y 1/x3
9
Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) x1/n, n ? ? \ 1.
10
Primjeri
Neka je funkcija g1 0, ?)
? 0, ?) suženje funkcije g(x) x2. Funkcja
g1 je bijekcija.
1. n 2
yx2
y
yx
Definirajmo funkciju f1 0, ?) ? 0, ?) tako
da je f1(x) x1/2. Za svaki x ? 0,
?) vrijedi f1(g1(x)) (x2 )1/2 x x, te
za svaki y ? 0, ?) vrijedi g1(f1 (y))
(y1/2)2 y.
yx1/2
x
f(x) x1/2 f 0, ?) ? ? f( 0, ?) ) 0, ?)
Dakle, f1 g1-1
11
Uocimo
Suženje g2 (-?,0 ? 0, ?) funkcije g(x) x2
je bijekcija. Definirajmo funkciju f2 0, ?) ?
(-?,0 tako da je f2(x) -x1/2 . Za
svaki x ? (-?,0 vrijedi f2 (g2(x)) - (x2 )1/2
-x x, te za svaki y ? 0, ?) vrijedi
g2(f2 (y)) (-y1/2)2 y.
yx2
y
yx
x
y-x1/2
f(x) -x1/2 f 0, ?) ? ? f( 0, ?) ) (-?,0
Dakle, f2 g2-1
12
2. n3
Promatrajmo funkciju g(x) x3
. Funkcija g ? ? ? je bijekcija.
y
yx3
yx
yx1/3
x
Ako je f ? ? ? tako da je f(x) x1/3
onda za svaki x ? ? vrijedi f (g(x)) (x3
)1/3 x, te za svaki y ? ? vrijedi g(f
(y)) (y1/3)3 y.
f(x) x1/3 f ? ? ? f(?) ?
Dakle, f g-1
13
Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) xm/n, m/n ? ? \ ?.
Uz pretpostavku m ? ?, n ? ??, te M(m,n) 1
razlikujemo slucajeve

• n neparan i m gt 0, onda je D(f) ?,
• n neparan i m lt 0, onda je D(f) ?\ 0,
• n paran i m gt 0, onda je D(f) 0, ?),
• n paran i m lt 0, onda je D(f) (0, ?).

14
Primjeri
Graf od f1(x) x2/3 se naziva galeb.
y
y
y x3/2
y x-3/2
y x 2/3
y x-2/3
x
x
f1(x) x2/3, D(f1) ?,
f1(?) 0,?). f2(x)
x-2/3, D(f2) ? \ 0,
f2(? \ 0 ) (0,?).
f3(x) x3/2, D(f3) 0,?),
f3(0,?)) 0,?). f4(x) x-3/2,
D(f4) (0,?),
f4((0,?)) (0,?).
15
Potencije s realnim eksponentom
oblika f(x) xr, r ? ? \ ? .
Vrijedi

• za r gt 0 je D(f) 0,?),
• za r lt 0 je D(f) (0,?).

y
x
16

• Vrijedi opcenito
• Inverzna funkcija (suženja) opce potencije je
  opet opca potencija. Preciznije, ako je f(x) xr
  onda je
• f1 (y) y1/r , kad god ti izrazi imaju
  smisla.

y
y x1/r
y x
y xr
x
17
Eksponencijalna funkcija
1 lt a
0 lt a lt 1
y
y
y ax
y ax
x
x
f(x) ax, a gt 0 i a ? 1, f ? ? ?, f(?)
(0, ?).
18
Funkcija f(x) ax , f ? ? ? je strogo
monotona i f(?) (0, ?). Dakle, suženje f1 ?
? (0, ?) je bijekcija.
y
y
a gt 1
0 lt a lt 1
y ax
y ax
y x
y x
y logax
x
x
y logax
Definirajmo funkciju g ? loga (0, ?) ? ?,
tako da vrijedi g(f1(x)) loga (ax) x, za
svaki x ? ?, f1(g(y)) a loga (y) y, za
svaki y ? (0, ?).
Dakle, f1-1 g.
19
Logaritamska funkcija
1 lt a
0 lt a lt 1
y
y
y logax
x
x
y logax
f(x) logax, a gt 0 i a ? 1, f (0, ?) ? ?. f
((0, ?)) ?.
20
U primjeni su važne eksponencialne funkcije s
bazom 10 - dekadska i s bazom e prirodna, gdje
je e ? 2.71828... transcendentan broj, te
logaritamske po bazi 10, tzv. dekadski ili
Briggsov logaritam i po bazi e, tzv. prirodni
logaritam. Definiramolog10x log x
i logex ln x .
Uocimo 10, e gt 1 (graf!!)
21
Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije su

