Statistiques

1
Statistiques

• Organisation du cours
• 1er semestre 2003/2004 Pr. KOHLER
• Statistiques descriptives
• Echantillonnage
• Codage des variables
• Statistiques descriptives univariées
• Statistiques descriptives multivariées
• Probabilités
• Probabilités et probabilités conditionnelles
• Caractéristiques dun test diagnostique
• Lois de probabilité
• 2ième semestre 2003/2004 Pr. ALBUISSON
• Moyens pédagogiques
• Cours et TD
• Polycopiés
• Exercices TD gt à retirer pour le premier
  semestre à SPI-EAO (Bâtiment D RDC)
• Cours ADCN
• www.spieao.uhp-nancy.fr/kohler/
• Livres

2
Statistiques Généralités

• Introduction
• Statistiques (latin  status  état)
• Ensemble cohérent de données numériques
  relatives à un groupe d'individus.
• Statistiques démographiques
• Statistiques annuelles des établissements de
  santé
• Statistiques du chômage
• Statistiques de santé
• Etat de santé de la population
• Activité Statistiques dactivité hospitalière
  (SAE), PMSI
• Rôle de lINSEE
• Statistique
• Ensemble des méthodes qui permettent de
  rassembler et d'analyser les données numériques
• Paramètre tel que moyenne... calculé à partir
  d'un ensemble de données

3
Historique

• Dénombrement de populations humaines pour les
  besoins de la guerre et de l'impôt.
• Véritable début 18ième siècle
• Arithmétique politique connaissance d'un état
• Première classification des causes de décès
• Calcul des probabilités en France (B. Pascal, A.
  de Moivre, D. Bernouilli, P. S. de Laplace, K. F.
  Gauss, S. D. Poisson)
• Statistiques mathématiques modernes 19ième siècle
  1853 premier congrès (A. Quetelet, C. Babbage)
• Première moitié du 20ième siècle
• Statistiques biologiques et psychologiques
• Biométrie et Psychométrie
• 1920 A. Fisher et les plans d'expérience
• 1930 Econométrie, Contrôle de qualité industriel
• 1940 Recherche opérationnelle
• Deuxième moitié du 20ième siècle
• Développement de l'informatique
• Test de rang, test  exact 
• Analyses multi variées ou multidimensionnelles
• Analyse des données
• Méthodes bayesiennes

4
La variabilité en santé

• Variabilité de la mesure
• Essayer de mesurer plusieurs(100) fois la taille
  en mm dun individu vous trouverez des valeurs
  différentes cependant dans labsolu un individu a
  une taille et une seule.
• Variabilité inter individus
• Si vous observez des personnes dans la rue vous
  constatez quelles nont pas toutes la même
  couleur de cheveux.
• Variabilité intra individu
• Si vous mesurez la tension artérielle dun
  individu à différents moments de la journée ou au
  même moment mais plusieurs jours de suite vous
  obtiendrez des valeurs différentes.
• Du fait de la variabilité, on est dans le domaine
  de lincertain. Cette science de lincertain,
  cest le défi qua relevé la statistique en
  sappuyant sur le concept de probabilité.
• Plutôt quune seule valeur, la prise en compte de
  lincertain permet de déterminer un intervalle à
  lintérieur duquel on a une certaine probabilité
  de se situer et donc un risque de ne pas y être.

5
Statistiques et santé

• Description de l'état de santé d'une population
• Causes de décès, morbidité
• Évaluation d'un test ou d'un signe
• Sémiologie quantitative spécificité,
  sensibilité, valeurs prédictives
• Évaluation dun traitement
• Essai thérapeutique
• Recherche de facteurs étiologiques
• Économie de la santé
• Évaluation de la qualité et contrôle de
  production
• .

