Journ

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Journée régionale de lAPMEPMercredi 17 mars 2004

• On trouvera ci-dessous le diaporama utilisé par
  Michèle Artigue (Université Paris 7 et IREM),
  lors de la conférence quelle a donnée le 17 mars
  2004
• à lIUFM de Grenoble.
• On pourra également se reporter au numéro 449 du
  bulletin vert de lAPMEP (Novembre-Décembre
  2003), dans lequel Michèle Artigue traite des
  aspects voisins de ceux quelle a évoqués à cette
  occasion.

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Enseigner les mathématiques aujourdhui,
pourquoi? Pour qui ? Comment ?

• Michèle Artigue
• Université Paris 7 et IREM

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Plan

• Une question récurrente mais sans cesse
  renouvelée
• Des tendances générales convergentes
• Mathématiques pour tous
• Mathématiques et citoyenneté
• Mathématiques et autres disciplines
• Compétences / Contenus
• Mais aussi une réelle diversité
• Au niveau des cultures
• Au niveau des contenus le cas de lalgèbre

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Une interrogation récurrente

• Alain (1932)  Un grand homme détat a exprimé
  en deux mots ce que chaque être humain doit
  savoir le mieux possible géométrie et latin La
  géométrie est la clef de la nature. Qui nest
  point géomètre ne percevra jamais bien ce monde
  où il vit et dont il dépend. Mais plutôt il
  rêvera selon la passion du moment, se trompant
  lui-même sur la puissance antagoniste, mesurant
  mal, comprenant mal, comptant mal, nuisible et
  malheureux Il nen faut pas plus mais il nen
  faut pas moins. Celui qui na aucune idée de la
  nécessité géométrique manquera lidée même de
  nécessité extérieure. Toute la physique et toute
  lhistoire naturelle ensemble ne la lui donneront
  point Le beau de la géométrie est quil y a des
  étages de preuves, et quelque chose de net et de
  sain dans toutes 

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Une interrogation récurrente

• NCTM Standards (2002)
•  Nous vivons dans un monde mathématique, où
  chaque fois que nous décidons un achat, que nous
  choisissons une assurance ou un plan de santé,
  que nous utilisons un tableur, nous nous appuyons
  sur une compréhension mathématique.Internet, les
  cédéroms et les autres média diffusent de grandes
  quantités dinformation. Le niveau de pensée
  mathématique et les capacités de résolution de
  problèmes requises au travail se sont accrues
  dramatiquement. Dans un tel monde, ceux qui
  comprennent et peuvent faire des mathématiques
  auront des opportunités que les autres nauront
  pas. Les compétences mathématiques ouvrent des
  portes. Labsence de celles-ci les ferme. 

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Des réponses récurrentes

• La transmission dune culture, patrimoine de
  lhumanité
• La formation de lesprit à travers raisonnement
  et rigueur
• Lapprentissage de connaissances  utiles  voire
  nécessaires pour la vie sociale
• Le développement du capital mathématique et
  scientifique des sociétés

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Mais des équilibres, des interprétations
changeantes liées

• Aux évolutions culturelles, sociales,
  scientifiques et technologiques
• Mais aussi
• Aux conceptions de lapprentissage et à
  lévolution de nos connaissances sur les
  processus associés

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Lintérêt dun regard extérieur

• Questionner certaines  évidences 
• Elargir notre champ de référence
• Nous aider à mieux comprendre notre situation
  particulière en mettant en évidence des
  convergences et différences avec dautres
  contextes culturels et institutionnels

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Quelques tendances générales

• Des mathématiques pour tous
• Des mathématiques au service dune citoyenneté
  démocratique
• Des mathématiques plus ouvertes sur lextérieur
• Et, au service de ces tendances, de nouvelles
  approches curriculaires où les compétences
  tendent à prendre le pas sur les contenus.

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Des mathématiques pour tous

• Le premier principe à la base des NCTM Standards
  le principe déquité
• Tous les élèves, quels que soient leurs
  caractéristiques personnelles, culturelles et
  physiques doivent avoir les mêmes possibilités
  détudier et dapprendre des mathématiques
• On doit avoir des ambitions élevées en termes
  dapprentissage pour tous les élèves
• Mais dans le même temps, des difficultés à mettre
  en œuvre ce principe provoquant des tensions
  évidentes le cas du programme  No child left
  behind .

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Mathématiques et citoyenneté
Une éducation promouvant des valeurs
démocratiques
Une société de plus en plus numérisée
Quantitative literacy
Mathematics and Democracy (NCED)
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La notion de  quantitative literacy 

• La capacité à gérer les aspects quantitatifs de
  la vie.
• Une capacité inséparable des contextes et qui se
  développe plus  horizontalement  que
   verticalement .
• Une vision où les statistiques, le raisonnement
  sur lincertain jouent un rôle essentiel.
• Mais une question essentielle, celle des
  rapports entre
•  quantitative literacy  et mathématiques

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Des mathématiques ouvertes sur lextérieur

• Des mathématiques recherchant le dialogue avec
  les autres disciplines scolaires.
• Des mathématiques ouvertes sur lextérieur de
  lécole
• le développement dune pédagogie de projets,
• lexemple des pays nordiques.

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De nouvelles approches curriculaires compétences
/contenus

• Une importance croissante accordée à
  lidentification des compétences que léducation
  mathématique doit développer.
• Une organisation curriculaire qui reflète cette
  évolution.

