Tests statistiques

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Tests statistiques

• Définition le test statistique donne une règle
  permettant de décider si lon peut rejeter une
  hypothèse, en fonction des observations relevées
  sur des échantillons.

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Tests statistiques

• Définition le test statistique donne une règle
  permettant de décider si lon peut rejeter une
  hypothèse, en fonction des observations relevées
  sur des échantillons.
• Démarche scientifique
• Poser une hypothèse
• Conduire une expérience
• Analyser la compatibilité de cette hypothèse avec
  les observations issues de lexpérience

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Hypothèses

• Hypothèse nulle lhypothèse dont on cherche à
  savoir si elle peut être rejetée, notée
  H0souvent définie comme une absence de différence

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Hypothèses

• Hypothèse nulle lhypothèse dont on cherche à
  savoir si elle peut être rejetée, notée
  H0souvent définie comme une absence de
  différence
• Hypothèse alternative hypothèse concurrente,
  notée H1

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Hypothèses exemple

• Une nouvelle molécule est proposée pour traiter
  le cancer de lestomac localisé.
• Le but est daméliorer la survie à 1 an par
  rapport au traitement habituel

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Hypothèses exemple

• Une nouvelle molécule est proposée pour traiter
  le cancer de lestomac localisé.
• Le but est daméliorer la survie à 1 an par
  rapport au traitement habituel
• Hypothèse nulle la proportion de patients
  survivants à 1 an avec le nouveau traitement est
  égale à celle du traitement habituel
• Hypothèse alternative survie différente

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Comment rejeter lhypothèse nulle ?

• Définir une zone de rejet de lhypothèse nulle
  construite sur une base de vraisemblance en
  probabilité

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Comment rejeter lhypothèse nulle ?

• Définir une zone de rejet de lhypothèse nulle
  construite sur une base de vraisemblance en
  probabilité
• Valeurs expérimentales les plus extrêmes ayant
  une probabilité  faible  de se réaliser si
  lhypothèse nulle est vraie.

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Comment rejeter lhypothèse nulle ?

• Définir une zone de rejet de lhypothèse nulle
  construite sur une base de vraisemblance en
  probabilité
• Valeurs expérimentales les plus extrêmes ayant
  une probabilité  faible  de se réaliser si
  lhypothèse nulle est vraie.
• Risque de première espèce probabilité que lon
  a de rejeter lhypothèse nulle quand elle est
  vraie (fixé arbitrairement à 5)

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Zone de rejet exemple

• Sachant lintervalle de pari dune proportion, on
  peut construire un test pour une proportion
  théorique ?

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Zone de rejet exemple

• Sachant lintervalle de pari dune proportion, on
  peut construire un test pour une proportion
  théorique ?avec po la proportion observée
  dans un échantillon de taille n (n ? et n (1-?)
  ? 5)

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Zone de rejet exemple

• Sachant lintervalle de pari dune proportion, on
  peut construire un test pour une proportion
  théorique ?avec po la proportion observée
  dans un échantillon de taille n (n ? et n (1-?)
  ? 5)

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Zone de rejet exemple

• Sachant lintervalle de pari dune proportion, on
  peut construire un test pour une proportion
  théorique ?z suit une loi normalecentrée
  réduite
• avec po la proportion observée dans un
  échantillon de taille n conditions n ? et n
  (1-?) ? 5
• Zone de rejet z gt 1,96 pour un risque 5

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Conclusion du test

• Lorsque le résultat du test appartient à la
  région de rejet on rejette H0on conclut que le
  test est significatif au risque ? (5)

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Conclusion du test

• Lorsque le résultat du test appartient à la
  région de rejet on rejette H0on conclut que le
  test est significatif au risque ? (5)
• Lorsque le résultat du test nappartient pas à
  la région de rejet on ne rejette pas H0on
  conclut que le test est non significatif(en
  abrégé NS)

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Test exemple

• Dans un échantillon de 300 individus, un
  caractère est présent chez 68 alors quen
  théorie (loi de Mendel) on sattendrait à
  lobserver chez 75.