6
Les différentes étapes de toute étude statistique

• La collecte des données
• Simple observation
• Expérimentation
• c'est-à-dire en provoquant volontairement
  l'apparition de certains phénomènes contrôlés
• Analyse statistique
• Analyse "déductive" ou descriptive
• a pour but de résumer et de présenter les données
  observées pour que l'on puisse en prendre
  connaissance facilement tableaux, graphiques
  ...
• Analyse "inductive" ou inférence
• permet d'étendre ou de généraliser dans certaines
  conditions les conclusions obtenues. Cette phase
  comporte certains risques d'erreur qui peuvent
  être mesurés en faisant appel à la théorie des
  probabilités.
• Ces étapes ne sont pas indépendantes.
• L'inférence nécessite des conditions
  particulières parfois très restrictives. Il en
  résulte que l'observation et l'expérimentation
  doivent être organisées de manière à répondre
  autant que possible à ces conditions.
• Dossiers médicaux / cimetières de données

7
La collecte des données

• Enquête
• Ensemble des opérations qui ont pour but de
  collecter de façon organisée des informations
  relatives à un groupe d'individus ou d'éléments
  observés dans leur milieu ou leur cadre habituel.
• Les individus (malades...) ou les éléments en
  question (séjour hospitalier, comprimés...) sont
  appelés unité de base ou unité statistique ou
  individu statistique. L'ensemble des unités
  auquel on s'intéresse est appelé population ou
  univers ou ensemble statistique
• Lorsque toutes les unités de la population sont
  observées l'enquête est exhaustive. Elle est
  encore appelée recensement.
• Lorsqu'au contraire, une partie de la population
  est observée, l'enquête est dite partielle ou par
  échantillonnage. Elle est encore appelée sondage.
  La partie de la population observée constitue
  l'échantillon.
• Les principaux problèmes qui se posent dans la
  préparation de l'enquête sont
• la définition de l'unité de base et de la
  population
• la définition des observations à réaliser
• le choix d'une méthode de collecte des données
• le choix d'une méthode d'échantillonnage
• la détermination de la taille de l'échantillon

8
La définition de l'unité de base et de la
population

• Problème complexe
• Exemple recensement de la population humaine
• Normalement basé sur l'étude individuelle de
  chacun des groupes de personnes qui vivent en
  commun dans un même logement ou ltlt sous un même
  toitgtgt.
• Faut-il dans ce cas partir de la notion de
  famille ou de la notion de ménage ?
• Comment faut-il considérer les communautés
  religieuses ou militaires ?
• Comment faut-il traiter le cas des personnes qui,
  venues de l'extérieur, se trouvent dans le
  territoire au moment de l'enquête pour une
  période plus ou moins longue ?
• Où faut-il comptabiliser les personnes qui ne
  vivent pas constamment au même endroit
  (étudiants...) ?
• Exemple létude des malades par
  l intermédiaire de la description des séjours
  hospitaliers (PMSI)
• L unité est-elle Le patient ? La maladie ? Le
  séjour ?
• Le lecteur de tous rapports, mémoires ou
  publications doit s'interroger si des réponses
  précises à ce genre de questions ne sont pas
  fournies.

9
La définition des observations

• Les observations à réaliser doivent être
  parfaitement définies.
• S'il s'agit d'observations qualitatives (résultat
  du classement de lobservation dans un groupe),
  tel que le diagnostic, l'état civil ou la
  profession, la signification exacte des termes
  employés devra être précisée de manière non
  ambiguë  Quest ce quune Blonde ? 
• Intérêt des classifications établies avec leurs
  règles de codage (CIM, CCAM, CIH...)
• S'il s'agit d'observations quantitatives
  (résultat dune mesure ou dun comptage), tel que
  la glycémie (taux de sucre dans le sang), la
  pression artérielle, la fréquence cardiaque...
  non seulement les termes devront être définis
  mais le mode de détermination des valeurs
  (comptage, mesure, estimation visuelle), et les
  unités de mesure devront être précisées ainsi que
  le domaine de validité des mesures.
• Entre les deux les observations ordinales
  estimation d'un signe subjectif constipation,
  douleur.... rang dans une série  nombre
  d'étoiles du général...

10
La définition des observations

• Il faut également préciser les circonstances
  d'observation date, heure, repos/effort...
• La méthode de collecte des données repose sur un
  questionnaire.
• Comment est-il rempli ?
• Envoi postal
• Enquêteur
• Enquête téléphonique
• Pour éviter les déboires et tester le
  questionnaire on fait une pré-enquête
• Attention aux "non-réponses  (Données manquantes)

