Elektronski valovi u atomima

1
Elektronski valovi u atomima
Primjenom zamisli o valnim svojstvima elektrona
mogu se objasniti niz cinjenica o atomima Atomi
svih elemenata su slicni i pokazuju zavidnu
stabilnost. Potrebno je dosta energije za
odvojiti pojedini elektron iz atoma , a još više
za promijeniti jezgru atoma. Velicine
atoma. Atomi svakog elementa imaju vlastiti
karakteristican skup energijskih razina .
2
Stojni valovi
Ako se elektron hoce predstaviti valom , onda to
mora biti stojni val, inace elektron ne bi bio
ogranicen u atomu .
Ako upadni i reflektirani val pobuduju isti
medij nastaje stojni val .U slucaju valova na
napetoj struni ucvršcenoj na oba kraja nastaje
stojni val tako da sve sitne cestice žice titraju
s istom frekvencijom , ali u nekom trenutku imaju
razlicitu amplitudu.Neke od njih imaju maksimalnu
amplitudu ( trbuh stojnog vala ) ,a neke miruju (
cvor ).
3
Pokus stojnog vala na opruzi (slinky )
4
Na struni duljine L može nastati val s jednim
trbuhom
Najniža frekvencija titranja
Osnovna frekvencija
Prvi harmonik
Drugi harmonik
Peti harmonik
n-ti harmonik
5
Matematicki izvod formule stojnog vala
Upadni val
Reflektirani val
Superpozicijom tih dvaju valova nastaje stojni
val
Trigonometrijska formula za zbrajanje kosinusa
dvaju kutova
pa je
Uz rubni uvjet xL , sinkL0 slijedi
Tako se u klasicnoj fizici pojavljuje
kvantizacija energije nije moguca bilo koja
raspodjela energije , stojni valovi nastaju samo
uz frekvencije izvora odredene formulom
6
Stojni val u dvije dimenzije može se
demonstrirati na membranama .Postoje i
trodimenzionalni stojni valovi .
Cinjenice o atomu vodika
Velicina oko 10-10 m Energija ionizacije 13.6
eV ili Energijske
razine
Cinjenica o elektronskom valu
kolicina gibanja h/?
7
Hipoteza atom vodika je kutija oblika kugle
unutar koje se mora smjestiti elektronski stojni
val .
Uz tu pretpostavku najveca moguca valna duljina
stojnog vala u toj kutiji
Pomocu te velicine se izracuna kolicina gibanja
elektrona , a iz toga kineticka energija
Za držati elektron u kutiji velicine atoma treba
neka privlacna sila , a to je elektricna
privlacna sila izmedu njega i protona.Energija
potrebna za razdvojiti elektron od protona kad su
udaljeni se može izracunati iz
izraza
8
Dakle , elektron ima manju kineticke energiju od
energije potrebne za odvajanje , i zato ostaje
zatocen u okolini protona. Uvjet stabilnosti
nekog sustava je da se nalazi u stanju najmanje
ukupne energije.Za sustav elektrona i protona ,
uz pretpostavku mirujuceg protona s masom protona
znatno vecom od mase elektrona , ukupnu energiju
cini zbroj kineticke i potencijalne energije
elektrona i taj zbroj u stabilnom stanju mora
biti manji nego za bilo koju drugu udaljenost
elektrona od protona.
Za slucaj slike elektronskog stojnog vala osnovne
frekvencije ukupna energija iznosi
.Kad bi kutija bila manja,
elektron bi imao manju valnu duljinu i Ek bi
narasla više nego što bi se Ep smanjila.Za vecu
kutiju bi ukupna energija opet bila veca.
9
Elektron opisan valom koji pristaje u kutiji
(atomu)

• Hipoteza
• atom vodika je sferna kutija unutar koje se
  nalazi stojni val

10
Analogija
Stojni val u atomu
Osnovni stojni val na žici
11
Nacelo minimuma energije

• Atom teži biti u stanju najmanje moguce energije
• Energija atoma je zbroj kineticke i potencijalne
  energije elektrona

12
Racunanje energije atoma
De Broglieva hipoteza da se svakoj cestici (pa
tako i elektronu) kolicine gibanja p može
pridijeliti val valne duljine ? uz vezu
13
Racunanje energije atoma
Rasprava
Kineticka energija je manja od energije potrebne
elektronu da se pomakne s udaljenosti
u beskonacnost,pa elektron ostaje
zarobljen u atomu
14
Velicina atoma

• Zašto elektron ne bi bio deset puta bliže protonu
  ?
• Ako bi polumjer atoma bio
• Kineticka bi energija bila 100 puta veca tj.
• Potencijalna energija bi bila 10 puta manja tj.
• Kako je kineticka energija veca od potencijalne,
  elektron bi mogao napustiti proton, dakle atom ne
  bi bio stabilan .

15
Velicina atoma

• Pretpostavimo da je polumjer atoma deset puta
  veci
• Kineticka energija bi se smanjila 100 puta
• Potencijalna energija bi se povecala 10
  puta(manja po iznosu deset puta) tj.
• Ukupna energija je
• Ukupna je energija veca(manje negativan broj)
  nego kad je elektron na stvarnoj udaljenosti od
  protona ,pa zbog nacela minimuma energije nece
  ostati u tom položaju

16
Schrödingerova jednadžba

• Jednostavni putujuci val (na žici,zvuk,svjetlost)
  opisuje promijenu neke velicine .Kojom velicinom
  opisati val materije ( elektron )?
• Tu kompliciranu velicinu nazivamo valna funkcija
  i s njom oznacavamo prijenos tipicnih valnih (
  kolicina gibanja, energija) i cesticnih ( masa)
  svojstava .? je kompleksni broj.

