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Enseigner les grandeurs en mathématiques
André PRESSIAT Maître de Conférences de
mathématiques à lIUFM dOrléans-Tours DIDIREM -
INRP
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(No Transcript)
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1. Des aires sans leurs mesures dEuclide à
Hilbert
2. La mesure des aires
3. La question des unités
4. Entre Objets et Mesures les Grandeurs
5. Grandeurs et mesures
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1. Des aires sans leurs mesures dEuclide à
Hilbert
Euclide  notions communes
1 - Les grandeurs égales à une même grandeur sont
égales entre elles.
2 - Si à des grandeurs égales, on ajoute des
grandeurs égales, les touts seront égaux.
3 - Si de grandeurs égales, on retranche des
grandeurs égales, les restes seront égaux.
4 - Si à des grandeurs inégales, on ajoute des
grandeurs égales, les touts seront inégaux. 5 -
Si de grandeurs inégales, on retranche des
grandeurs égales, les restes seront inégaux.
6 - Les grandeurs qui sont doubles dune même
grandeur sont égales entre elles. 7 - Les
grandeurs qui sont les moitiés dune même
grandeur sont égales entre elles.
8 - Les grandeurs qui sadaptent entre elles sont
égales entre elles. 9 - Le tout est plus grand
que la partie.
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Les aires chez Euclide
La notion dégalité de figures (triangles) est
déjà présente.
Pour traiter les questions concernant ce que nous
appelons aire, Euclide parle dun nouveau type
dégalité des figures, sans utiliser un nouveau
mot pour cela.
Propriétés satisfaites par la nouvelle relation
dégalité
2 - Les sommes de figures égales entre elles
sont égales
3 - Les différences de figures égales entre
elles sont égales
4 - Les moitiés de deux figures égales sont
égales. (7)
5 - Le tout est plus grand que la partie. (9)
De plus, Euclide utilise deux autres propriétés
admises
1 - Des figures congruentes sont égales
6 - Si deux carrés sont égaux, leurs côtés sont
égaux.
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Euclide, revisité par Hilbert
Figures équidécomposables
Deux figures P et P' sont équidécomposables s'il
est possible d'écrire chacune d'elles sous forme
de réunions de triangles n'empiétant pas l'un sur
l'autre
telles que, pour chaque i, les triangles Ti et
T'i soient égaux (Hilbert emploie le mot
congruents au lieu de égaux).
En allemand, le mot correspondant est
zerlegungsgleich qui signifie égale
décomposition, ou égal découpage.
7
Figures de même contenance (ou
équicomplémentaires)
Deux figures P et P' sont équicomplémentaires
s'il existe des figures Q et Q' telles que
- P et Q n'empiètent pas l'une sur l'autre - P'
et Q' n'empiètent pas l'une sur l'autre - Q et
Q' sont équidécomposables -
sont équidécomposables.
Dans les six premières éditions, Hilbert emploie
le mot inhaltsgleich, qui signifie
littéralement contenu égal, ou superficie
égale dans les quatre éditions suivantes, il
emploie ergängzungsgleich qui signifie égal
par complément.
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ABCD et CDEF sont les deux parallélogrammes dont
il s'agit de démontrer qu'ils ont même contenance
(Proposition I-35 dEuclide)
Pour cela, on ajoute le triangle BEG à chacun des
parallélogrammes. Il sagit alors de démontrer
que les deux figures ainsi obtenues
sont équidécomposables.
9
Pour cela, on décompose chacune d'elles en deux
triangles
- les triangles ADE et CDG pour la première, -
les triangles BCF et CDG pour la seconde. Il
suffit de démontrer que ADE et BCF sont
congruents.
P Q  P et Q sont équidécomposables. P Q 
P et Q sont équicomplémentaires.
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Figures faites par Hilbert dans les Grundlagen
der Geometrie pour illustrer la démonstration de
la transitivité de léquidécomposabilité.
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Et dans nos classes ?
 On peut calculer des aires par la méthode de
décomposition, qui repose sur le fait que deux
figures équidécomposables ont même aire. En
notant les réunions de figures
quasi-disjointes, pour calculer laire dune
figure F, on la décompose sous la forme  F F1
F2 Fn, de telle manière quen faisant
subir à chacune des Fn un déplacement
convenable, on obtienne n figures H1, H2, Hn
quasi-disjointes dont la réunion H1 H2
Hn est une figure H dont on connaît déjà laire.