11
Quelques méthodes d'échantillonnage

• Attention la nature ne fait pas si bien les
  choses...
• Si l'objet de l'étude est d'évaluer la proportion
  de myopes dans la population de Nancy, que penser
  d'une étude qui ne s'adresserait qu'aux
  secrétaires ?
• Biais évident âge souvent jeune, sexe le plus
  souvent féminin, fonction pouvant affecter la
  vision
• Echantillonnage aléatoire simple (simple random
  sampling)
• Echantillonnage stratifié (stratified sampling)
• A utiliser quand la population-parent (patients
  hospitalisés) est très hétérogène (service
  hospitalier et décès par exemple) et que l'on
  souhaite s'assurer que ses différentes
  composantes seront toutes bien représentées. La
  stratification peut apporter un gain de précision
  important par rapport à un échantillonnage
  aléatoire simple.
• Echantillonnage à deux ou plusieurs niveaux
  (two-stage sampling, multistage sampling)
• Tirage au sort des familles
• Puis tirage au sort dans chaque famille de la
  personne enquêtée.
• Méthode des quotas (quota) largement utilisée
  dans les sondages d'opinion.
• Toutes les méthodes nécessitent une base
  d'échantillonnage

12
La taille de l'échantillon

• Fixée en valeur absolue ou en valeur relative
  fraction de sondage
• La précision dans une enquête dépend
• de la taille de l'échantillon
• du caractère plus ou moins homogène ou hétérogène
  de la population parent.
• La précision est d'autant meilleure que la taille
  de l'échantillon est importante et que la
  population est homogène.
• gt Pas de recette pour fixer la taille d'un
  échantillon il est nécessaire d'avoir une idée
  suffisante de la précision souhaitée (risque
  accepté) et d'autre part du degré d'homogénéité
  (variabilité) de la population étudiée.
• gt Attention la comparaison brute (de
  pourcentages par exemple) obtenu sur des
  échantillons de taille très différente aboutit à
  comparer des choses de précision très différente.

13
Au total un échantillon représentatif ?

• Un échantillon est représentatif dune population
  si tous les individus de cette population ont la
  même probabilité (même chance) dêtre dans
  léchantillon. Si ce nest pas le cas on a une
  erreur systématique un biais.
• Le tirage au sort donne un échantillon
  représentatif mais il nécessite de disposer dune
  base de sondage  listing  de la population
• Exemple
• Lors de la fabrication de comprimés, on utilise
  une machine avec 6 moules. Si lon constitue un
  échantillon en prenant 1 comprimé sur 6, on a un
  échantillon de comprimés issus du même moule donc
  non représentatif de la production.
• Si lon sintéresse aux chutes en ne prenant que
  les malades hospitalisés on a un biais de
  recrutement les malades les plus graves décédés
  à leur domicile nous échappent comme les plus
  légers qui ne sont pas hospitalisés
• La capacité de généraliser les résultats dépend
  de la représentativité de léchantillon.

14
L'expérimentation

• Principes
• L'expérimentation ou encore la réalisation
  d'essais suppose que l'apparition des faits que
  l'on désire étudier est volontairement provoquée,
  dans des conditions qu'on maîtrise au moins
  partiellement.
• Plus efficace que l'observation
• Protocole expérimental en vue d'affirmer la
  causalité
• But de l'étude
• Conditions de l'expérience
• Définition des facteurs à étudier
• Sous l'entière dépendance de l'expérimentateur
• Qualitatifs (Nature du traitement)
• Modalités définies a priori
• Quantitatifs (Dose administrée)
• Niveau progression arithmétique ou géométrique
• Définition des unités expérimentales
• Inclusion
• Exclusion
• Définition des observations à étudier
• Critère de jugement
• Définition du dispositif expérimental (Plan
  d'expérience)

15
Exemples

• 1)
• Dans un hôpital, on a établi un registre au
  niveau de laccueil dont on reproduit ci-dessous
  certains éléments.
• Nom du patient Sexe Date Date Date
• de naissance d'entrée de sortie
• Dupond Marcelle Masculin 10/02/48 01/03/00 14/03/
  00
• Albert Maurice Masculin 24/06/19 02/03/00 12/03/
  00
• Calvari Emilie Femme 24/11/59 03/03/00 07/03/00
• Calvari Emilie Féminin 24/11/59 10/03/00 18/03/0
  0
• Dupond Marcel Homme 10/02/48 17/03/00 17/05/00
• Dupond Marcel Masculin 10/02/48 25/03/00 28/03/0
  0
• A) Les données sont elles correctes ?
• B) Comment coder le sexe ?
• C) Combien a-t-on dhospitalisations, de
  patients ?
• D) Comment calculer la durée de séjour ?
• E) Quel est le pourcentage de femme ?
• 2)
• Peut on utiliser ce registre pour connaître lâge
  moyen des personnes habitant le bassin de
  population drainé par cet hôpital ?

