Mod

1
Modèle polyédrique et méthodes formelles

• Katell Morin-Allory
• COSI, IRISA

2
Plan

• Problématique
• vérification de propriétés de contrôle
• exemple larbitre
• formalisme sous jacent
• Substitutions
• quantification universelle
• quantification existentielle
• PVS et omega
• PVS relation de récurrence
• omega présentation et retour à la
  quantification existentielle
• Conclusion

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Vérification de propriétés de contrôle

• Propriétés de contrôle
• vivacité
• sûreté
• exclusion mutuelle
• Logique temporelle quantificateurs temporels
• G ? ? sera toujours vrai
• F ? ? sera un jour vrai.
• A U B A est vrai jusquà B.
• X ? l'état suivant vérifie ?

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Arbitre

• Règles dévolution dune unité
• ask vrai tant que l'unité attend la ressource
• use vrai tant que l'unité utilise la ressource
• grant vraie quand larbitre accorde la ressource

• Propriétés
• Exclusion mutuelle
• Respect dun ordre de priorité sur les requêtes
  par rapport à la place de lunité dans le
  circuit

• initialement, lunité na pas de ressource
• elle nutilise pas la ressource si elle ne lui a
  pas été accordée
• elle demande la ressource jusqu'à ce quelle lui
  soit accordée
• elle commence à lutiliser dès quelle lui est
  accordée
• elle ne demande jamais la ressource lorsquelle
  lutilise

5
Formalisme sous-jacent

• équations récurrentes Yt,iYt-1,i or
  Yt-2,i5
• propriétés de contrôle ? variables booléennes
• paramètres
• ordonnancement indice temporel/ indices
  spatiaux
• calculs sur les polyèdres
• PVS, omega

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Substitution

• Quantificateur universel
• A tout instant, la propriété est vraie sur tout
  lespace des processeurs
• Quantificateur existentiel
• A tout instant, il existe un point de lespace
  des processeurs où la propriété est vraie

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Pour tout (1)
Or_gett,i case t1 false
Pgtigt11lttlti false i1
1lttltP1 Or_gett-i,ior gett-i,i
i1 tgtP1 gett-i,ior ( not gett-P-i,i)
Pgtigt1ilttltP1 Or_gett-1,i-1 or
gett-i,i or
(Or_gett-1,i and Or_gett-1,i1)
Pgtigt2tgtP1 Or_gett-1,i-1 or gett-i,i
or (Or_gett-1,i and Or_gett-1,i1and
not gett-P-1,i) esac
8
Pour tout (2)
Or_gett,i case t1 false
Pgtigt11lttlti false i1
1lttltP1 Or_gett-i,ior gett-i,i
i1 tgtP1 gett-i,ior ( not gett-P-i,i)
Pgtigt1ilttltP1 Or_gett-1,i-1 or
gett-i,i or
(Or_gett-1,i and Or_gett-1,i1)
Pgtigt2tgtP1 Or_gett-1,i-1 or gett-i,i
or( Or_gett-1,i and Or_gett-1,i1and
not gett-P-1,i) esac
Or_gett,i case t1 false
Pgtigt11lttlti false i1
1lttltP1 trueor gett-i,i i1
tgtP1 gett-i,i or ( not gett-P-i,i)
Pgtigt1ilttltP1 true or gett-i,i or
(true and true)
Pgtigt2tgtP1 true or gett-i,i or(true
and true and not gett-P-1,i) esac

• Or_gett,i
• case
• t1 false
• Pgtigt11lttlti false
• i1 1lttltP1 true
• i1 tgtP1 gett-i,i or (not
  gett-P-i,i)
• Pgtigt1ilttltP1 true
• Pgtigt2tgtP1 true
• esac
• A montrer
• i1 tgtP1 gett-i,i or (not gett-P-i,i)
• Or_get2,1-gt get1,1

9
Il existe

• à linstant t la variable à vrai peut être
  présente nimporte où dans lespace
• condition suffisante mais pas nécessaire

10
Il existe
Xt,icase 10lttltP,0ltilt4Xt-i,i2 and
Zt,P 10lttltP,5ltilt10 Xt-i4,i3 or
Xt-5,i-4 10lttltP, 10ltilttXt-i,i or
Xt-4,i-5 esac
11
PVS et Omega

• PVS
• validation des relations de récurrence induites
• preuve des tautologies
• Omega
• présentation domega
• retour à lexistence

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PVS
Var Zt1ltiltP of boolean Zt
gett,t
Yt,i case tP1 i1 1ltP
gett-1,P or not True P2ltt
i1 1ltP gett-1,P or not gett-P-1,P
tP1 2ltiltP gett-1,i-1 or not
False P2ltt 2ltiltP
gett-1,i-1 or not gett-P-1,i-1 esac
Yt,i case tP1 i1 1ltP
gett-1,P P2ltt i1 1ltP
Yt-1,P tP1 2ltiltP True
P2ltt 2ltiltP Yt-1,i-1
esac
Zt case t1 1ltP
True 2lttltP gett-1,t-1
esac On a prouvé que Z est vrai partout. ZP
? getP,P ? ?t,i?tgtP1,1?i ? P?
gett,i or not gett-P,i ?
?t,i?tgtP2,i2? gett-i,i or not gett-i-P,i
? ?t,i?tgti,1?i ? P? Or_gett,i
Zt case t1 1ltP
True 2lttltP Zt-1 esac
Or_gett,i case t1 false
Pgtigt11lttlti false i1
1lttltP1 true i1 tgtP1
gett-i,i or (not gett-P-i,i)
Pgtigt1ilttltP1 true
Pgtigt2tgtP1 true esac
Y t,i Pltt Pgtigt1 of boolean Yt,i
gett,i or not gett-P,i
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Omega

• relations et ensembles de n-uplets dentiers
• applications
• analyse de dépendances
• transformations de programmes
• génération de code
• formules de Presburger
• ?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?
• ?x, ?y x ?y
• outils union, intersection, image, domain,
  composition,
• complexité

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Retour à lexistence
?t?t2lttlt2P (a?b?c)?Dt Dt  Dt t,i
tt , 1ltilt2P
?t??i,1? i?2P ? (t,i)?a ? (t,i)?b ? (t,i)?c?
Rt forall(i !(1ltilt2P) ( 1ltiltP
i1lttltPi1) ( P1lttlt2P
P2ltilt2P) ( ti1 1ltilt2P ) )
-tPlt2
R P2 2 lt P
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Conclusion

• Travail effectué
• Quantification universelle du temps
• Preuve sur le domaine de définition
• Propriétés simples juste une variable
• Existencecondition suffisante