• sinus
• kosinus
• tangens
• kotangens

22
Namatanje pravca na kružnicu
1
T
x
T
1
x
0
O
O O T T
23
Namatanje pravca na kružnicu
Uocimo sve tocke oblika x2k? , k ? ?, se
namatanjem preslikaju u istu tocku.
O O T T S S
1
T S
O
1
x
x2p
0
T
S
24
Trigonometrijska kružnica
1
(cosx,sinx)
T
sinx
x
cosx
1
pT
25
Trigonometrijske funkcije
sinus
kosinus
y
y
1
1
?/2
?
-?
-?/2
x
2?
2?
x
-1
-1
f(x) cosx, f ? ? ? f(?) -1,1
f(x) sinx, f ? ? ? f(?) -1,1
26
tangens
y
x
-?
?/2
-?/2
3p/2
?
-3p/2
2?
y tgx
27
kotangens
y
x
-?
?/2
-?/2
3p/2
?
-3p/2
2?
y ctgx
f(x) ctg x, f A ? ?, f(A) ?,
gdje je A D(f) ? \ x ? ?
sin (x) 0, tj. A ? \ x ? ? x
kp, k ? ? .
28
Trigonometrijska kružnica
tgx
1
Os kotangensa
x
1
ctgx
Os tangensa
pT
Uocimo Za x ?/2 os tangensa i pravac pT
nemaju presjek, što znaci da tanges nije
definiran! Slicno za kotanges u x 0.
29
Svojstva trigonometrijskih funkcija
sin cos tg ctg
Podrucje definicije Df ? ? ? \ p /2 kp, k ? ? ? \ kp, k ? ?
Slika f(Df) -1,1 -1,1 ? ?
Nul-tocke x kp, k ? ? x p /2 kp, k ? ? x kp, k ? ? x p /2 kp, k ? ?
Parnost neparna parna neparna neparna
Osnovni period 2p 2p p p
Predznak po kvadrantima I, II, III, IV ,,-,- ,-,-, ,-,,- ,-,,-
30
Neke važnije veze izmedu trigonometrijskih
funkcija
sin2x cos2 x 1, sin2x 2 sinx cosx,
cos2x sin2x - cos2 x , sin2x 1/2(1 - cos2x),
cos2x 1/2(1 cos2x), ctgx 1/tgx tg2x
2tgx/(1-tg2x), ctg2x (ctg2x-1)/2ctgx sin2x
tg2x/(tg2x1), cos2x ctg2x/(ctg2x1).
31
Ciklometrijske ili arkus funkcije
Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne
funkcije suženja trigonometrijskih funkcija.

• Ciklometrijske funkcije su
• arkus-sinus
• arkus-kosinus
• arkus-tangens
• arkus-kotangens

32
Definirajmo Arcsin -1,1 ? - p /2, p
/2 ,
Neka je Sin -p/2, p /2 ? -1,1 suženje
funkcije sin. Dakle, za svaki x ? -p /2, p /2,
vrijedi sin x Sin x. Funkcija Sin je
bijekcija.
y
y x
-?/2
?/2
x
y sinx
tako da vrijedi ?x ? -p /2, p /2,
Arcsin(Sin x) x, ? y ? -1,1,
Sin(Arcsin y) y.
Dakle, Sin-1 Arcsin.
33
Neka je Cos 0, p ? -1,1 suženje funkcije
cos. Dakle, za svaki x ? 0, p, vrijedi cos x
Cos x. Funkcija Cos je bijekcija.
y x
y
?
x
y cosx
Definirajmo Arccos -1,1 ? 0, p ,
tako da vrijedi ?x ? 0, p, Arccos(Cos x)
x, ? y ? -1,1, Cos(Arccos y) y.