16
Nature et enregistrement des données

• Types de données
• Données quantitatives
• Données discontinues ou discrètes
• Données continues
• Données qualitatives
• Données binaires
• Données nominales
• Données ordinales ou semi quantitatives

Grande richesse en information
Données quantitatives Données ordinales Données
qualitatives
Faible richesse en information
17
Données quantitatives

• Données discontinues ou discrètes
• Donnent lieu à des dénombrements ou comptages.
• Les résultats s'expriment en nombres entiers non
  négatifs.
• Exemples Nombre d'enfants dans une famille
  Nombre de désintégrations par minute...
• Données continues
• Donnent lieu à des mesures (mensurations). Elles
  soulèvent des problèmes de précision et de choix
  d'unité. Dans le domaine biologique il est
  illusoire, inutile et même dangereux d'utiliser
  plus de deux ou trois chiffres pour exprimer les
  résultats individuels.
• Exemple Taille, Poids ...
• En pratique, dans le cas des mesures, on effectue
  en réalité des observations discontinues en
  raison de la nécessité d'arrondir les données
  alors que celles-ci sont fondamentalement
  continues (mise en classe).
• Permettent les calculs arithmétiques (moyenne,
  écart type...)

18
Données Qualitatives

• Elles concernent des caractères ou des attributs
  que chacun des individus peut posséder ou non.
• Codées avec des classes mutuellement exclusives
• Type le plus simple variable binaire (sexe...)
• Type nominal plus de deux classes
• Problème de la classification utilisée
• Exemple Classification internationale des
  maladies
• Peut être décomposé en variables binaires
• Couleur des cheveux (brun, blond, autre)
  décomposée en Brun (oui, non) Blond (oui, non)
  Autre (oui, non)
• Ne permettent pas les calculs arithmétiques
  (moyenne) mais donnent lieu à des dénombrements.

19
Données ordinales

• Données qualitatives exprimant des niveaux
  différents ordonnés.
• Exemple intensité d'une cuti (négatif, faiblement
  positif, positif, très positif)
• Codées (0, , , ou 0, 1, 2 , 3)
• Interprétation parfois délicate des calculs
  arithmétiques
• Transformation en données quantitatives
  utilisation déchelles analogues visuelles
• Très fréquentes en médecine et biologie

Je ne suis pas fatigué
Je suis très fatigué
20
Enregistrement et traitement des données

• Bordereau papier / Saisie informatique directe
• Papier disponibilité, coût initial faible (mais
  il faudra faire la saisie)
• Informatique possibilité de contrôle à la
  source vérification intra champ et inter
  champs, aide au codage.
• Standardisation de la présentation
• A partir de l'observation médicale on a les
  phases suivantes
• Extraction et interprétation des signes et
  symptômes douleur thoracique caractéristique
  irradiant dans le bras gauche survenant au froid
  ou à l'effort gt ANGOR
• Synthèse patient présentant une toux, des cors
  au pied, une élévation des enzymes cardiaques, un
  angor, un tabagisme, un infarctus du myocarde
• Infarctus du myocarde avec élévation des enzymes
  cardiaques, angor...
• Chez un fumeur qui tousse et qui a des cors au
  pied.
• Hiérarchisation, Sélection
• Traitement des données
• Calculette (en voie de disparition)
• Traitement informatique
• Tableurs
• Logiciels de statistique (EPIINFO, STATVIEW, SAS,
  SPPS ...)

21
La statistique descriptive

• But présenter les données pour que l'on puisse
  en prendre connaissance facilement
• peut concerner
• une variable à la fois statistique à une
  dimension
• deux variables à la fois statistique à deux
  dimensions
• plus de deux variables à la fois statistique
  multidimensionnelle
• comporte
• les tableaux distributions de fréquences
• les diagrammes graphiques
• les paramètres statistiques réduction des
  données à quelques valeurs numériques
  caractéristiques

