Soutenabilit, risques climatiques et quations de Reynolds moyennes RANS

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Soutenabilité, risques climatiquesetéquations
de Reynolds moyennées (RANS)

• Doctorat université de Rennes 1 IRMAR - 31
  janvier 2006

par Julien Lederer sous la direction du Pr.
Roger Lewandowski
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Première partie motivation
Introduction
Soutenabilité, risques climatiques et équations
de Navier Stokes moyennées (RANS)
Couplage finance économie Reynolds Averaged
Navier-Stokes (RANS) - RANS (à 1 d de
fermeture), Finance- Economie (FE) - couplages
FE - RANS Black Scholes (BSC) -
RANS Soutenabilité et quelques problèmes
mathématiques - critère doptimisation et
soutenabilité - maximisation du critère s.c.
FE-RANS - FE-RANS, BSC-RANS, RANS existence,
unicité
Deuxième partie RANS 3D stationnaire sans
convection avec viscosités non bornées
régularisées en 0
1- Cas scalaire (sans pression et sans
convection) stationnaire- formulation
variationnelle espaces de Sobolev à poids
dépendant des solutions- densité de fonctions
régulières / Sobolev à poids- estimations à
priori- passages à la limite 2 - Cas
périodique stationnaire sans convection avec
pression et viscosité concave - construction de
solutions régulières ( ) -
estimations à priori - passages à la limite
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Climat Finance - Economie
Couplage finance-économie-fluides
Soutenabilité, risques climatiques et équations
de Navier Stokes moyennées (RANS)
Externalités
ETAT
CLIMAT (RANS)
Réglementation, contrôle (taxation, dépenses)
Financement Capitalisation Transfert de
risques Prix
FINANCE
PRODUCTEURS
Production Epargne Consommation
Sensibilité
ECONOMIE
CONSOMMATEURS
Offre, demande, dommages
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Couplage finance-économie-fluides
Soutenabilité, risques climatiques et équations
de Navier Stokes moyennées (RANS)
Climat Finance - Economie
Politique environnementale
ETAT
CLIMAT (RANS)
Revenus
FINANCE
PRODUCTEURS
Financement Capitalisation Transfert de
risques Prix
Production Epargne Consommation
ECONOMIE
CONSOMMATEURS
Gestion de lenvironnement, agrégation de
comportements, maximisation des profits et
satisfactions
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Couplage finance-économie-fluides
Soutenabilité, risques climatiques et équations
de Navier Stokes moyennées (RANS)
Modèles FE - RANS et BSC - RANS
RANS symbolisant le climat - océans et
atmosphère centraux pour le climat gt NS
incompressible - équations chaotiques gt
probabilités gt RANS- forces, domaines, sources
et puits dépendant de léconomiegrande
complexité gt HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES MAIS
difficultés dues aux- viscosités turbulentes-
terme quadratique de production dECT- cascade
inverse en ECT Finance / Economie -
T.E.E. - lien avec le climat par les prix, usure
du capital et renouvellement des matières
premières- absence dopportunité darbitrage -
transfert de risques par les options grande
complexité mais PAS (trop) DHYPOTHESES
REDUCTRICES gtouvertures - analyse fondamentale
Keynes, néo-classiques, théorie des jeux -
analyse technique modélisation
statistico-financière
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Soutenabilité et contrôle optimal
Décisions soutenables et problèmes mathématiques
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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Soutenabilité - dépend des sociétés et
cultures qui la définissent gt consensus
international et hiérarchisation de situations
insoutenables - soutenabilité ? vérification de
contraintes sur les variables détat gt critère
doptimisation 1 dans le domaine et
sinon - critère défini à priori ( celui
des forces politiques en place ) Exemple
limitation de la températureLe problème à
résoudre maximiser
(f est intégrable et 1
lorsque la limitation est vérifiée et
sinon, sous contrainte FE-RANS ou BSC-RANS, avec
les contrôles des forces politiques en place)
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Première partie motivation
Décisions soutenables et problèmes mathématiques
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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Sous problème existence de solutions du modèle
RANS 3D stationnaires sans
convection avec des conditions homogènes
viscosités non bornées( cas des viscosités
bornées Lewandowski 97, Lewandowski-Murat 97,
Gallouët-Herbin 97, Brossier-Lewandowski 02,
Bernardi-Chacon-Lewandowski-Murat
03) (ouvert borné et régulier
3D)Cas physique

