Chapitre 6: Stabilit des systmes boucls linaires

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Chapitre 6 Stabilité des systèmes bouclés
linéaires
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Contenu du chapitre
6.1. Introduction 6.2. Concept de stabilité 6.3.
Critère de stabilité de Routh-Hurwitz 6.4.
Stabilité relative des systèmes asservis
bouclés 6.5. Stabilité des systèmes asservis à
base de variable détat 6.6. Exemples de
conception 6.7. Stabilité des systèmes bouclés
en utilisant MATLAB
6GEI630 Systèmes Asservis
R. Beguenane, UQAC, 2005/2006
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6.1. Introduction
La stabilité des systèmes asservis bouclés est
une issue importante pour lingénieur de contrôle.
Un système bouclé instable est généralement non
pratique. Doù le besoin de chercher des
méthodes danalyse et de conception des systèmes
stables.

• Un système stable
• Exhibe une sortie bornée en réponse à une entrée
  bornée.
• Il est directement lié au lieu des racines
  déduit à partir de léquation caractéristique du
• Système bouclé.
• La méthode Routh-Hurwitz est introduite comme
  moyen utile pour évaluer la stabilité des
• systèmes.
• Cette technique nous permet de déduire le nombre
  des racines se trouvant dans la moitié
• droite du plan-s sans calculer les valeurs
  exactes de ces racines.

Ces points seront vu durant ce chapitre, en plus
de la notion de stabilité relative.
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6.2. Concept de stabilité
Un système stable est un système dynamique avec
une réponse bornée à une excitation bornée.
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Fonction de transfert en boucle fermée dun
système linéaire
Est léquation caractéristique dont les racines
sont les pôles du système bouclé.
La réponse impulsionnelle
Conclusion pour obtenir une réponse bornée, sk
et am doivent être gt0, i.e. les pôles du système
bouclé doivent être dans la moitié gauche du
plan-s, donc les pôles de la FT du système
doivent avoir des parties réelles négatives. ?
Condition nécessaire et suffisante.
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(No Transcript)
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Exemple dun système instable
Le pont Tacoma Narrows (au Puget Sound,
Washington, USA) au moment ou les oscillations
ont Commencé.
Le pont Tacoma Narrows au moment de la
catastrophe.
NOTE Le pont était ouvert au trafic le 1 juillet
1940. Il oscillait à chaque fois que le vent
apparaîtrait. Après 4 mois (i.e. 7 novembre
1940), un vent a produit des oscillations qui
augmentait en amplitude jusquà la leffondrement
du pont.
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6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz
En multipliant les facteurs ensemble et en
examinant de plus près, on remarque que les
coefficients du polynôme ai doivent être du même
signe si toutes les racines sont à gauche du
plan-s. Aussi il est nécessaire que tout les
coefficients soient non nuls pour que le système
soit stable. Toutefois, ce sont des conditions
nécessaires mais non suffisantes.
En dautres termes, si ces conditions ne sont pas
satisfaites, le système nest pas stable, mais
linverse nest pas juste. Pour cela, il faut
procéder autrement pour sassurer de la stabilité.
Exemple
Le système nest pas stable, alors que les
coefficients du polynôme ai sont positifs.
Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et
suffisant pour la stabilité des systèmes
linéaires.
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Le critère de Routh-Hurwitz évalue le nombre de
racines de q(s) avec partie réelle positive,
égale au nombre de changements de signe dans la
première colonne du tableau de Routh.
Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et
suffisant pour la stabilité des systèmes
linéaires.
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Exemple 1
Exemple 2
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Exemple 3
Pour 0ltK lt8, le système est stable
Si K8, le système est marginalement stable
Le polynôme auxiliaire
2 racines imaginaires conjuguées
En divisant q(s) par U(s)
Inacceptables oscillations
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Exemple 4
Labsence de changements de signe indique que le
système est faussement marginalement stable.
Seulement la réponse impulsionnelle croit dans le
temps comme t.sin(tf). Pourquoi?
e ? 0
Car il ya des racines doubles (deux lignes de
zeros). Les deux polynômes auxiliaires en s2 et
s4 sont
Indiquant des racines doubles sur laxe
imaginaire.
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Exemple 5
Le polynôme auxiliaire en s2 est
Système instable
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Contrôle de la position de soudage dans la
fabrique des automobiles pour une réponse rapide
et précise.
Exemple 6
Contrôle des robots soudeurs
Modèle mathématique
Équation caractéristique
Exemple Pour K40 ? a lt 0.639
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Règle générale On utilise le tableau suivant
pour déterminer la condition de stabilité pour
un système dordre inférieur à 7.