22
Les distributions de fréquences

• Séries statistiques
• simple énumération ou dénombrement des
  observations
• peut être ordonnée (variable quantitative)
• le nombre total d'observations, appelé effectif
  de l'échantillon, est noté N
• Distributions non groupées
• Lorsque les observations sont nombreuses, une
  même valeur peut être observée plusieurs fois.
• On utilise xi pour représenter les valeurs
  différentes, son nombre doccurrences est noté ni
  et est appelé fréquence absolue p représente le
  nombre de valeurs différentes que l'on a observé.
• ni/N est appelé fréquence relative.
• En cas de variable quantitative, on ordonne les
  xi et les fréquences absolues ou relatives
  peuvent être additionnées de proche en proche de
  manière à obtenir les fréquences cumulées notées
  Ni et Fi

xi ni fi Ni Fi x1 172 3 0,015 3 0,015 x2
175 15 0,075 18 0,09 x...
n... f... xp np fp N 1 N200 S1p ni 1 S1p
fi
23
Les distributions groupées

• Variables quantitatives
• Quand le nombre de valeurs distinctes est élevé,
  on condense les tableaux statistiques en groupant
  les observations en classes. On obtient ainsi les
  distributions groupées.
• Les classes sont mutuellement exclusives. Leurs
  valeurs extrêmes sont appelées bornes des
  classes.
• L'amplitude de la classe encore appelée
  intervalle ou module de classe correspond à
  l'écart entre la borne supérieure et la borne
  inférieure.
• Le point central ou encore point médian est situé
  à mi chemin entre les bornes.
• L'intervalle de classe est généralement constant,
  toutefois, on utilise parfois une amplitude
  variable notamment pour les classes des valeurs
  extrêmes.
• Dans certains cas la limite inférieure de la
  première classe ou supérieure de la dernière
  classe n'est pas précisée. On parle de classes
  ouvertes. A éviter !...
• En cas de classes d'amplitudes différentes, la
  densité de fréquence ni/amplitude classei permet
  de comparer les fréquences d'une classe à
  l'autre.
• Toutes les distributions relatives à des
  variables continues doivent être considérées
  comme des distributions groupées, puisque
  l'infinité de valeurs admissibles est condensée
  en un nombre fini de mesures en fonction de la
  précision de la méthode de mesure utilisée.

24
Distribution groupée exemple
Classe Ci ni fi Ni Fi 140-160 150 10 0,05 10 0,
05 160-165 162,5 20 0,10 30 0,15 165-170 167
,5 30 0,15 60 0,30 170-175 172,5 45 0,225 105 0
,525 175-180 177,5 40 0,20 145 0,725 180-185
182,5 35 0,175 180 0,90 185-190 187,5 15 0,075
195 0,975 190-200 195 5 0,025 200 1,0
N200 S 1k fi 1
k nombre de classes
25
Les graphiques

• Diagrammes sur distributions non cumulées
• Diagramme en bâtons
• Distribution non groupée
• On trace parallèlement à l'axe des ordonnées, en
  regard des xi qui sont portés en abscisse, un
  segment de longueur proportionnel à ni
• Polygone des fréquences
• Ligne brisée joignant les bâtons
• fréquences absolues / relatives
• Histogramme
• Distribution groupée
• composé de rectangles ayant comme base
  l'intervalle de classe et comme hauteur la
  densité de fréquence (ni/Di). La surface est
  proportionnelle à ni.
• Diagramme sectoriel
• Variable qualitative
• Angle au centre proportionnel à ni (ou fi)

26
Les graphiques

• Diagrammes sur distributions cumulées
• Polygone des fréquences
• sur distribution non groupée escalier
• sur distribution groupée ligne brisée
• Histogrammes
• Principaux aspects
• Symétrie - Aplatissement
• Distribution
• en cloche
• en J
• en U
• à plusieurs bosses
• ...
• Autres représentations
• Attention Excel ne fait pas dhistogramme

27
Polygone des fréquences Exemple
Nombre de colonies bactériennes/dm2 ni1 52 73
154 255 356 457 328 289 1610 1211 312 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nombre de colonies bactériennes/dm2
28
Histogramme exemple
Classe ni Densité (10)140-160 10
5160-165 20 40165-170 30 60170-175 45 90
175-180 40 80180-185 35 70185-190 15 301
90-200 5 5
140
160
170
180
190
200
29
Diagramme sectoriel exemple
GROUPE ni A 35B 9O 40AB 16
30
Les paramètres statistiques

• Paramètres de position
• Valeurs centrales
• Moyenne arithmétique
• Les autres moyennes
• géométrique
• harmonique
• quadratique
• Médiane
• Mode
• Médiale
• Les fractiles
• Quartiles
• Percentiles
• Paramètres de dispersion
• Amplitude ou étendue
• Ecart interquartiles
• Variance, Ecart type
• Coefficient de variation
• Paramètre d'aplatissement et de symétrie