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(No Transcript)
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 On peut calculer des aires par la méthode de
complémentation, qui repose sur le fait que deux
figures équicomplémentaires ont même aire.
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 Technique élémentaire pour redresser un
parallélogramme
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Pour aller plus loin
 Appliquée dans le cas de deux parallélogrammes
ayant une base en commun et de même aire, voici
une technique (utilisée par Hilbert) qui fournit
une T- équidécomposition des deux
parallélogrammes, lorsquaucun des deux ne
contient entièrement une de ses hauteurs.
Cette technique est une adaptation dune méthode
proposée par Montucla pour décomposer un
rectangle en un carré de même aire.
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 Technique de Montucla (décrite dans Ozanam,
1778)
Elle permet dobtenir une T-équidécomposition de
deux rectangles de même aire.
Et pour les volumes ?
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On peut adapter à lespace la relation
déquidécomposabilité vue dans le plan, en
remplaçant les triangles par des tétraèdres
(pyramides à base triangulaire).
Euclide, pour établir que deux pyramides ayant
même base et même hauteur ont le même volume sans
recourir aux mesures, a besoin dautre chose que
de la relation déquidécomposabilité. Il utilise
un procédé, appelé procédé dexhaustion, qui du
point de vue moderne sapparente à un passage à
la limite.
Le troisième problème de Hilbert
En 1900, le mathématicien Max Dehn a montré quil
était possible que deux solides aient le même
volume (un cube et un tétraèdre régulier) sans
être équidécomposables.
De manière étonnante, du point de vue de la
théorie, la question des volumes est plus
compliquée que celles des aires.
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2. La mesure des aires
Lebesgue, La mesure des grandeurs, Albert
Blanchard, 1975. Boltianskii, Hilberts third
problem, John Wiley Sons, 1978. Rogalski M.,
avec Robert A., Pouyanne N., Carrefours entre
analyse, algèbre, géométrie, Ellipses, 2001.
Un carré C Le réseau R plan construit à partir
de C (niveau 0). Une partie F bornée du plan
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Un carré C Le réseau R plan construit à partir de
C (niveau 0). Une partie F bornée du plan
a0  nombre de carrés du réseau R formés
entièrement de points de F. b0  nombre de carrés
du réseau R dont certains points appartiennent à
F.
On subdivise chaque carré de R en 100 carrés de
même côté.
Réseau R1 (niveau 1), et on recommence
indéfiniment Réseaux Rk (niveau k).
Au niveau k  ak  nombre de carrés du réseau Rk
formés entièrement de points de F. bk  nombre de
carrés du réseau Rk dont certains points
appartiennent à F.
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F est quarrable si
Invariance par déplacement du réseau initial ?
(Voir plus loin)
On définit ainsi une application s qui associe à
chaque figure quarrable F du plan un nombre réel
s(F), appelé aire de F.
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Propriétés de laire
(?) La fonction s est positive.
(?) s est additive  si F et F sont deux figures
quarrables nayant pas de points intérieurs en
commun,
(?) s est invariante par translation.
(?) s est normalisée  s(Q) 1, Q désignant un
carré du réseau initial R.
Tout polygone est quarrable.
Il existe une fonction s et une seule définie sur
lensemble des polygones qui satisfait les
conditions (?), (?), (?) et (?).
Ce dernier résultat permet de définir
axiomatiquement laire, sans recourir aux réseaux
précédents  on a seulement besoin dun carré
unité (qui est fixé).
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Invariance par déplacement du réseau initial ?
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Autres propriétés de laire
  (??) s est croissante. En remplaçant (?), (?),
(?), (?) par (??), (?), (?) et (?) on obtient un
système daxiomes équivalent.
Quelles que soient les figures quarrables F et
F,
 Laire dun rectangle est égale à ab, produit
des longueurs de ses côtés.
  (??) s est invariante par déplacement.
s ne change pas si lon remplace le carré
initial par un carré isométrique, (doù
linvariance de s par rapport au déplacement du
réseau initial).
Si F est quarrable et f est une similitude de
rapport k, f(F) est quarrable et s(f(F)) k2
s(F).
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Une autre méthode de calcul pour les aires
 Laxiome (?) (ou laxiome (??)) peut être
utilisé pour obtenir des inégalités daires, et
par passage à la limite des égalités daires.
Méthode dexhaustion
F étant une figure quarrable, et (Gn) une suite
de parties de F telle que laire de F \ Gn puisse
être rendue aussi petite que lon veut à
condition que n soit suffisamment grand, alors
.
