Sousensembles ouverts

1
Sous-ensembles ouverts
Un ouvert U de R est un sous-ensemble voisinage
de chacun de ses points, ce qui signifie
Pour tout x dans U,
il existe un intervalle ouvert borné Ix
contenant x et inclus dans U

x
U
2
Sous-ensembles fermés
Un sous-ensemble F de R est dit fermé si et
seulement si son complémentaire est ouvert.
3
Intérieur, adhérence, frontière dun
sous-ensemble E de R
o Lintérieur E dun
sous-ensemble E de R est le plus grand
sous-ensemble ouvert de R inclus dans E
_ Ladhérence E dun
sous-ensemble E de R est le plus petit
sous-ensemble fermé de R contenant E
_ o Frontière
de E E \ E
4
Caractérisation de ladhérence
Un point x de R est adhérent à un sous-ensemble
E si et seulement si on peut latteindre comme
limite dune suite de points de E.
5
La droite numérique  achevée 
R
- linfini
linfini
Adjonction à R de deux éléments
6
La droite numérique  achevée (une autre
manière de procéder)
m
R
0
x
Linfini
Adjonction à R dun élément
7
Fin du chapitre 3