Relations et fonctions

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Relations et fonctions

• La relation est la notion la plus générale.
• La fonction est un cas particulier
• En général une fonction est partielle
• Une fonction totale est un cas particulier
• En général une fonction a pour inverse une
  relation
• une injection a pour inverse une fonction
• Toujours essayer de mettre le  côté  le plus
  contraint à  gauche 

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Fonctions nouveaux opérateurs

• limage fonctionnelle dun élément f(x)
• f doit être une fonction
• x doit appartenir à son domaine
• fonctions abstraites (lambda expressions) 
  ?x.(x?D e)
• D est le domaine de définition de la fonction
• e une expression paramétrée par x définissant
  limage pour tout x de D
• (? noté en ASCII)

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Arithmétique des entiers

• Les comparateurs
• lt, gt, ?, ? (lt et gt en ASCII)
• Les opérateurs binaires
• , -, , / (la division entière)
• mod (le modulo)
• xy (xy en ASCII)
• Les opérateurs unaires
• succ, pred

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Arithmétique des ensembles

• Lopérateur card(E)
• Le nombre déléments dun ensemble
• Les opérateurs max(E) et min(E)
• Prennent un ensemble dentiers non vide en
  paramètre
• Retourne lentier le plus grand (resp. le plus
  petit) de lensemble
• Les opérateurs ? et ? (SIGMA et PI en ASCII)
• Calculent la somme (le produit) dexpressions
  arithmétiques
• ?(x,y).(P E)
• P est une formule de la logique des prédicats et
  E une expression arithmétique (P et E dépendant
  des variables x,y)
• Somme pour toutes valeurs de variables x,y
  satisfaisant P des expressions E correspondants
  aux valeurs des variables

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Application à la modélisation

• Description de parenté entre personnes
• Personne ne peut être en même temps un homme et
  une femme.
• Cependant on est un homme ou on est une femme.
• Seules les femmes ont des époux, qui sont des
  hommes.
• Les femmes nont quun seul époux.
• Une épouse dun homme est une femme dont cet
  homme est lépoux.
• Les hommes nont quune seule épouse.
• Les mères sont des femmes mariées.
• Par définition, le père est lépoux de la mère.

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Formalisation

• Soit un ensemble abstrait PERSONNE
• On introduit les concepts homme, femme, époux,
  mère
• homme ?? PERSONNE
• femme PERSONNE homme
• aPourEpoux ? femme -gt homme
• aPourMère ? PERSONNE -gtdom(aPourEpoux)

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Formalisation

• Modéliser les concepts
• aPourEpouse
• aPourConjoint
• personneMariée
• mère
• aPourPère, père
• aPourParent, parent
• aPourEnfant, enfant, aPourFille
• aPourFrereOuSoeur, aPourFrere
• aPourBeauFrereOuBelleSoeur
• aPourNeveuOuNiece
• aPourOncleOuTante
• aPourCousin

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Modélisation des opérations

• Spécifier les transformations détat que lon
  attend des services de la machine
• Létat dune machine entièrement déterminée par
  la valeur de ses variables
• Langage pour exprimer les propriétés des
  nouvelles valeurs des variables en fonction de
  leurs anciennes valeurs et déventuels paramètres
  (le quoi pas le comment)
• Le langage proposé Substitutions généralisés
• Dispose de constructions proches de laffectation
  et des conditionnelles
• Absences de séquences et boucles
• Constructions adaptées à la spécification
  pré-condition, substitution multiple,
  substitutions indéterministes

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Spécifier les changements détats

• Utiliser des prédicats Pre-Post
• Convention une variable prime indique la valeur
  dune variable après lopération
• Exemple
• x x 1
• Dans le nouvel état la variable x a sa valeur
  incrémentée de 1 par rapport à sa valeur dans
  lancien état
• x gt x
• Dans le nouvel état la valeur de la variable x
  nest pas connue mais elle sera supérieure à la
  valeur précédente

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Exemple Système de réservation à capacité
infinie

• MACHINE
• Reservation
• VARIABLES
• nbPlaceLibre
• INVARIANT
• nbPlaceLibre?NATURAL
• OPERATIONS
• reserver / réserve une place / 
• annuler / annule la réservation dune
  place /
• END

nbPlaceLibre nbPlaceLibre 1
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Obligation de preuve

• Une opération doit respecter les lois statiques
  du système
• Si la valeur des variables avant lopération
  respecte linvariant
• Alors quelque soit les nouvelles valeurs prises
  par les variables parmi les valeurs caractérisées
  par le prédicat Pre-Post
• Forcément ces nouvelles valeurs des variables
  respectent linvariant.
• Inv(v) gt ?v.(PrePost(v,v) gt Inv(v))
• Exemple de annuler 
• nbPlaceLibre?NATURAL
• gt ?nbPlaceLibre. ( nbPlaceLibrenbPla
  ceLibre1
• gt nbPlaceLibre?NATURAL )