Arithmtique stochastique

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Arithmétique stochastique

• Roselyne CHOTIN, Habib MEHREZ

En collaboration avec LIP6/ANP (J. Vignes, J.-M.
Chesneaux, J.-L. Lamotte)
École d'été ASIM Garchy, 7 septembre 2001
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Plan

• Problématique
• Méthode CESTAC
• Solution logicielle
• Solution matérielle
• Quelques résultats
• Perspectives

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Plan

• Problématique
• Méthode CESTAC
• Solution logicielle
• Solution matérielle
• Quelques résultats
• Perspectives

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Problèmes darrondi
Si (3A) ? 2 alors Procédure1 Sinon Procédure2
Fin si

• Arithmétique exacte
• A2/3, 3A2

• Arithmétique flottante
• A0.6666, 3A1.9998

Arithmétique stochastique Estimation des erreurs
darrondi
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Plan

• Problématique
• Méthode CESTAC
• Solution logicielle
• Solution matérielle
• Quelques résultats
• Perspectives

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Méthode CESTAC
Contrôle et Estimation Stochastique des Arrondis
de Calcul
Idée principale

• On exécute plusieurs fois le même calcul avec un
  mode d arrondi différent afin de propager les
  erreurs d arrondi.
• Le résultat significatif sera la partie commune
  des différents résultats

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Arithmétique aléatoire
Tout résultat exact est encadré par 2 flottants
On choisit aléatoirement le mode d arrondi avec
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Estimation de la précision
Le résultat du calcul est
Le nombre de chiffres significatifs de R est
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Zéro informatique

• Une erreur d arrondi peut se répercuter sur un
  résultat censé être nul
• Zéro informatique
• Résultat nul significatif
• Résultat quelconque mais non significatif

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Exemple d utilisation
Si (3A) ? 2 alors Procédure1 Sinon Procédure2
Fin si
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Plan

• Problématique
• Méthode CESTAC
• Solution logicielle
• Solution matérielle
• Quelques résultats
• Perspectives

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Le logiciel CADNA
Control of Accuracy and Debugging for Numerical
Applications

• pouvoir estimer l'impact des erreurs d'arrondi
  dans tout résultat de programmes scientifiques
• permettre au programmeur de disposer des types
  stochastiques
• permettre un véritable débogage numérique
• garantir la fiabilité de l'estimation des erreurs
  d'arrondi fournie par la méthode CESTAC
• permettre de prendre en compte les erreurs de
  données dans l'estimation de la précision

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Exemple d utilisation
Équation du second degré Ce programme calcule les
racines de l équation du second degré
0.3x2 - 2.1x 3.675 0 racine double
x_sol 3.5
SANS CADNA d -3.8146972E-06 Il y a deux
racines complexes conjuguées. z1 0.3499999E01
i 0.9765625E-03 z2 0.3499999E01 i
-.9765625E-03
AVEC CADNA d _at_.0 (zéro informatique) Le
discriminant est nul. La racine double réelle
est 0.3500000E01
L'arithmétique classique ne peut détecter la
valeur non significative du discriminant. Le
programme prend donc le mauvais branchement
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Mise en défaut

• On doit exécuter plusieurs fois (en pratique 3)
  le même calcul avec un arrondi différent
• Le calcul du nombre de chiffres significatifs est
  coûteux en temps CPU
• Demande pour de l embarqué

Solution matérielle
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Plan

• Problématique
• Méthode CESTAC
• Solution logicielle
• Solution matérielle
• Quelques résultats
• Perspectives

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Méthode CESTAC

• Exécuter 3 fois le même calcul
• Choisir aléatoirement le mode darrondi
• Calculer le nombre de chiffres (bits)
  significatifs
• Calculer le résultat moyen
• Détecter les zéros informatiques

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Méthode CESTAC

• Exécuter 3 fois le même calcul
• Choisir aléatoirement le mode darrondi
• Calculer le nombre de chiffres (bits)
  significatifs
• Calculer le résultat moyen
• Détecter les zéros informatiques

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Opérateurs fottants

• On exécute 3 opérations flottantes à la suite
  avec un mode d arrondi différent
• Les opérateurs sont pipelinés afin de diminuer le
  temps de cycle
• Opérateurs implémentés
• addition
• soustraction
• test
• conversions entier?flottant

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Méthode CESTAC

• Exécuter 3 fois le même calcul
• Choisir aléatoirement le mode darrondi
• Calculer le nombre de chiffres (bits)
  significatifs
• Calculer le résultat moyen
• Détecter les zéros informatiques

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Générateur de nombres aléatoires

• Un générateur de 1 et de 0 pour un arrondi
  aléatoire vers ou
• Probabilité de ½ davoir 0 (respectivement
  davoir 1)

Solution basée sur un LFSR
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Méthode CESTAC

• Exécuter 3 fois le même calcul
• Choisir aléatoirement le mode darrondi
• Calculer le nombre de chiffres (bits)
  significatifs
• Calculer le résultat moyen
• Détecter les zéros informatiques

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Nombre de bits significatifs
Trop coûteux à implémenter ? autre méthode

• On calcule
• Pour chaque on cherche la position du
  premier bit à 1 ( )
• Le nombre de bits significatifs est

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Nombre de bits significatifs
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Méthode CESTAC

• Exécuter 3 fois le même calcul
• Choisir aléatoirement le mode darrondi
• Calculer le nombre de chiffres (bits)
  significatifs
• Calculer le résultat moyen
• Détecter les zéros informatiques

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Résultat moyen
Le calcul du résultat moyen est donné par
Pas d opérateur dédié ? logiciel
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Méthode CESTAC

• Exécuter 3 fois le même calcul
• Choisir aléatoirement le mode darrondi
• Calculer le nombre de chiffres (bits)
  significatifs
• Calculer le résultat moyen
• Détecter les zéros informatiques

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Détection des zéros informatiques

• Tous les résultats sont nuls
• ou le nombre de bits significatifs est nul

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Assemblage du tout
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Plan

• Problématique
• Méthode CESTAC
• Solution logicielle
• Solution matérielle
• Quelques résultats
• Perspectives

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Quelques résultats

• Unité flottante IEEE/754 (0.35µm)
• Sans pipeline 20 MHz, 0.71 mm2
• 1 étage 41 MHZ , 0.77 mm2
• 2 étages 59 MHZ , 0.84 mm2
• Bloc CESTAC (0.35 µm)
• 58 MHz , 0.32 mm2 (environ 30 de la taille de
  l unité flottante)

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Plan

• Problématique
• Méthode CESTAC
• Solution logicielle
• Solution matérielle
• Quelques résultats
• Perspectives

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Perspectives

• Intégrer lunité flottante stochastique dans un
  processeur RISC sur FPGA (processeur Java dAED
  ?)
• Fondre un chip avec unité flottante stochastique
  (processeur Java dAED ?)
• Développer dautres opérateurs flottant
  (multiplication, division)