F étant une figure quarrable, et (Gn) une suite
de parties de F, et (Hn) une suite de parties
contenant F telles que ,
alors . (Calcul de
laire du disque).
Et chez nos voisins ?
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(No Transcript)
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M u . h M 6 . 6 cm . 9 cm M 324 cm2
V G . h V ? 93,5 cm2 . 9 cm V ? 841,5 cm3
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Source Elemente der Mathematik10.
SchuljahrSchroedel Schulbuchverlag
30
Source MatemáticasEso Curso 3 (correspond à
la classe de 3e)Edelvives
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Un train part de Palencia à 8 h du matin vers
Alicante à la vitesse de 80 km/h. Une heure et
demie plus tard, un deuxième train part de la
même gare en direction dAlicante à la vitesse de
100 km/h. Combien de temps le deuxième train
mettra-t-il pour rattraper le premier ? A quelle
distance de Palencia le rattrape-t-il ? On peut
exprimer de deux manières la distance parcourue
par chacun des deux trains au moment où le
deuxième rattrape le premier. On peut choisir
comme inconnue x le temps en heures mis par le
deuxième train pour rattraper le premier. Au
moment où ceci se produit, le premier train a
roulé pendant une durée de (x 3/2) h. La
distance parcourue par le premier train jusquà
ce que le deuxième le rattrape est donc  80
km/h ? (x 3/2) h soit 80 (x 3/2) km. Quant à
la distance parcourue par le second, elle est
égale à 100 km/h ? x h, cest-à-dire 100x km. En
égalant les nombres de kilomètres parcourus on
obtient léquation permettant de répondre à la
première question  80 (x 3/2) 100x
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3 - La question des unités
En classe de mathématiques, les objets supports
des grandeurs (une règle de telle longueur, un
vase de telle capacité, ) sont évoqués, mais ne
sont pas amenés dans la classe pour y être
exploités (sauf exception).
Les grandeurs pourraient y être aisément
présentes sous la forme de nombres concrets
15 km est une longueur,50 km/h est une vitesse,
Or les unités - et donc les grandeurs - ont
disparu pendant quelques dizaines dannées.
Triangle des Bermudes .
Exemple En 6e (ou 5e) il sagit de déterminer
combien il y a de minutes dans une demi-heure,
dans un quart dheure, dans un cinquième dheure.
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Les traces écrites dun élève au tableau sont les
suivantes 
Le professeur commente la solution de lélève,
mais ne la corrige pas. Il est pourtant clair que
ces égalités ne sont pas correctes  le nombre
1/5 ( 0,2) ne saurait être égal à la durée
12 min, pas davantage que 12 cm nest égal à
12 kg. Les écritures correctes auraient été
simplement 
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Un manuel de mathématiques de 5e (assez ancien)
commence ainsi fort à propos par indiquer les
normes de lAFNOR (Association française de
normalisation) en la matière  Il est tout à
fait autorisé décrire  1,825 km
1 825 m 2 m ? 3,5 m 7 m2
Mais les auteurs reprennent dans un exercice
lusage traditionnel
aire de base A2 (6 ? 6)  2 18 cm2 aire de
base A3 72  18 54 cm2 V2 18 ? 12
216 cm3 V3 864  216 648 cm3
Technique de calcul bien installé en France dans
la classe de sciences physiques (oubli des unités
dans les calculs intermédiaires).
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Labsence ou la raréfaction des unités pose un
problème majeur  celui du changement dunités.
La technique généralement mise en place,
illustrée sur lexemple suivant, extrait dun
manuel de 3e, est fort complexe et peu
fiable. Convertir les unités de grandeurs
composées Méthode Convertir successivement les
unités des deux grandeurs Exemple  Convertir
1,25 g/cm3 en kg/m3 Réponse   On convertit
lunité de masse  1,25 g 0,001 25 kg donc
1,25 g/cm3 0,001 25 kg/cm3.  On convertit
lunité de volume  1 m3 1 000 000 cm3. 0,001 25
 ? 1 000 000 1 250 donc 0,001 25 kg/cm3
1 250 kg/m3.  On conclut  1,25 g/cm3
1 250 kg/m3.
La technique apparaît lourde, avec une
accumulation de calculs partiels non intégrés,
qui en diminuent la fiabilité.
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Par contraste avec cette technique  abstraite ,
voici une technique  concrète  qui consiste à
calculer avec les unités, cest-à-dire sur des
nombres  concrets .
Le fait mathématique essentiel est le suivant 
les durées constituent un demi-espace vectoriel
de dimension 1 sur R.
