Mouvements sinusodales

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Mouvements sinusoïdales

• Faisons une rapide révision de tous les
  mouvements périodiques rencontrés jusquà
  maintenant et de leur représentation par une
  équation sinusoïdale
• Mouvement circulaire uniforme
• Équations dun ressort
• Générateur de courant alternée
• (Hecht chap 12)

2
Mouvement circulaire uniforme

• Soit une particule qui décrit une trajectoire
  circulaire avec une vitesse
• v dl/dt constante
• Vitesse angulaire ? v/r constante
• Un tour complet (un cycle) est ? 2p rad
• Il fait f tours /s
• En une seconde, elle a un déplacement angulaire,
  ??, de 2pf
• Cest exactement la vitesse angulaire
• ? 2p f 2p /T
• fréquence angulaire ou pulsation

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Mouvement sinusoïdal
x (t) position à linstant t A amplitude x (t)
A cos ?t T période , f fréquence ? 2p f 2p
/T
Quand une particule effectue un mouvement
circulaire uniforme, sa projection sur un
diamètre effectue un mouvement sinusoïdal
mouvement harmonique simple, i.e. avec une
seule fréquence f.
4
Mouvement sinusoïdal (exemple)

• Représentation dun des satellites de Jupiter
• Lorsque le plan du mouvement est vu sous une
  inclinaison de plus en plus petite, lorbite
  circulaire semble saplatir en ellipse, puis en
  droite.
• Le satellite semble animé dun mouvement
  sinusoïdal

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Mouvement périodique ( Ressort F -kx)
Déplacement x(t) du point déquilibre
A amplitude déplacement maximal
cycle tour complet entre x A
t 0 x - A t T/2
x A t T T periode temps requis
pour un cycle f fréquence nombre de cycles /s
(Hz) f 1/T T 1/f
6
(No Transcript)
7
Position en fonction du temps mouvement
harmonique simple
Graphique représentant la nature sinusoïdale du
mouvement harmonique simple en fonction du
temps x(t) A cos ?t A cos(2pt/T)

• Solution convenable x(t) a cos ?t b sin ?t
• d2/dt2 (cos ?t) d/dt (d/dt cos ?t) d/dt (- ?
  sin ?t) - ?2 cos ?t
• d2/dt2 (sin ?t) d/dt (d/dt sin ?t) d/dt ( ?
  cos ?t) - ?2 sin ?t
• - ?2 (a cos ?t b sin ?t) k/m (a cos ?t b
  sin ?t) 0
• k/m - ?2 0 ?2 k/m c (2p/T)2 k/m
  c T 2p?m/k
• a et b sont deteminés par les conditions
  initiales. Exemple t 0, v 0, x A c A a
  cos (? 0) b sin (? 0) c a A
• c 0 v dx/dt -a ? sin 0 b ? cos 0 c b
  0 c x Acos ?t

Équation du mouvement F ma F -
kx ?d2x/dt2 k/m x 0
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Mouvement harmonique simple

• On peut aussi écrire
• x(t) A cos (?t F) A cos ?t cosF A
  sin ?t sin F
• x a cos ?t
  b sin ?t
• ? Acos F a A sin F b
• tg F -b/a F angle de phase
• x A cos ? (t F /?) A cos ? (t ?t)
• F /? combien de temps avant ou après t 0 on a
  le maximum x A
• Pour F - p/2 x A cos (?t - p/2 ) A sin
  ?t
• Pour F 0
  x A cos ?t

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x(t) A cos (?t F) (Exemples)
On compare 2 mouvements sinusoïdales bleu x(t)
A cos (?t)
et rouge x(t) A cos (?t
F)
A A , T T/2 , F F 0
A gt A , T T , F F 0
x(t) A cos (?t) xmax A
A A , T T , F p/4
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Mouvement harmonique simple

• x(t) A cos (?t F)
• v dx/dt - ? A sin (?t F)
• a d2x/dt2 - ?2A cos (?t F) - ?2 x
• vmax ?? A ??k/m A pour x 0
• point déquilibre
• v 0 pour x ? A
• Conservation de E
• E EP Ec ½ k x2 ½ m v2 ½ kA2
• Lénergie mécanique totale est
  proportionnelle au carré de lamplitude