Dakle, Cos-1 Arccos.
34
arcsin
arccos
y
y
p /2
p
x
p /2
x
-p /2
arcsin -1,1 ? ?, arcsin x Arcsin
x, arcsin(-1,1) -p /2, p /2.
arccos -1,1 ? ?, arccos x Arccos
x, arcos(-1,1) 0, p.
35
Vrijedi
y
f1(x) sin(arcsin x), f1-1,1 ? ?, f1(-1,1)
-1,1, sin(arcsin x) x.
y sin(arcsin x)
x
f2(x) arcsin(sin x), f2 ? ? ?, f2(?) -p /2,
p /2. Za x ? -p /2, p /2 je arcsin(sin x) x.
y
p /2
x
p /2
-p /2
-p /2
y arcsin(sin x)
36
Vrijedi
y
f1(x) cos(arccos x), f1-1,1 ? ?, f1(-1,1)
-1,1, cos(arccos x) x.
y cos(arccos x)
x
f2(x) arccos(cos x), f2 ? ? ?, f2(?) 0, p.
Za x ? 0, p je arccos(cos x) x.
y
p
x
p
y arccos(cos x)
37
Neka je Tg (-p/2, p /2) ? ? suženje funkcije
tg. Dakle, za svaki x ? (-p /2, p /2), vrijedi tg
x Tg x. Funkcija Tg je bijekcija.
y
y x
p /2
x
p /2
-p /2
-p /2
y tg x
Definirajmo Arctg ? ? (-p/2, p /2) ,
tako da vrijedi ?x ? (-p /2, p /2), Arctg(Tg
x) x, ? y ? ?,
Tg(Arctg y) y
Dakle, Tg-1 Arctg.
38
Neka je Ctg (0, p) ? ? suženje funkcije ctg.
Dakle, za svaki x ? (0, p), vrijedi ctg x Ctg
x. Funkcija Ctg je bijekcija.
y
y x
p
y ctg x
p
x
Definirajmo Arcctg ? ? (0, p) ,
tako da vrijedi ?x ? (0, p ), Arcctg(Ctg x)
x, ? y ? ?, Ctg(Arcctg y) y.
Dakle, Ctg-1 Arcctg.
39
arctg
arcctg
y
y
p /2
p
x
-p /2
x
arctg ? ? ?, arctg x Arctg x, arctg (?) (-p
/2, p /2).
arcctg ? ? ?, arcctg x Arcctg x, arcctg (?)
(0, p).
40
Uocimo Svako suženjeSink -?/2 k?, ?/2 k?
?-1,1 , k ? ?, funkcije sin je bijekcija, pa
ima inveznu funkciju.
y
y x
1
-1
1
x
-1
y sinx
Oprez Okomita zmijica nije funkcija!
41
Slicno, buduci su funkcije cos, tg, ctg po
djelovima strogo monotone, postoje suženja tih
funkcija koja su bijekcije, pa postoje inverzne
funkcije tih suženja.
y
y x
Primjer
x
y ctgx
42
Definicija
Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju
koja se može konstruirati od osnovnih
elementarnih funkcija i njihovih suženja
primijenjujuci (konacno puta) zbrajanje,
oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.
43
Osnovna podjela elementarnih funkcija

1. Polinomi
2. Racionalne funkcije
3. Algebarske funkcije
4. Transcendentne funkcije

44
1. Polinomi
Polinom n-tog stupnja, n ? ? ? 0, je funkcija
Pn ? ? ?, Pn (x) anxn an-1xn-1 . . .
a1x a0, pri cemu su an, an-1, . . . , a1, a0
? ? i an ? 0 za n ? ?.
Napomena Ako je n 0, onda je P0 (x) a0
konstantna funkcija.
45
2. Racionalne funkcije
Dakle, R X ? ?, gdje je X D(R) ? \ x ?
? Qm(x) 0.
Napomena Polinome još nazivamo cijele racionalne
funkcije ( Qm(x) 1 ), a sve ostale racionalne,
razlomljene racionalne funkcije.
46

• Ako oba polinoma Pn(x) i Qm(x) imaju koeficijente
  iz skupa racionalnih brojeva ? onda kažemo da je
  R Pn/Qm racionalna funkcija s racionalnim
  koeficijentima.
• Ako je Pn polinom n-tog stupnja, a Qm polinom
  m-tog stupnja i ako je n lt m, onda kažemo da je
  R Pn/Qm prava racionalna funkcija, a ako je
• m ? n onda kažemo da je neprava racionalna
  funkcija. U ovom slucaju se R(x) može prikazati
  kao
• R(x) St(x) Tk(x)/Qm(x),
• gdje su St i Tk polinomi t-tog, odnosno k-tog
  stupnja, redom, tako da je k lt m.

