Fonctions

1
Fonctions procédures

• DEUG 2
• Sciences économiques
• 2004/2005

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Ce qui a été vu

• Fonctions
• Définition et déclaration
• Retourne une valeur
• Utilisation dans un algorithme
• Définition et utilisation en VBA
• Procédures
• Définition déclaration
• Ne retourne pas de valeur
• Utilisation dans un algorithme
• Définition et utilisation en VBA

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Plan

• Quelques algorithmes sur les fonctions et les
  procédures
• Récursivité
• Fonctions récursives
• Procédures récursives

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Exo1

• Que va afficher la procédure d ?

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Algorithme 1

• Soit T un tableau de 10 entiers
• Supposons que lon dispose dune procédure
  Trier(T) qui
• Trie par ordre croissant le tableau T qui lui est
  donné comme paramètre
• Ecrire une procédure AfficherC(T) qui
• affiche les éléments de T dans lordre croissant
• Sans trier le tableau T

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Algorithme 1

• On déclare dans la procédure AfficherC une
  variable T1 de type Tableau
• On affecte à T1 les éléments du tableau T
• On trie T1 en faisant appel à la procédure
  Trier(T1)
• On affiche les éléments de T1 à partir du premier
  élément
• Noter que les étapes 2 et 4 peuvent être définies
  par des procédures

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Algorithme 1

• On écrit la procédure Affecter(T,T1) qui affecte
  les éléments de T à T1
• Procédure Affecter(T, T1 Tableau10 dentiers)
• Variable i entier
• Début
• Pour i 1 à 10
• T1(i) ? T(i)
• FinPour
• FinProcédure

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Algorithme 1

• On écrit la procédure Afficher(T) qui affiche les
  éléments dun tableau
• Procédure Afficher(T Tableau10 dentiers)
• Variable i entier
• Début
• Pour i 1 à 10
• Ecrire(T(i))
• FinPour
• FinProcédure

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Algorithme 1

• Maintenant, on peut définir AfficherC(T) plus
  facilement en utilisant les procédures dont on
  dispose
• Procédure AfficherC(T Tableau10 dentiers)
• Variable T1 Tableau10 dentiers
• Début
• Affecter(T, T1)
• Trier(T1)
• Afficher(T1)
• FinProcédure

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Algorithme 1

• Que pensez-vous de la formulation suivante ?
• Procédure AfficherC(Val T Tableau10 dentiers)
• Début
• Trier(T)
• Afficher(T)
• FinProcédure

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Algorithme 1

• Malheureusement en VBA, quand le paramètre est
  un tableau, on ne peut pas lappeler par valeur ?

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Algorithme 2

• En utilisant la procédure Trier(T), écrire une
  fonction ValMax(T) qui
• Retourne la valeur maximale de T

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Algorithme 2

• Idée
• Il suffit de trier T, ensuite
• Afficher la valeur se trouvant dans la dernière
  case

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Algorithme 2

• Fonction ValMax(t tablea10 dentiers)
• Début
• Trier(t)
• ValMax ? T(10)
• Fin Fonction

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Récursivité

• On dit quune fonction est récursive quand dans
  sa définition on fait appel à cette même fonction

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Exemple de fonction récursive

• Ecrire une fonction fact(n) qui prend un enteir n
  puis retourne n!
• Fonction fact(n entier) entier
• Variable i, j entier
• Début
• j ? 1
• pour i 1 à n
• j ? j i
• FinPour
• fact ? j
• FinFonction

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Factorielle

• On sait que
• n! 1 si n0 ou n1
• n! n (n-1) ! Si n gt 1
• On a défini n! en fonction de (n-1)!
• Cette définition peut être utilisée dans la
  fonction fact(n)

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Factorielle

• Fonction fact(n entier) entier
• Variable i entier
• Début
• Si n 0 ou n 1 Alors
• i ? 1
• FinSi
• Sinon
• i ? n fact(n-1)
• FinSinon
• fact ? i
• Finfonction

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Exemple les suites récursives

• Soit la suite (Un) n gt0 avec
• U1 2
• Un 3 Un-1 2
• Ecrire une fonction U(n) qui prend un entier n
  puis retourne la valeur de Un

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Les suites

• Fonction U(n entier) entier
• Variable i entier
• Début
• Si n 1 Alors
• i ? 2
• FinSi
• Sinon
• i ? 2 3 U(n-1)
• FinSinon
• U ? i
• Fin Fonction

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Toujours les suites

• En utilisant la suite précédente, écrire une
  fonction récursive S(n) qui
• Prend un entier n puis
• Retourne la somme des n premiers termes de la
  suite (Un)

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La somme des n premiers termes

• Il nous faut donc trouver une définition
  récursive de S(n)
• S(n) U1 si n 1
• S(n) Un S(n-1) si n gt 1