31
La moyenne arithmétique

• Appelée moyenne notée x
• Paramètre central qui concerne bien évidemment
  uniquement des variables quantitatives.
• Calculable quelque soit la loi qui régit la
  distribution.
• Somme des valeurs (T) divisée par le nombre de
  mesures (N).
• Suivant la forme de présentation des
  observations, différentes formules de calcul
  peuvent être employées.
• Propriétés
• Centre de gravité de la distribution.
• La somme des écarts à la moyenne est nulle.
• Affectée par les changements de variable.
• Si y ax b on a y ax b
• La moyenne contrairement à la médiane est très
  sensible aux valeurs extrêmes.
• La moyenne d'un groupe résultant de la fusion
  d'autres groupes n'est égale à la moyenne des
  moyennes que si tous les groupes ont le même
  effectif.
• Si la distribution de la variable suit une loi
  normale, la moyenne et la médiane et le mode sont
  confondus.
• La distribution des moyennes de petits
  échantillons (Nlt30) indépendants tirés de la
  même population suit une loi normale si la
  distribution de la variable est normale.
• Au delà de 30, la distribution des moyennes suit
  une loi normale sans condition sur la
  distribution de la variable.
• La moyenne de l'échantillon est le meilleur
  estimateur de la moyenne de la population.

32
La moyenne formules

• Somme des valeurs / Nbre d'observations

N Nombre total de mesures, p Nombre de
valeurs différentes observées, ni Nombre
d'occurrences de chaque valeur observée. fi
pourcentage de la valeur observée i g nombre de
groupes
33
La moyenne

• Exemples

Soit la série statistique correspondant aux
tailles de 6 étudiants 160, 170, 180, 180,
190, 200 N 6, T 1080, x 1080/6 180
Soit la distribution suivante
Nombre de colonies bactériennes/dm2 ni nixi1 5
52 7 143 15 454 25 1005 35 1756 45 2707 32 2
248 28 2249 16 14410 12 12011 3 3312 1 12p
12 N 224 T 1 366 x 1 366 / 224 6,098
34
Les autres valeurs centrales

• Les autres moyennes
• Moyenne géométrique d'une série de valeur
  positives est la racine Nième du produit des N
  valeurs. Elle est toujours inférieure ou égale à
  la moyenne arithmétique.
• Moyenne harmonique d'une série de valeurs
  positives est égale à l'inverse de la moyenne des
  inverses.
• Moyenne quadratique est la racine carré de la
  moyenne arithmétique des carrés.

35
Les autres valeurs centrales

• La médiane notée x(tilde) est telle que la moitié
  des observations lui sont inférieure (ou égale)
  et la moitié supérieure (ou égale) xi tel que
  Fi 0,5.
• Sur les distributions symétriques (normales par
  exemple) la médiane est égale à la moyenne et au
  mode.
• Paramètre peu sensible aux valeurs extrêmes
• Sur une distribution non groupée
• Si N impair, la médiane est l'observation de rang
  (N1)/2
• Si N est pair, tout nombre entre xN/2 et xN/21
  convient. On prend la moyenne (pondérée en cas
  d'exaequo) entre ces deux valeurs.
• Sur distribution groupée, la classe médiane est
  celle qui contient la médiane.
• Détermination graphique
• En admettant que les observations soient
  réparties uniformément dans cette classe, on a

x

limite inférieure de la classe contenant la
médiane
i
D

amplitude de la classe contenant la médiane
x
-
x
i
-
i
i
1
f

fréquence relative de la classe contenant la
médiane
i
F
(
x
)

fréquence relative cumulée de la classe
i
0
,
5
-
F
(
x
)

x


x

D

i
i
i
f
i
36
Autres valeurs centrales et Fractiles

• Valeurs centrales - suite
• Mode encore appelé valeur dominante
• Correspond à la valeur la plus fréquente. xi
  correspondant au ni maximum.
• Dans les distributions unimodales symétriques,
  mode médiane et moyenne sont confondus
  (distribution normale par exemple)
• Médiale est la valeur telle que la somme des
  observations qui lui sont inférieures et la somme
  des observations qui lui sont supérieure sont
  égale.
• Fractiles
• Quartiles
• Q1 xi tel que Fi 0,25 gt 1/4 des valeurs lui
  sont inférieures, 3/4 lui sont supérieures.
• Q2 Médiane
• Q3 xi tel que Fi 0,75 gt 3/4 des valeurs lui
  sont inférieures, 1/4 lui sont supérieures.
• Détermination graphique
• interpolation (cf médiane)
• Percentiles
• 10ième percentile xi tel que Fi 0,10