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Le projet Danois KOM (www.nvfaglighed.emu.dk)

• Utiliser la notion de compétence pour structurer
  le curriculum
• la compétence mathématique est définie comme la
  capacité dun individu à agir de façon
  mathématiquement appropriée face à une situation
  problématique,
• personne nest totalement compétent
  (respectivement incompétent).

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Les raisons dun tel choix lutter contre la
 syllabusitis 

• Syllabusitis Penser que la maîtrise dun
  domaine peut être identifiée à celle des contenus
  dun programme.
• Une approche qui rend difficile, selon les
  auteurs du projet
• de clarifier ce quest la formation mathématique,
• de faire une place au travail essentiel de
  mathématisation,
• de prendre en compte des types et des niveaux
  différents de besoins mathématiques.

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Une classification des compétences autour de 8
pôles

• Penser mathématiquement
• Poser et résoudre des problèmes mathématiques
• Analyser et construire des modèles mathématiques
• Raisonner mathématiquement
• Représenter des entités mathématiques
• Manipuler des symboles et formalisations
  mathématiques
• Communiquer en, avec et à propos de mathématiques
• Savoir utiliser aides et instruments, dont les TIC

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Les compétences (suite)

• Des compétences déclinables ensuite suivant les
  domaines mathématiques et les niveaux, et
  évaluées selon trois dimensions
• le niveau dapprofondissement,
• le rayon daction,
• le niveau technique.

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Et, complétant ces 8 pôles

• Des vues densemble et avis sur
• les applications actuelles des mathématiques dans
  dautres disciplines et dans les pratiques,
• le développement historique des mathématiques,
• la nature des mathématiques comme discipline.

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Un exemple de problème

• 10 44 Une vitesse élevée tue !
• Une voiture conduit à la vitesse de 50km/h est
  dépassée par une voiture roulant à 60 km/h. Quand
  les deux voitures sont juste côte à côte, une
  petite fille sengage sur la route quelques
  mètres devant. Les deux conducteurs pilent au
  même instant et leurs voitures ont des capacités
  de freinage identiques. La première voiture
  sarrête juste à temps, la seconde heurte la
  petite fille à 44 km/h. 7 enfants sur 10 meurent
  dans un tel accident.

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Mais aussi des diversités indéniables reflétant
la diversité des cultures

• Linfluence de systèmes de valeurs très
  différents qui dépassent le seul monde de
  léducation
• Des organisations et choix curriculaires très
  divers
• curriculum intégré ou non,
• équilibres entre les domaines,
• stratégies didactiques.

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Le cas de lentrée dans le monde de lalgèbre

• Trois stratégies principales
• lentrée par le monde des équations,
• lentrée par la recherche de  patterns  et les
  formules,
• lentrée par les fonctions.

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Trois stratégies principales

• Privilégiant chacune un certain rapport à la
  lettre.
• Posant de façon différente les rapports
  arithmétique / algèbre.
• Exploitant des fonctionnalités différentes de
  lalgèbre.
• Induisant des dynamiques dapprentissage
  différentes.

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Lentrée par patterns et formules
Pays anglo-saxons
Nombre généralisé, généralisation
Equations
Fonctions
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La bordure (IREM de Poitiers)
Combien de carreaux dans la bordure pour un carré
de côté 4, de côté 10 ?
NNNN4, 4N4 4(N2)-4 2(N2)2N (N2)2-N2
Comment trouver le nombre de carreaux pour
nimporte quel carré ?
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Patterns et formules vers fonctions et équations
Si je double le côté du carré, que se passe-t-il
pour la bordure ?
Est-ce quil y a des bordures de 200, 210, 1000
carreaux ?
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Patterns et formules larticulation de
registres sémiotiques
28
Patterns et formules larticulation de
registres sémiotiques
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Lentrée par formes et formules

• Une entrée qui privilégie un parcours
• Nombre généralisé Variable Inconnue
• Généralisation Fonctions Equations
• Une entrée qui adoucit la transition arithmétique
  / algèbre.
• Une entrée qui est généralement associée à des
  enseignements précoces de lalgèbre.
• Une entrée qui réhabilite le travail sur les
  formules.

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Les entrées dans le monde algébrique
Equations
France Hongrie Israel Italie Hong Kong
Fonctions
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Les entrées dans le monde algébrique
La modélisation fonctionnelle de situations
Pays Bas Japon
Equations
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Les Pays Bas Realistic Mathematics Education

• Une entrée par des situations fonctionnelles
   réalistes , en utilisant divers registres
  sémiotiques
• Une entrée dès le début du collège avec une
  grande attention accordée à la modélisation et à
  la progressivité du symbolisme
• Une routinisation des procédures qui ne
  seffectue que plus tardivement (grade 10)

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La diversité curriculaire en algèbre

• Des choix sensiblement différents pour lentrée
  dans le monde algébrique
• Entrée précoce ou non
• Généralisation, Equations, Fonctions
• Mais aussi
• La répercussion des structures générales
  curriculum intégré ou non
• Des attentes très différentes dans la maîtrise
  technique

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Que retirer de ces comparaisons ?

• Lentrée dans le monde algébrique une entrée
  reconnue universellement comme problématique et
  dont on comprend mieux la complexité aujourdhui
  du fait des nombreuses recherches menées dans ce
  domaine.
• Diverses stratégies possibles.
• Lintérêt au début du collège dun travail sur
  patterns et formules qui peut aider à mettre en
  place de façon moins brutale le symbolisme
  algébrique tout en faisant vivre une valeur
  essentielle de lalgèbre sa valeur doutil de
  généralisation.