• E ½ kA2cos2(?t F)
• ½ m?2A2sin2(?t F)
• E ½ kA2cos2(?t F) ½ kA2sin2(?t F)
• ½ kA2

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La vitesse est en avance de phase de p/2 sur la
position. Laccélération est en avance de p/2
sur la vitesse, et en avance (ou en retard) de p
sur le deplacement.
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Générateur de courant alternatif

• Energie mécanique ? énergie électrique

FB BA

• E - d FB/ dt - d/dt ? B dA -BA d cos?
  /dt
• ? d ? /dt ? ?0 ? t (?0 0)
• E - BA d cos ? t /dt BA ? sin ? t Em sin ?
  t
• Pour N spires Em NBA ?
• f ? /2p (50 - 60 Hz) T 1/f 2p /?

FB 0
FB BA
FB 0
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Circuits RLC
Circuit avec tension alternative et inducteur,
condensateur et résistance en série

• V(t) VR(t) VL (t) VC (t)
• Lénergie est toujours conservée
• Les règles de Kirchhoff sappliquent aux valeurs
  instantanées
• A tout instant lintensité du courant est la même
  en tout point du circuit
• I(t) Im sin ?t mais les tensions ne
  sont pas en phase avec le courant
• les tensions au bornes de chaque élement
• VR(t) RIm sin ?t
• VL(t) (?L )Im sin (?t 90o)
• VC(t) Im / (?C ) sin (?t - 90o)
• V (t) Vm sin (?t ?)
• il faut déterminer Vm et ?
• Vm ? VRm VLm VCm

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Ondes mécaniques

• Le transport de lénergie et de la quantité de
  mouvement se fait par des particules qui se
  déplacent ou des ondes qui se propagent
• Une onde est une perturbation qui se propage dans
  un milieu, onde progressive, sans déplacement de
  matière à grande échelle ?propagation plus rapide
  que par une particule massive.
• La source de toute onde est une vibration
• La forme de londe (profil) est determinée
• par le mouvement de lemetteur (la main
• dans la figure), la vitesse de propagation
  est
• determinée par les aspects physiques du
  milieu.

Onde transversale
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Exemple 12.8 pg 469

• Un jeune garçon contemple, dun bateau, les
  vagues sur un lac elle semblent être une
  succession sans fin de crêtes identiques qui
  passent lune après lautre à un demi-seconde
  dintervalle. Si elles mettent 1,5 s pour
  parcourir sa coque de longueur 4,5 m , déterminez
  la fréquence, la période et la longueur donde de
  ces vagues.

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Ondes ? , T et v f ?

• ? longueur donde, distance sur laquelle londe
  se répète identique
• T période, temps nécessaire pour que londe
  retrouve la même configuration
• temps quil faut à un
  profil pour défiler devant un point donné
• ? et T sont determinés par la vibration de la
  source
• Onde émise par un saxophone
• f 1/T fréquence, nombre de profils qui
  traversent un point donné pendant une seconde
• v f ? vitesse de propagation de londe

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Ondes transversales et longitudinales

• Onde transversale la vitesse des particules,
  vp,
• est perpendiculaire à la vitesse de
  propagation v
• Onde longitudinale la vitesse vp est parallèle
  à v
• Exemple onde sonore dans lair
• Source membrane avec vibration sinusoidale
  (haut-parleur) avec un petit deplacement (lt 1cm).
  
• Le temps dun cycle complet de la membrane
  determine T ? f 1/T ? ? v /T
• Condensation et raréfaction de lair
• pression acustique
• P F? / S (force normale / surface)
• unité pascal (pa) ? N/m2 106 atm
• Quand la pression est positive il y a
  condensation
• et les atomes se déplacent dans la
  direction de propagation de londe. Lorsque la
  pression est extrême le déplacement est nul

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Fonction donde ?(x,t)