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Première partie motivation
Décisions soutenables et problèmes mathématiques
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Contexte - viscosités turbulentes non
bornées dérivables en 0 et vérifiant
- terme de production quadratique - cas
tri-dimensionnel stationnaire sans
convection Contributions - existence de
solutions dans le cas scalaire (sans pression ni
convection) sans terme de cascade inverse -
existence dans le cas tri-dimensionnel périodique
(avec pression) sans convection avec cascade
inverse pour des viscosités concaves estimation
L infini sur lECT
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Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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Deuxième partie analyse déquations RANS
1- Cas scalaire (Gallouët-Lederer-Lewandowski-Mur
at-Tartar, Nonlinear analysis TMA
03)Définitions (ouverts bornés Lipschitziens
simplement connexes)Généralisations si
le poids b et son inverse sont p-fois intégrables
avec Représentation du dual, réflexivité,
Banach, injections continues.Résultat
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Deuxième partie analyse des équations RANS
Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids
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Densité résultat connu (Cattiaux-Fradon).
Preuve originale et plus courte (avec T.
Gallouet, R. Lewandowski, F. Murat et L.
Tartar)3 étapes densités respectives
de1. Par troncature et Lebesgue2.
et Lebesgue.3. Convolution et convergence
faible en utilisant la régularité de b puis
Hahn-Banach
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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
scalaire
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Résultat principal Solutions dénergie

et Système approché viscosités
bornées (existence par R.L.) et troncature du
membre de droite de léquation de k.
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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
scalaire
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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Cas scalaire en 3D estimations à
priori Estimation standard


Boccardo-Gallouët Principale estimation



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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
scalaire
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Cas scalaire en 3D passages à la limite
(en utilisant la densité )
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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
scalaire
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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Cas scalaire en 3D passages à la limite

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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
de Navier Stokes moyennées (RANS)
2 - Cas périodique avec terme de cascade inverse
et viscosité concave(J.Lederer et R.
Lewandowski, accepté pour publication dans Ann.
IHP, analyse non linéaire)
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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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Dans larticle, cas plus général

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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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Cas périodique 3D avec terme de cascade inverse
(avec R. Lewandowski)NB la
condition ci-dessus est due au terme de cascade
inverse
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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
de Navier Stokes moyennées (RANS)
Preuve en quatre étapes 1 Transformation
du système2 Construction dun système
approché par régularisation des viscosités et du
terme de production dECT 3 Estimations à
priori4 Passages à la limite dans les
équations
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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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1- Transformation du système


(Kirchoff) en notant
encore au lieu de
le système devientNB Comme
on a
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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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2- Solutions approchées - et
deux fois dérivables et bornées -
avec Par point fixe
(Leray-Schauder), on résoutoù
est étendu par 0 dans le complémentaire de

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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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3 Estimations à priori - pour les mêmes
raisons que dans le cas scalaire,
- comme
et - on
dérive formellement léquation pour le champ de
vitesse en multipliant par et en
intégrant par parties (conditions périodiques),

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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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En intégrant encore par parties, Daprès
léquation pour k, donc
dans
ce cas, comme la viscosité turbulente est
minorée par une constanteComme la
viscosité est CROISSANTE, POSITIVE ET CONCAVE

donc

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Deuxième partie analyse des équations RANS
RANS avec viscosité turbulente non bornée cas
périodique et régularité de lECT
Soutenabilité, risques climatiques et équations
de Navier Stokes moyennées (RANS)
On conclut en utilisant la borne pour
- une borne pour la vitesse (en
particulier pour ) - une
borne pour lECT (et en particulier L
infini) car second membre de carré intégrable
4 Passages à la limite on peut
remplacer par une troncature de
niveau assez élevé et nous ramener au cas
habituel des viscosités bornées

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Conclusion
Soutenabilité et risques climatiques un
domaine riche en problèmes ouverts
Soutenabilité, risques climatiques et équations
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Soutenabilité gt contrôle optimal (financements
F.A.O., banque mondiale, ? ) Problèmes posés
restant ouverts Limitation de la
température sc FE-RANS Coûts des risques
climatiques sc FE-RANS Existence et unicité
pour FE-RANS et BSC-RANS Existence et unicité
pour RANS Cas stationnaire avec des
viscosités non bornées dont linverse nest
pas bornée Cas stationnaire non scalaire sans
terme de transport dans des ouverts
lipschitziens bornés simplement connexes
Prise en compte du terme de transport Cas
dévolution pour des viscosités non bornées avec
et sans terme de transport De Rham pour
Sobolev à poids avec des poids et inverses non
bornés à linfini Densité des espaces de
fonctions vectorielles à divergence nulle très
régulières dans les espaces de Sobolev à
divergence nulle
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Conclusion
Soutenabilité et risques climatiques un
domaine riche en problèmes ouverts
Soutenabilité, risques climatiques et équations
de Navier Stokes moyennées (RANS)
Un domaine dapplication nouveau définition de
politiques soutenables Contribution deux
résultats dexistence pour RANS, un résultat de
densitéTrois conjectures le résultat de
densité sur les espaces de Sobolev à poids
devrait se généraliser au cas despaces de
Banach en remplaçant la condition par le
cas périodique devrait sétendre au cas douverts
lipschitziens bornés et simplement connexes
De Rham
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FINEn remerciant les membres du jury et
lassistance

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