17
Schrödingerova jednadžba

• U jednostavnijim primjerima su prostorni i
  vremenski dio funkcije razdvojeni

Dio valne funkcije koji ovisi o položaju
18
Znacenje valne funkcije

• Valovi materije su vjerojatnosni valovi.Ako val
  materije dolazi ka detektoru u položaju gdje je
  apsolutna vrijednost valne funkcije ,onda
  je vjerojatnost da ce detektor registrirati
  cesticu opisanu tim valom u odredenom vremenskom
  intervalu biti
• Kad je (cesto) prostorni dio valne funkcije
  kompleksni broj se odredi množeci sa
• (kompleksno konjugirani izraz valne funkcije
  ,nastaje da se i zamijeni s -i).

19
Schrödingerova jednadžba u jednoj dimenziji

• Opisuje cesticu koja putuje u x smijeru kroz
  podrucje u kojem sile koje djeluju na cesticu
  opisujemo potencijalnom energijom U(x)

E (ukupna mehanicka energija cestice) potencijaln
a enegijakineticka energija
20
Valna jednadžba slobodne cestice

• Ako je U(x) nula , Schrödingerova jednadžba
  opisuje slobodnu cesticu, kojoj je sva energija u
  obliku kineticke.Uz odredenu preinaku dobije se
• Rješenje je val koji putuje u smijeru pozitivne x
  osi

k je valni broj
21
Gustoca vjerojatnosti

• Za naci gustocu vjerojatnosti ,treba kvadrirati
  apsolutnu vrijednost valne funkcije

konstanta
Cestica ima jednaku vjerojatnost biti bilo gdje
na osi x
22
Heinsenbergov princip neodredenosti

• Nije moguce izmjeriti položaj (npr. x ) i
  kolicinu gibanja mvx istodobno s neogranicenom
  preciznosti

Primjer slobodna cestica (ne djeluje sila)
Ako na cesticu ne djeluje sila, kolicina se
gibanja ne mijenja.Uz pretpostavku da kolicinu
gibanja možemo izmjeriti s proizvoljnom tocnošcu,
?px je nula pa ?x?8.Akoje neodredenost položaja
tako velika,položaj je cestice potpuno neodreden,
ona može biti bilo gdje na osi x.
23
Tunel efekt
Na slici je prikazan elektron koji ima ukupnu
energiju E dok se giba u smijeru osi
x.Potencijalna energija mu je nula ,osim u
podrucju 0ltxltL , gdje je UU0.Ovo se podrucje
naziva potencijalna barijera.
24
Opis grafa

• U klasicnoj fizici, jer je bi se
  reflektirao od barijere. U kvantnoj fizici
  elektron je val materije koji ima odredenu
  vjerojatnost proci kroz prepreku i pojaviti se na
  drugoj strani.
• Rješenje Schr.jednadžbe je prikazano na grafu.
  Unutar barijere gustoca vjerojatnosti
  eksponencijalno pada s x. Ako širina prepreke L
  nije prevelika, vjerojatnost da se elektron
  pojavi na položaju xL nije nula. Desno od
  barijere gustoca vjerojatnosti je mala, ali
  stalna. Tu je moguce detektirati elektron.
  Koeficijent transmisije T opisuje vjerojatnost
  tuneliranja. Npr. ako je T0.01, onda ce od 1000
  elektrona koji dolaze do barijere, 10 proci kroz
  nju, a 990 ce se odbiti.

25
Primjer tunel efektaVodic prekinut zracnim
razmakom
26
Simulacija tuneliranja elektrona kroz zrak u
prekinutom vodicu
27
Koeficijent transmisije
Zbog eksponencijalne ovisnosti T je ekstremno
osjetljiv o masi cestice, debljini barijere i
razlici energija
28
Zadatak

• Elektron ukupne energije E5.1 eV se primice
  barijeri visine U0 i debljine L750 pm.
• a)Kolika je vjerojatnost da ce elektron proci
  kroz barijeru i da ce biti detektiran s druge
  strane?
• b)Kolika je vjerojatnost da ce proton iste ukupne
  energije proci kroz barijeru i biti detektiran s
  druge strane prepreke.

29
Rješenje za elektrone
Bezdimenzijska konstanta
Od svakih milijun elektrona koji udare u
barijeru, 45 ih prode i detektor ih izmjeri na
desno od barijere.
30
Rješenje za protone

• Koeficijent trensmisije ovisi o masi cestice i to
  ekst remno osjetljivo.Buduci je masa protona
  oko 2000puta veca
  od mas elektrona , uvrštavanjem u izraz za
  koeficijent transmisije se dobije da je

Dakle vjerojatnost da ce proton proci kroz
barijeru nije nula, ali je toliko mala da možemo
ustvrditi da je u nekoj doglednoj buducnosti
nemoguce da proton prode kroz barijeru.
31
STM-skenirajuci tunelirajuci mikroskop
Piezoelekticitet kad se na kristalu primijeni
napon,dimenzije se kristala mijenjaju.
32
Prikaz površine

• Prostor izmedu površine i igle je
  potencijalna barijera.Ako je razmak malen,
  elektroni mogu tunelirati iz površine u iglu
  ,formirajuci struju.Pomocu feedback uredaja se
  regulira razmak izmedu površine i igle tako da se
  struja tuneliranja drži konstantnom .Na ekranu se
  dobije prikaz vertikalnog položaja z ( konture
  površine ) igle kao funkcije položaja u xy
  ravnini.