47
Primjeri
1.
je racionalna funkcija s racionalnim
koeficijentima, dok racionalna funkcija
2.
Dijeljenjem dobivamo
48
3. Algebarske funkcije
Algebarske funkcije su elementarne funkcije koje
se mogu dobiti komponiranjem opcih potencija s
racionalnim eksponentima i racionalnih funkcija s
racionalnim koeficijentima.
Primjeri
49
4. Transcendentne funkcije
Elementarne funkcije koje nisu algebarske
nazivamo transcendentne.
Dakle, medu ove funkcije ubrajamo
eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske i
ciklometrijske, kao i vecinu racionalnih (sve one
koje imaju neki koeficijent iracionalan).
Važne transcendentne funkcije su i tzv.
hiperbolne funkcije i area-funkcije.
50
Hiperbolne funkcije
sinus hiperbolni
kosinus hiperbolni
y
y
y shx
y chx
x
x
Napomena Graf f(x) chx nazivamo lancanica.
f(x) ch x, f ? ? ?, f(?) 1,?.
f(x) sh x, f ? ? ?, f(?) ?.
51
tangens hiperbolni
kotangens hiperbolni
y
y
y thx
y cthx
x
x
f(x) cth x, f ? \ 0 ? ?, f(?) (-?,-1)
? (1,?).
f(x) th x, f ? ? ?, f(?) (-1,1).
52
Neke važnije veze izmedu hiperbolnih funkcija
ch2 x - sh2x 1, sh2x 2 shx chx, ch2x
sh2x ch2 x , sh2x 1/2(ch2x-1), ch2x 1/2(1
ch2x), cthx 1/thx th2x 2thx/(1th2x),
ch2x (cth2x1)/2cthx sh2x th2x/(1-th2x),
ch2x cth2x/(cth2x-1),
Ove relacije ukazuju na slicnost s
trigonometrijskim funkcijama!
53
Area-funkcije
area-sinus hiperbolni
Funkcija sh ? ? ? je bijekcija. Inveznu
funkciju funkcije sh nazivamo area-sinus
hiperbolni i oznacavamo arsh.
y
y x
y arshx
x
y shx
f(x) arsh x, f ? ? ?, f(?) ?
54
area-kosinus hiperbolni
Neka je Ch 0,?)?1,?) suženje funkcije ch.
Funkcija Ch je bijekcija. Inveznu funkciju
funkcije Ch oznacimo s Arch.Dakle, Arch 1,?)
? 0,?).
y
y x
y chx
y archx
x
arch 1,?) ? ?, arch x Arch x, arch (1,?))
0,?).
55
area-tangens hiperbolni
Neka je Th ? ? (-1,1) suženje funkcije th.
Funkcija Th je bijekcija. Inveznu funkciju
funkcije Th nazivamo area-tangens hiperbolni i
oznacavamo arth.
y
y x
y thx
x
y arthx
f(x) arth x, f (-1,1) ? ?, f ((-1,1))
?.
56
area-kotangens hiperbolni
Neka je Cth ? \ 0 ? (-?,-1) ? (1,?), suženje
funkcije cth. Funkcija Cth je bijekcija. Inveznu
funkciju funkcije Cth oznacimo s Arcth. Dakle,
Arcth (-?,-1) ? (1,?) ? ? \ 0.
y
y x
y cthx
y arcthx
x
arcth (-?,-1) ? (1,?) ? ?, arcth x Arcth x,
arcth ( (-?,-1) ? (1,?) ) ? \ 0.
57
Još neke važnije elementarne funkcije
Apsolutna vrijednost
Predznak
y
y
y x
x
y sgn(x)
x
f(x) x, f ? ? ?, f(?) 0,?).
f(x) sgn(x), f ? \ 0 ? ?, f(?) 1,-1.
58
Svaka sugestija ili primjedba je dobrodošla.

Borka Jadrijevic

e-mail borka_at_fesb.hr
URL http//www.fesb.hr/borka