37
Paramètres de dispersion

• Amplitude ou étendue
• Ecart entre la valeur de l'observation maximale
  et celle de l'observation minimale.
• Non définie pour les distributions groupées
• On montre que l'écart type est toujours inférieur
  ou égal à la moitié de l'amplitude.
• Dans les distributions unimodales en cloche
  l'écart type est égal au tiers de l'amplitude
  pour N de l'ordre de 10, au quart de l'amplitude
  pour N entre 15 et 50, au cinquième pour des
  effectifs de 50 à 200 et au sixième pour des
  effectifs de 200 à 1000.
• Ecart interquartiles
• Q3 -Q1
• Englobe 50 des observations
• On utilise parfois l'écart semi-interquartile
  (Q3-Q1)/2
• Donne naissance à la représentation en  boxplot 

38
Paramètres de dispersion Variance, Écart type

• Variance et écart type
• La variance (variance) d'une série ou d'une
  distribution de fréquence est la moyenne
  arithmétique des carrés des écarts à la moyenne.
• C'est par rapport à la moyenne que la somme des
  carrés des écarts est la plus faible.
• La variance de l'échantillon est notée S2. Ce
  n'est pas un bon estimateur de la variance de la
  population notée s2.
• Lestimation de la variance est notée s2.
• Le numérateur de la variance est appelé somme des
  carrés des écarts et noté SCE.
• L'écart type est la racine carré de la variance.
  On l'appelle également déviation standard
  (standard deviation). Il est dans l'unité de la
  variable.
• Variance et écart type sont indépendants des
  translations (changement d origine) mais pas des
  multiplications (changement d'unité).
• Si y a x b, on a Sy a Sx
• Pour les distributions en cloche, la variance
  calculée à partir des classes est surestimée,
  certain réalise la correction de Sheppard.
• gt Ne pas utiliser de distribution groupée
• Coefficient de variation (cv)
• Cest le rapport de lécart type divisé par la
  moyenne
• Écart type de la moyenne
• Cf distribution des moyennes de plusieurs
  échantillons

39
Variance et écart type calcul

• Attention aux notations

40
Paramètres de dispersion Coefficient de
variation

• Le coefficient de variation CV (Coefficient of
  variation, percentage standard deviation)
• CV est le rapport écart type divisé par la
  moyenne.
• CV est un nombre pur, sans unités.
• CV est totalement indépendant des unités.
• Le CV permet de comparer la variabilité de
  distributions de variables qui ne sont pas dans
  les mêmes unités.

41
Paramètres d'aplatissement et de symétrie

• Moments centrés d'ordre k
• moyenne arithmétique des écarts à la moyenne
  élevée à la puissance k.
• si k pair gt paramètre de dispersion
• si k impair gt paramètre de symétrie
• Coefficient de Pearson et de Fisher
• b1 pour caractériser la symétrie de la courbe b2
  pour caractériser l'aplatissement
• b1 M32 / M23 est voisin de 0 si la
  distribution est symétrique
• b2 M4 / M22 est voisin de 3 si la
  distribution suit une loi normale (plus aplatie
  qu'elle si b2 lt 3)
• cf Loi Normale
• Skewness et kurtosis

42
Statistique descriptive à 2 dimensions

• Objectif mettre en évidence les relations qui
  existent entre deux séries d'observations.
• Situations
• Nature des variables les deux variables peuvent
  être quantitatives, qualitatives ou l'une
  quantitative et l'autre qualitative.
• Séries appariées même variable mesurée dans
  deux circonstances
• Avant - Après traitement
• Cas - Témoins on apparie un témoin dépourvu de la
  maladie que l'on veut étudier sur différents
  points que l'on sait lier au phénomène étudié
  (par exemple pour une étude de la mortalité on
  apparie sur âge, sexe, ...)
• Séries non appariées
• Deux variables mesurées chez le même individu par
  exemple poids et taille poids et couleur des
  yeux...