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La fonction S(n)

• Fonction S(n entier) entier
• variable i entier
• Début
• Si n 1 alors
• i ? U(1)
• FinSi
• Sinon
• i ? U(n) S(n-1)
• FinSinon
• S ? i
• Fin Fonction

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Version non récursive

• Fonction S(n entier) entier
• Variable i, j entier
• Début
• i ? U(1)
• Pour j 2 à n
• i ? i U(j)
• FinPour
• S ? j
• Fin Fonction

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Un dernier exemple pour la route

• Soit la fonction numérique f telle que
• f est définie, continue sur a, b,
• f est strictement monotone sur a, b
• f(a) f(b) lt 0
• Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit
  que f(x)0 admet une solution unique dans
  lintervalle a, b

a
b
b
a
c
c
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Exemple (suite)

• Il nous est demandé décrire une fonction qui
  retourne une valeur approchée de c telle que f(c)
  0

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Principe de la méthode de dichotomie

• Soit m le milieu de lintervalle a, b,
• m (a b)/2
• On teste le signe de f(a) f(m)
• Si f(a) f(m) lt 0 alors ceci veut dire que c se
  trouve entre a et m
• Nous pouvons donc rapprocher le b et le mettre au
  niveau de m
• Si f(a) f(m) gt 0 alors ceci veut dire que c se
  trouve entre m et b
• Nous pouvons donc rapprocher le a et le mettre au
  niveau de m
• On va répéter ce processus jusquà ce que a et b
  soient très proches ( ex b a lt 0,0001)
• La valeur approchée de c sera alors (ab)/2

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Forme non récursive

• Fonction S(a, b réel) réel
• Variable m entier
• Début
• Tant que (b-a) gt 0,00001 Faire
• m ? (ab)/2
• Si f(a) f(m) lt 0 Alors
• b ? m
• finsi
• Sinon
• a ? m
• FinSinon
• FinTantQue
• S ? (ab) / 2
• FinFonction

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Forme récursive

• Comme toujours, il faut trouver une définition
  récursive de S
• Si (b-a) lt 0,0001 alors
• S(a,b) (ab)/2
• Sinon
• Si f(a) f(m) lt0 alors
• Calculer S(a,m)
• Sinon
• Calculer S(m,b)

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Forme récursive (suite)

• Fonction S(a,b réel) réel
• Variable c réel
• Début
• Si (b-a) lt 0,0001 Alors
• c ? (ab)/2
• FinSi
• Sinon
• Si f(a) f( (ab)/2) lt 0 Alors
• c ? S(a, (ab)/2)
• FinSi
• Sinon
• c ? S( (ab)/2, b)
• FinSinon
• FinSinon
• S ? c
• Fin fonction

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Dichotomie

• La méthode précédente sappelle  dichotomie 
  car
• Elle procède par étapes et
• À chaque étape, lintervalle de recherche est
  divisé par 2.
• Ce principe peut être appliqué à plusieurs
  problèmes

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Application de la dichotomie

• Écrire une fonction Ind(T, V) qui retourne
  lindice de la valeur V dans le tableau T trié
  par ordre croissant
• Principe
• On compare V par rapport à la valeur se trouvant
  dans le milieu du tableau
• Si V lt T(milieu) alors il faut la chercher dans
  la première moitié du tableau
• Sinon, il faut la chercher dans la deuxième moitié

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Fonction Ind(T, V)

• Fonction Ind(T Tableau10 dentiers, V entier)
• Variable a, b entier
• Début
• a? 1
• b? 11
• Tant que T((ab) Div 2) ltgt V Faire
• Si T((ab) Div 2) gt V Alors
• b ? (ab) Div 2
• FinSi
• Sinon
• a ? (ab) Div 2
• FinSinon
• FinTantque
• Ind ? (ab) Div 2
• Fin fonction

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Procédures récursives

• Les procédures peuvent elles aussi être définies
  dune manière récursive.
• Exemple, écrire une procédure récursive qui
  permet dafficher les éléments dun tableau de 10
  entiers.
• Idée
• si lélément à afficher est le dernier dans le
  tableau alors lécrire et sarrêter
• Sinon, écrire lélément courant et afficher à
  partir du suivant

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Procédure Afficher

• Procédure Afficher(i entier, TTableau10
  dentiers)
• Début
• Ecrire( T(i) )
• Si i lt 10 Alors
• Afficher( i1, T)
• FinSi
• FinProcédure
• Quand on fait dans lalgorithme
• Afficher(3, T)
• Cela veut dire quon veut afficher à partir de la
  3ème case

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Que fait la procédure suivante ?

• Procédure a(i entier, T Tableau10 dentiers)
• Début
• Ecrire( T(i) )
• Si i gt 1 Alors
• a(i-1, T)
• FinSi
• Fin Procédure