DEFINICIONES

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DEFINICIONES
Unidad académica Ingenierías Facultad
Ingeniería Electrónica Profesor Marisol Osorio E
mail marisol.osorio_at_upb.edu.co

• La notación de espacio de estado busca
  representar por medio de ecuaciones diferenciales
  de primer orden, llamadas ecuaciones de estado,
  las relaciones dinámicas internas y externas de
  los sistemas físicos.
• Anotación general

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DEFINICIONES

• f y g son en general funciones no necesariamente
  lineales.
• Si f y g son lineales e invariantes en el tiempo,
  las ecuaciones toman su forma matricial

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DEFINICIONES

• A la ecuación para se le conoce como
  ecuación de estados y a la ecuación para y se le
  conoce como ecuación de salidas. Tanto x, como y
  y u son en general vectores.
• Estado Es un concepto que se refiere al
  comportamiento dinámico de un sistema en el
  tiempo. El estado de un sistema está determinado
  por el valor del conjunto mínimo de variables de
  estado que define el comportamiento dinámico del
  mismo para todo tiempo tgtt0.

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DEFINICIONES

• Variables de Estado
• Conjunto de variables internas o externas,
  observables o no, medibles o no, que representan
  completamente el comportamiento dinámico de un
  sistema desde el punto de vista de la energía que
  se almacena en él. La cantidad de variables de
  estado que se requiere para representar un
  sistema determina el orden del mismo.

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DEFINICIONES

• La expresión matricial de las ecuaciones de
  estado es así

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DEFINICIONES

• En un sistema físico usualmente se definen las
  variables de estado en relación con los elementos
  que almacenan energía.
• Establecer así las variables de estado permite
  definir el diagrama de estado del sistema y
  obtener la función de transferencia del mismo
  definiendo como salida cualquiera de los estados
  del sistema.

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DEFINICIONES

• Diagrama de Estado
• Gráfico que representa el flujo de señal en el
  sistema y que permite describir ecuaciones de
  estado y ecuaciones diferenciales.

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DEFINICIONES

• Matriz de Transición de Estado
• Matriz función del tiempo, que representa el
  comportamiento en el tiempo de los estados y
  permite conocer su valor en todo momento
  conocidos los valores iniciales de los estados
  cuando la entrada al sistema es cero. Su relación
  con los estados del sistema es

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MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS
Se conoce como F(t) y puede hallarse por medio de
la transformada de Laplace de la ecuación de
estados así
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MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS

• Puede observarse que el comportamiento de los
  estados en el dominio de la frecuencia, si las
  entradas del sistema se hacen cero, se puede
  determinar mediante la matriz inv(sI-A), si se
  conocen los estados iniciales del sistema.
  Obsérvese que entonces esta matriz coincide con
  la definición de F(t), pero en el dominio de la
  frecuencia, por lo que es llamada F(s).

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MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS

• F(t) puede encontrarse con la transformada
  inversa de Laplace de inv(sI-A), que similarmente
  a las expresiones escalares puede encontrarse
  así
• La transformada inversa se aplica sobre cada uno
  de los términos de la matriz inv(sI-A)

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MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADOS

• F(t) se halla con una serie parecida a la usada
  para funciones escalares
• Este método no es el más adecuado para cálculos
  analíticos, y queda reservado a las situaciones
  en las que la matriz de transición de estados
  debe calcularse numéricamente.

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FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

• Si en la ecuación
• Las condiciones iniciales de los estados se hacen
  cero, la expresión para X(s) será

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FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

• Si lo anterior se reemplaza en la ecuación de
  salidas, queda
• La matriz
• Se llama matriz de transferencia del sistema.

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CAMBIO DE BASE

• Para analizar las diferentes propiedades de los
  sistemas definidos en espacio de estado y también
  por conveniencia, es necesario en ocasiones
  realizar cambios de base que consisten en la
  substitución de un vector de estados por otro a
  través de la transformación lineal.

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CAMBIO DE BASE

• z es el vector de estados nuevo, obtenido a
  partir del vector anterior x, por medio de la
  multiplicación del mismo por la matriz de cambio
  de base T.
• Esta matriz es por definición cualquier matriz
  cuadrada regular, pero para determinados cambios
  de base específicos puede tomar formas
  predefinidas, como se verá.

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CAMBIO DE BASE

• Cuando la función para el cambio de base se
  reemplaza en las ecuaciones de estado y de salida
  se obtiene
• Y en la ecuación de salidas

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CAMBIO DE BASE

• Lo anterior puede escribirse
• Con
• Es de anotar que la función de transferencia del
  sistema no se modifica con el cambio de base
  realizado.

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FORMAS CANÓNICAS

• Son representaciones diversas de las ecuaciones
  de estado que se consiguen a través de cambios de
  base de la formulación original o a partir de la
  función de transferencia del sistema.

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FORMA CANÓNICA DE JORDAN

• Esta forma se consigue cuando la función de
  transferencia es expandida en sus fracciones
  parciales así

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FORMA CANÓNICA DE JORDAN

• Las matrices que corresponden a esta expresión de
  la función de transferencia son las siguientes

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FORMA CANÓNICA DE JORDAN

• Obsérvese que los elementos en la diagonal de AN
  corresponden a los polos del sistema, y son los
  eigenvalores o valores propios de A para
  cualquier formulación en espacio de estado del
  sistema. Si el sistema tiene polos repetidos, la
  expansión en fracciones parciales es más compleja
  y también la expresión matricial.

