Quantificateurs gnralises

1
Quantificateurs généralisées

• A. LECOMTE

2
SNs quantifiés

• Tous les écrivains ont aimé les uvres de
  Stendhal
• Un romancier russe est passé hier à la télévision
• Aucun étudiant sérieux ne mange pendant les cours
• La plupart des linguistes sont bilingues
• Plus détudiants que de professeurs viennent sur
  le campus par le tram
• Il ny a pas autant de garçons que de filles à
  réussir lexamen de langue
• Ni Pierre ni Marie ne se sont réveillés

3
Expressions quantifiantes

• tous sauf un, tous sauf cinq, quatre (et
  nimporte quel nombre évidemment), au moins
  quatre, au plus quatre, exactement un, moins de
  la moitié de, une quantité finie de, une foule
  de, quelques, certains, peu, beaucoup, trop, pas
  assez de

4
Les quantificateurs frégéens

• Begriffschrift, 1879
• tous les chats sont gris

5
Un prédicat du second ordre

• la propriété  être tel que si on est un chat,
  alors on est gris  possède la propriété dêtre
  vraie de tous les individus
• Interprétation .
• ?
• la propriété dêtre une propriété que tous les
  individus possèdent
• La fonction qui associe 1 à toute propriété que
  tous les individus possèdent, 0 aux autres
  (fonction caractéristique)
• Lensemble de toutes les propriétés que tous les
  individus possèdent

6
sémantique

• ?(?x. P(x)) 1 ssi
• ?x. P(x) ? ?
• ?x. P(x) est une propriété que tous les
  individus possèdent

7
propriété ensemble

• ?x. P(x)
• La fonction qui à tout x tel que P(x) associe 1
• La fonction caractéristique de lensemble des x
  tels que P(x)
• Lensemble des x tels que P(x)

8
? une famille densembles

• ?(?x. P(x)) 1 ssi
• Lensemble des x tels que P(x) appartient à ?
• ? est un ensemble densembles
• E ? ? si et seulement si
• tous les éléments de lunivers possèdent la
  propriété qui définit E
• Tous les éléments de lunivers sont éléments de E
• D ? E
• D E

9
? D

• Donc ? est lensemble des ensembles qui
  contiennent lunivers D
• Il ny a quun seul tel ensemble cest D
  lui-même
• Donc ? est un ensemble densembles qui ne
  contient quun seul élément D
• ? D

10
??

• Quelquun admire Cassiopée
• ? est la propriété, pour une propriété, dêtre
  vraie dau moins un individu de lunivers

11
?

• ? est lensemble des ensembles qui ont une
  intersection non vide avec D
• ? X ? D  X ? ?

12
évaluation

• ?(?x (x admire Cassiopée)) 1 ssi
• (?x (x admire Cassiopée)) ? ?
• (?x (x admire Cassiopée)) ? X ? D  X ? ?
• (?x (x admire Cassiopée)) ? ?

13
Typage de ?,?

• Quantificateur à une propriété ( lte, tgt)
  associe une valeur de vérité, donc de type ltlte,
  tgt, tgt

14
Tout, au moins un

• Tout homme, chaque homme
• (au moins) un homme
• aucun homme
• au moins trois hommes
• trois hommes

• A ? D  HOMME ? A
• A ? D  HOMME ? A ? ?
• A ? D  HOMME ? A ?
• A ? D  Card(HOMME ? A) ? 3
• A ? D  Card(HOMME ? A) 3

15
Tout homme siffle

• tout homme siffleM 1 si et seulement si
• siffleM ? tout hommeM si et seulement si
• siffleM ? A ? D  HOMME ? A si et seulement
  si
• HOMME ? siffleM

16
Au moins trois hommes

• au moins trois hommes marchent dans la rueM
  1 si et seulement si
• marchent dans la rue M ? A ? D  Card(HOMME
  ? A) ? 3 si et seulement si
• Card(HOMME ? marchent dans la rue M) ? 3

17
Les types

• SN
• N
• Vt
• Vi
• SV
• A
• S
• Det

• ltlte, tgt, tgt
• lte, tgt
• lte, lte, tgtgt
• lte, tgt
• lte, tgt
• ltlte, tgt, lte, tgtgt
• T
• ltlte, tgt, ltlte, tgt, tgtgt

18
Point de vue relationnel

• TOUT à deux ensembles associe une valeur de
  vérité
• TOUT (A, B)  A, B ? D tels que A ? B
• AU MOINS UN (A, B)  A, B ? D tels que A ?
  B ? ?
• un ensemble de couples densembles
• une relation binaire sur ?(D)

19
Restrictions

• Toutes les relations sur ?(D) sont des
  déterminants?