• Une onde peut être représentée par nimporte
  quelle fonction régulière, f(x), pourvu quelle
  soit deux fois differentiable (f existe)
• Exemple (figure) f(x) 3 / (10x2 1) ?(x,0)
• Pendant le temps t londe se déplace de vt , la
  forme de londe au temps t est la même que au
  temps 0, mais avec un décalage de vt
• f(x) ? f(x-vt)
• ?(x,t) f(x-vt) ? ? /T v (Newton)
• Exemple f(x-vt) 3 / (10(x-vt)2 1)
  ?(x,t)

Principe de superposition si ?1 et ?2 sont une
solution de lequation, ? ?1 ?2 lest aussi
equation donde à 1 dimension
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Onde sinusoïdale y A sin (kx - ?t)

• Profil au temps t 0
• y A sin 2px /? A sin F
• F 2px /? phase (nombre pur)
• A amplitude (toujours positive!)
• Pour t ?0
• y A sin 2p (x-vt) /?
• A sin( 2p /? ) x (2p /T ) t
• A sin (k x ? t) avec
• k 2p /? nombre donde
• ? 2p f 2p /T frequence angulaire
• v ? /T ? /k vitesse de phase
• y A sin (k x ? t) onde harmonique
• Pour x 0 et v lt 0
• y A sin (2p /T ) t le profil en fonction
  du temps est encore une sinusoïde

• Lénergie associée à une onde est
• proportionnelle à A2. Pour une onde
• sonore A2 détermine lintensité
• (la force) du son.
• Pour une onde lumineuse lintensité
• lumineuse (la luminosité)

Train dondes avec fréquence constante, mais
amplitude modulée
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Onde sinusoïdale transversale
21
La vitesse de propagation (v ?f) dépend du
milieu

• Corde ayant une tension FT
• et masse linéique µ

• Une force Fy tire la corde vers le haut à la
  vitesse v

Fy
FT

• Tous les points de la corde à la gauche de A
  bougent vers le haut à la vitesse v
• Tous les points à la droite de A restent au
  repos.
• La vitesse de propagation, v, de cette impulsion
  ondulatoire est la vitesse
• du point A le point A parcourt vers la
  droite une distance vt dans un temps t,
• tandis que lextrémité gauche parcourt
  vers le haut une distance vt .
• Triangles semblables ? FT/Fy vt /vt (vt ltlt
  vt ) ? (v/v) FT t Fy t
• Pour la deuxième loi de Newton Fy t ?p
  ?p m v ( µ v t ) v
• (v/v) FT t ( µ v t ) v ? FT µ v2
  ? v ? FT / µ
• valable pour toutes les formes donde,
  pour des petits déplacements

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Valeurs de v

• v ne dépend ni de ? ni de f , seulement du milieu
  !!!!
• En general on peut dire
• v ?facteur de force élastique/
  facteur dinertie
• Pour une onde longitudinale parcourant une tige
  solide
• v ?E/ ? E module délasticité
  module de Young
• ? masse volumique
  masse par unité de volume
• Pour une onde longitudinale se propageant dans
  un liquide ou un gaz
• v ?B/ ? B module de compression
  volumique
• La vitesse du son dépend du milieu dans
  lequelle il se propage
• (à T 20o) dans lair 343 m/s, dans leau
  1440 m/s, dans le fer 5000 m/s
• La vitesse du son dépend aussi de la
  temperature
• dans lair v (3310.60 T) T en
  degrés Celsius

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• Exemple 12.11 pg 475
• Un ébranlement périodique incident, de
  longueur donde ?i se propage dans un milieu, où
  la vitesse est vi et tombe sur linterface avec
  un autre milieu, où la vitesse est vf .Établir
  une relation entre les vitesses et les longueurs
  donde dans les deux milieux.
• Exemple 12.13 pg 478
• En fonçant vers un insecte, une
  chauve-souris émet des impulsion dultrasons en
  forme de trains dondes de fréquence 83 kHz .
  Chaque impulsion dure environ 5,0 ms. Sachant que
  la vitesse de propagation est de 340 m/s,
  déterminer la longueur occupée par chaque train.
  Combien de longueurs donde y a-t-il dans le
  train?