43
Tableaux statistiques à deux dimensions et
représentation graphique

• Séries
• Distribution de fréquence
• Table de contingence

Poids Taille 70 170 80 180 65 165 75 175 90
182 73 170 60 162 68 165 83 180 ... ...
Poids
Taille
Poids Taille 60 65 68 70 73 75 80 83 90 Tot.
162 1 1 165 1 1 2 170 1 1 2
175 1 1 180 1 1 2 182 1 1 T
ot. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
44
Fréquences relatives

• Nombre de mesure totale N
• Total de chaque ligne Li
• Total de chaque colonne Ci
• Effectif d'une cas nij
• Fréquences relatives
• nij / Li
• nij / Cj
• nij / N
• Li / N
• Cj / N

Cheveux Yeux Blonds Bruns Autres Tot.
(Li) Clairs 50 20 30 100 Foncés 60 80 60 200 Tot.
(Cj) 110 100 90 300
300 Nombre total de mesures 100 Nombre
d'individus ayant les yeux clairs 110 Nombre
d'individus ayant les cheveux blonds 50 / 300
d'individus ayant les cheveux blonds et les yeux
clairs 50 / 110 d'individus parmi les blonds
ayant les yeux clairs 50 / 100 d'individus
parmi les yeux clairs ayant les cheveux blonds
45
Covariance

• Variable quantitative
• cov (x,y) moyenne des produits des écarts à la
  moyenne. 1/N S1N(xi-x)(yi-y) pour i 1 à N
• si x' axb et y'cy d,
• on a Cov(x'y') ac Cov (x,y)
• toujours inférieure ou égale au produit des écart
  types
• positive "nuage" croissant
• négative "nuage" décroissant
• calcul

T T
N
S
x
y
x y -
N
i
i
i 1
Cov (x,y)
N
i 1
sert au calcul du coefficient de corrélation r.
46
Quelques indicateurs statistiques classiques des
établissements de santé

• La SAE
• Enquête annuelle déclarative établie par tous les
  établissements français
• Décrit essentiellement les moyens
• Décrit partiellement lactivité, plus
  particulièrement certaines activités soumises à
  autorisation (IVG,)
• Quelques difficultés
• Combien de lits équipent mon établissement ?
• Lits autorisés
• Lits installés
• Lits ouverts à une date donnée
• Lits ouverts en moyenne sur lannée
• Combien dentrées entre le 1er janvier et le 31
  décembre inclus ? (4)
• Combien de sorties dans la même période ? (5)
• Combien de malades présents dans la période ? (6)
• Combien de journées ?
• Des séjours des malades entrés dans la période
  (80)
• Des parties de séjours des malades présents dans
  la période (73)
• Des malades sortis dans la période (72)

47
Quelques indicateurs statistiques classiques des
établissements de santé

• La durée moyenne de séjour pour une période
  donnée
• SAE
• Le nombre de journées est celui des malades
  présents auquel on ajoute le nombre de décès
  (hospitalisation complète)
• Le nombre de malades est le nombre dentrées
  (somme des entrées directes et des entrées par
  mutation)
• DMS 73/4 18,25 jours (si pas de décès)
• PMSI
• Le nombre de journées est celui des malades
  sortis pendant la période
• Le nombre de malades est le nombre de malades
  sortis
• DMS 72/5 14,4 jours

48
Quelques indicateurs statistiques classiques des
établissements de santé

• Taux doccupation des lits
• Le taux doccupation des lits mesure
  lutilisation des moyens mis à la disposition
  dun établissement
• Il existe une norme fixée au niveau national 85
  en médecine et en chirurgie, 80 en obstétrique

49
Quelques indicateurs statistiques classiques des
établissements de santé

• Comment compter le personnel ?
• On différencie
• Le nombre de personnes dans les différentes
  catégories professionnelles
• Employés, médecins, kinésithérapeutes.
• Le nombre déquivalents temps plein (ETP) pour
  pouvoir tenir compte du travail à temps partiel.
  Ce nombre représente la  force  de travail.
• Exemple
• Dans un CHU, on a 150 médecins hospitalo-universit
  aires qui travaillent à mi-temps à lhôpital, 200
  praticiens qui travaillent à temps plein et 50
  praticiens qui travaillent à 80. Quel est le
  nombre déquivalents temps plein de ce CHU ?
• ETP 150 0,5 200 50 0,8
• 75 200 40
• 315