20
Extension

• Définition  Un déterminant ? représenté par une
  relation binaire Q sur les parties dun univers D
  est dit satisfaire la propriété dextension si
  pour tous A, B ? E ? E, QE(A, B) ? QE(A, B), où
  QE désigne la restriction de Q aux intersections
  des parties de D avec E
• On na besoin de connaître que A?B

21
Conservativité

• Définition  Un déterminant ? représenté par une
  relation binaire Q sur les parties dun univers D
  est dit satisfaire la propriété de conservativité
  si pour tous A, B ? E, QE(A, B) ? QE(A, A?B).

22
Intersectivité

• Définition  Un déterminant ? représenté par une
  relation binaire Q sur les parties dun univers D
  est dit intersectif ssi pour tous A, B, A, B
  inclus dans le domaine D, si A ? B A ? B,
  alors Q(A)(B) Q(A)(B),
• autrement dit si et seulement si Q(A)(B) ne
  dépend que de lintersection de A et de B.
• n, quelques, au moins n, au plus n,

23
Co-Intersectivité

• Q(A)(B) ne dépend que de la différence A B
• tous, tous sauf n,

24
Théorème de Keenan

• Théorème  pour tout domaine D, CONSD est la
  fermeture booléenne complète de INTD ? CO-INTD

25
Monotonie

• tout Girondin aime les huîtres
• les Bordelais sont des Girondins
• donc  tout Bordelais aime les huîtres
• TOUT décroissant à gauche
• certains Girondins cultivent de la vigne
• les Bordelais sont des Girondins
• donc  certains Bordelais cultivent de la vigne
• CERTAINS croissant à gauche

26
Monotonie

• tout Bordelais est un Girondin
• les Girondins sont des amateurs de vin
• donc  tout Bordelais est amateur de vin
• TOUT croissant à droite
• certains Girondins sont Bordelais
• les Bordelais aiment le ski
• donc  certains Girondins aiment le ski
• CERTAINS croissant à droite

27
Monotonie

• TOUT ?MON?
• CERTAINS ?MON ?

28
Monotonie à droite

• Définition  Un déterminant ? représenté par une
  relation binaire Q sur les parties dun univers D
  est dit monotone croissant à droite (MON?) si
  pour tous A, B ? E, Q(A, B) et B ? B ? Q(A, B).
  On dit aussi dans ce cas que le groupe nominal ?A
  est MON?.
• Définition  Un déterminant ? représenté par une
  relation binaire Q sur les parties dun univers D
  est dit monotone décroissant à droite (MON?) si
  pour tous A, B ? E, Q(A, B) et B ? B ? Q(A, B).
  On dit aussi dans ce cas que le groupe nominal ?A
  est MON?.

29
Monotonie à gauche

• Définition  Un déterminant ? représenté par une
  relation binaire Q sur les parties dun univers D
  est dit monotone croissant à gauche (?MON) si
  pour tous A, B ? E, Q(A, B) et A ? A ? Q(A, B).
  
• Définition  Un déterminant ? représenté par une
  relation binaire Q sur les parties dun univers D
  est dit monotone décroissant à gauche (?MON) si
  pour tous A, B ? E, Q(A, B) et A ? A ? Q(A, B).

30
NPI

• tout pêcheur qui ramène le moindre poisson est
  acclamé
• aucun enfant qui fait la moindre faute à sa
  dictée nest récompensé
• certains connaisseurs qui écoutent le moindre
  disque de cette chanteuse sont éblouis