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Test exemple

• Dans un échantillon de 300 individus, un
  caractère est présent chez 68 alors quen
  théorie (loi de Mendel) on sattendrait à
  lobserver chez 75.
• Calcul

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Test exemple

• Dans un échantillon de 300 individus, un
  caractère est présent chez 68 alors quen
  théorie (loi de Mendel) on sattendrait à
  lobserver chez 75.
• Calcul
• z gt 1,96 appartient à la région de rejet de H0
• Le test est significatif le caractère est moins
  fréquent que ne le prédit la loi de Mendel.

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Degré de signification

• Lorsque le test est significatif, il est dusage
  de quantifier le degré de signification du test.
• Définition le degré de signification est la
  plus petite taille du test (valeur du risque de
  1ère espèce) qui aurait permis avec ces données
  de rejeter le test (il sagit dune probabilité a
  posteriori)

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Degré de signification

• Lorsque le test est significatif, il est dusage
  de quantifier le degré de signification du test.
• Définition le degré de signification est la
  plus petite taille du test (valeur du risque de
  1ère espèce) qui aurait permis avec ces données
  de rejeter le test (il sagit dune probabilité a
  posteriori)
• Exemple pour z2,8 la table 3.3 donne p0,0051
• On se contente souvent dune inégalité plt5
  plt1 plt1

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Interprétation dun test non significatif

• Lorsque le test nest pas significatif, on
  sabstient daffirmer quil nexiste pas de
  différence

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Interprétation dun test non significatif

• Lorsque le test nest pas significatif, on
  sabstient daffirmer quil nexiste pas de
  différence
• Il faut tenir compte du risque de 2e espèce ?
  probabilité que lon a de ne pas rejeter
  lhypothèse nulle quand elle est fausse
• Il sagit du défaut de puissance du test,
  quantité malheureusement inconnue

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Puissance dun test statistique

• Définition la puissance est la probabilité de
  rejeter lhypothèse nulle si elle est fausse
• La puissance (1??) dépend à la fois
• de lhypothèse alternative plus la différence à
  mettre en évidence est importante, meilleure est
  la puissance du test
• de la taille de léchantillon la puissance
  croît avec le carré de la taille de léchantillon
• Dépend aussi de la variabilité du critère
  (quantitatif)

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En résumé, les 5 étapes dun test

• Formuler lhypothèse nulle H0 et lhypothèse
  alternative H1
• Sélectionner une statistique de test adaptée,
  dont la distribution sous H0 est connue
• Définir la région de rejet de H0 en fonction du
  risque de 1ère espèce ?
• Réaliser lexpérience, calculer le test (vérifier
  les conditions dapplication)
• Décider du rejet de H0 et interpréter le résultat
  en fonction des risques (? et ?). Calcul du
  degré de signification p

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Test dune proportion exercice

• Dans un registre de 11 712 naissances, le
  nombre de filles est égal à 5 778. On se demande
  si la proportion de filles à la naissance diffère
  ou non de 50

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Test dune proportion exercice

• Dans un registre de 11 712 naissances, le
  nombre de filles est égal à 5 778. On se demande
  si la proportion de filles à la naissance diffère
  ou non de 50
• H0 P 50 H1 P ? 50

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Test dune proportion exercice

• Dans un registre de 11 712 naissances, le
  nombre de filles est égal à 5 778. On se demande
  si la proportion de filles à la naissance diffère
  ou non de 50
• H0 P 50 H1 P ? 50
• Statistique z (loi normale centrée réduite). Test
  de comparaison dune proportion à une valeur
  théorique.
• Rejet au risque ?5 si zgt1,96

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Test dune proportion exercice

• Dans un registre de 11 712 naissances, le
  nombre de filles est égal à 5 778. On se demande
  si la proportion de filles à la naissance diffère
  ou non de 50
• H0 P 50 H1 P ? 50
• Statistique z (loi normale centrée réduite). Test
  de comparaison dune proportion à une valeur
  théorique.
• Rejet au risque ?5 si zgt1,96
• z1,44 (conditions OK 11712x0,5 gt 5)
• H0 nest pas rejetée. Le test est non
  significatif (NS). La proportion de filles à la
  naissance (49,3) ne diffère pas
  significativement de 50 dans cette population.