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Énergie transmise par une onde

• Une onde presente la même dynamique que un
  ressort
• Chaque particule mi de londe a une energie E ½
  kA2 et k mi ?2
• En additionnant sur toutes les masses E ½ M
  ?2A2 M ?i mi
• Lénergie transportée par une onde est
  proportionnelle au carré de lamplitude
• À 3-dimensions M ?V , V S l S v t
• E ½ ? S v t ?2A2 énergie qui passe à
  travers une surface S en un temps t

Exemple dune onde de compression sismiques
produite par une explosion nucléaire souterraine.
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Puissance et Intensité dune onde

• Puissance moyenne P E / t ½ ? S v ?2A2
  W ( ? 2pf )
• Intensité dune onde I P / S ½ ? v ?2A2
  W/m2

• Pour une onde plane, S est constant ? A et I
  restent constant , sauf amortissement
  frictionnel, qui transforme une partie de
  lénergie en chaleur

• Pour une onde sphérique, soit r2 gt r1
• P1 P2 ? 4 p r12 A12 4 p r22 A22
• A2 /A1 r1 /r2 lamplitude diminue
  inversement à la distance
• I2 /I1 r12 /r22 lintensité inversement
  au carré de la distance

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Exemple 13.2 pg 497

• Une explosion sous-marine a été détectée à
  100 m du point dexplosion et lintensité a été
  mesurée à 1 GW/m2. Au bout de 1s, le son a été
  détecté à 1,5 km du point de lexplosion. Quelle
  était lintensité à cette dernière position?

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Intensité du son

• Lintensité sonore, volume sonore, dépend du
  spectre de fréquence, de la durée et de
  lintensité du son I ? f2 A2
• Seuil daudibilité I0 10-12 W /m2
• Intensité I 10n I0 n bels (B),
  décibel (dB) 0.1 B
• Niveau dintensité (niveau sonore) ß 10
  log10 I /I0 (dB)
• Gamme dintensité audible 10-12 W /m2 - 1 W
  /m2
• 
  de 0 à 120 dB
• Gamme de fréquences audibles 20 Hzlt f lt 20 kHz
• Gamme de longueur donde 15 m lt ? lt 0.01 m

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Exemple 13.5 pg 504 En comparant deux
réunions publiques, on trove que le volume sonore
de lune est 32 fois plus grand que lautre.
Quelle est la différence de niveau dintensité
exprimée en dB ? Exemple 13.6 pg
505 Considérons 10 violons identiques, chacun de
niveau 70 dB. Quel sera le niveau sonore sils
jouent ensemble?
29
275) Illustration dondes

• Ondes de surfaces à la surface d un liquide
  réalisés à laide dune cuve à ondes.
• Une plaque vibre (moteur) et engendre des vagues
  rectilignes qui se propagent
• à la surface du liquide. Le liquide est coloré et
  une projection à travers la cuve permet
• de visualiser le phénomène. ( La plaque est
  animée doscillations verticales)
• Le mouvement rotatif du moteur est transformé
  (embiellage) en un mouvement
• rectiligne, ce qui donne des oscillations
  sinusoïdales au niveau de la plaque.
• La cuve à ondes donne une représentation à deux
  dimensions dune onde sinusoïdale
• plane à trois dimensions.
• On constate que, en augmentant la fréquence de
  rotation du moteur (f2 gt f1), v ne
• change pas (v est caractéristique du milieu
  considéré), par contre la longueur donde
• varie de façon inversement proportionnelle à la
  fréquence (?f v const)

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Ondes sphériques

• Illustration à laide de la cuve à ondes.
• La plaque de lexpérience 275 est remplacée par
  une tige trempant dans le liquide de la cuve.
  Cette pointe est animée par des oscillations
  verticales, ce qui donne lieu à des ondes
  circulaires, à deux dimensions.
• On constate que si f augmente, ? diminue (?f v
  const.)

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Ne pas oublier

• Une onde progressive est un ébranlement qui se
  propage dans un milieu.
• La vitesse de propagation de londe, v f ?
  ,dépend seulement du milieu, elle est
  indépendante de la fréquence f et de la longueur
  donde ? .
• Lénergie transportée par une onde est
  proportionnelle au carré de lamplitude
• Pour une onde plane, lamplitude A et l
  intensité I restent constants
• Pour une onde sphérique, A diminue inversement à
  la distance et I inversement au carré de la
  distance