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FORMA CANÓNICA DE JORDAN

• En el caso de polos repetidos, H(s) expandida
  tiene la forma
• En este caso, el polo i-ésimo está repetido k
  veces.

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FORMA CANÓNICA DE JORDAN

• En este caso las matrices quedan

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FORMA CANÓNICA DE JORDAN

• Si un sistema se encuentra en otra
  representación, puede llevarse a la forma
  canónica de Jordan haciendo un cambio de base
  usando la matriz de transformación T construida
  con los vectores propios de A
• pi son vectores que cumplen con la ecuación

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FORMA CANÓNICA DE JORDAN

• También se conoce como la forma compañera I.
• Cuando la función de transferencia puede
  expresarse de la forma

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FORMA CANÓNICA CONTROLABLE

• Las matrices quedan de la forma
• Propuesto Qué pasa cuando el polinomio en el
  denominador de la función de transferencia es
  diferente de 1?

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FORMA CANÓNICA CONTROLABLE

• También se conoce como la forma compañera II.
• Cuando la función de transferencia puede
  reorganizarse para que quede así

29
FORMA CANÓNICA CONTROLABLE

• Las matrices quedan de la forma

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CONTROLABILIDAD

• Un sistema es controlable si y sólo si, es
  posible, por medio de la entrada, llevar al
  sistema, de cualquier estado inicial x0 a
  cualquier otro estado x(t) en un tiempo finito t.

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OBSERVABILIDAD

• Un sistema es observable si, y sólo si, es
  posible conocer un estado arbitrario anterior
  x(t) con solamente un registro finito y(t) de la
  salida. (0 tT).

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CONDICIONES DE CONTROLABILIDAD

• Para juzgar controlabilidad es posible tomar
  alguno de los siguientes caminos
• Llevar el sistema a su forma canónica de Jordan.
• Si en esta forma sin polos repetidos, ninguno de
  los elementos de B es igual a cero, el sistema es
  controlable. En caso de que haya polos repetidos,
  es posible que los elementos de B que
  correspondan al bloque de Jordan de polos
  repetidos, sean iguales a cero, excepto el
  primero de ellos.

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CONDICIONES DE CONTROLABILIDAD

• 2. Construir la matriz de controlabilidad
• Si esta matriz tiene rango n, el sistema es
  controlable.

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CONDICIONES DE OBSRVABILIDAD

• Para juzgar observabilidad es posible tomar
  alguno de los siguientes caminos
• Llevar el sistema a su forma canónica de Jordan.
• Si en esta forma sin polos repetidos, ninguno de
  los elementos de C es igual a cero, el sistema es
  observable. En caso de que haya polos repetidos,
  es posible que los elementos de C que
  correspondan al bloque de Jordan de polos
  repetidos, sean iguales a cero, excepto el
  primero de ellos.

35
CONDICIONES DE OBSRVABILIDAD

• 2. Construir la matriz de observabilidad
• Si esta matriz tiene rango n, el sistema es
  controlable.

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CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

• Si se define una matriz M

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CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

• Es posible definir una matriz de cambio de base a
  forma controlable
• En donde S es la matriz de controlabilidad.
• Es posible definir una matriz de cambio de base a
  forma observable
• En donde S es la matriz de observabilidad.

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DISEÑO DE CONTROLADORES DE ESTADOS

• En un proceso en que todos los estados sean
  accesibles, es posible realizar una asignación
  de polos por medio de una matriz de ganancia
• Para un sistema en notación de espacio de estado,
  el uso de esta matriz G para implementar la ley
  de control u-Gx hace que la ecuación de estados
  quede

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DISEÑO DE CONTROLADORES DE ESTADOS

• Aparece entonces una matriz dinámica de lazo
  cerrado AC cuyos valores propios determinarán la
  dinámica del sistema
• Si estos valores propios se sintonizan
  adecuadamente, es posible que la dinámica del
  sistema se comporte como se desea (teóricamente).

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DISEÑO DE CONTROLADORES DE ESTADOS

• Si el sistema se encuentra en su forma
  controlable, esto es particularmente fácil,
  porque
• Y basta hacer que aigiâ donde â serían los
  coeficientes de la ecuación característica del
  sistema con la dinámica deseada.

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DISEÑO DE OBSERVADORES

• En el diseño de controladores se supuso acceso
  asegurado a los estados del sistema, pero esto no
  siempre es posible.
• Si el sistema es observable, es posible definir
  un sistema dado por
• La idea es hacer decrecer asintóticamente el
  error dado por

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DISEÑO DE OBSERVADORES

• Para esto puede hacerse
• K es una matriz definida
• K debe ser tal que asegure que el error decrezca
  asintóticamente.

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DISEÑO DE OBSERVADORES

• Si el sistema se encuentra en su forma
  observable, esto es particularmente fácil, porque
  
• Y basta hacer que aiki /anâ donde â serían los
  coeficientes de la ecuación característica del
  sistema con la dinámica deseada