Le problème posé aux élèves est exactement un
problème de changement de base.
La durée qui a pour coordonnée 1/5 dans la base
h a pour coordonnée 12 dans la base min 
 1/5 h 12 min.
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On peut montrer que cette technique concrète
sétend à tous les problèmes de changement
dunités.
? Considérons ainsi le problème suivant  Un
réservoir parallélépipédique a 0,6 m de longueur,
10 cm de largeur, et 50 mm de profondeur. Quelle
est, en litres, sa capacité ? (1 litre 1 dm3.)
? Dans la technique concrète, on utilise bien la
formule V L ? ? ? p mais L, ?, p sont alors,
non des nombres ( abstraits ), mais des
grandeurs (des  nombres concrets ).
? Puisque on a L 0,6 m, ? 10 cm, p 50 mm il
vient simplement V
0,6 m ? 10 cm ? 50 mm.
? Si lon décidait de prendre pour unité de
volume le produit ? m ? cm ? mm on aurait  V
0,6 m ? 10 cm ? 50 mm (0,6 ? 10 ? 50) m ? cm ?
 mm 300 ?.
? Si, comme ici, on cherche à exprimer le volume
en dm3, on peut par exemple procéder ainsi  V
0,6 m ? 10 cm ? 50 mm 0,6 (10 dm) ?
10 (101 dm) ? 50 (102 dm)
6 dm ? 1 dm ? 0,5 dm
3 dm3 3 litres.
38
Comparaison des techniques abstraite et
concrète, la technique abstraite étant le
corrigé fourni par un professeur de physique de
lycée
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(No Transcript)
40
Dans le corrigé du problème III, le professeur
utilise subrepticement larithmétique concrète.
41
Importance dans cette technique de h 1 hà
rapprocher du
de la définition dun espace vectoriel.
Toute question qui conduit à une multiplication
est un problème de changement dunité, ou dobjet
5 sacs de 300 pommes 2m.75 détoffe à 28 fr.
45 le mètre.
Henri Lebesgue, La mesure des grandeurs.Note en
bas de page 13.
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 Les calculs avec unités rendent visible le
travail sur les grandeurs, et permettent
dassurer un contrôle plus grand sur les calculs.
Ils permettent de rendre plus visible les
raisonnements sur les grandeurs proportionnelles.
Problème  Leau sucrée
Pour faire une expérience de chimie, un
professeur verse dans un récipient 6 dL deau et
15 g de sucre. Il distribue à chacun de ses
élèves un récipient contenant de leau.
Dans le récipient de Jacques, il y a 8 dL deau,
dans celui de Pierre il y a 18 dL, dans celui
dIsabelle 15 dL, dans celui de Benoît il y a 30
dL et dans celui de Laurence il y a 12 dL. Le
professeur demande ensuite à chaque élève de
mettre juste ce quil faut de sucre dans son
récipient pour obtenir une eau aussi sucrée que
la sienne, pas plus, pas moins.
Quelle quantité de sucre doit mettre chaque élève
dans son récipient ?
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Résolution par procédure scalaire
 18 dL, cest trois fois 6 dL.Donc, il faudra
trois fois 15 g de sucre, cest-à-dire 45 g. 12
dL 2 ? 6 dL. Donc il faudra 2 ? 15 g de
sucre, cest-à-dire 30 g. 30 dL 5 ? 6 dL
5 ? 15 g de sucre 75 g de sucre. 15 dL
cest la moitié de 30 dL. Donc, pour 15 dL, il
faudra la moitié de 75 g, soit 37,5 g.
Cette procédure trouve sa justification dans la
définition suivante de deux grandeurs
proportionnelles, que lon trouve dans de vieux
dictionnaires à larticle Proportionnel.
Deux grandeurs proportionnelles sont des
grandeurs telles que si lon multiplie (ou
divise) lune delles par un nombre, la grandeur
correspondante est multipliée (ou divisée) par
le même nombre.
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Emploi de la procédure dite du coefficient de
proportionnalité
Il faut 15 g de sucre pour 6 dL. Pour obtenir
15, on peut multiplier 6 par 2,5.Donc, pour 8
dL, on multiplie 8 par 2,5 on trouve 20. Il
faut donc 20 g de sucre pour 8 dL.
Avec le registre des tableaux, cette procédure se
traduit ainsi 
6
8
15
? 2,5
15
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RemarqueLe traitement précédent sappuie sur les
nombres (mesures de grandeur) plutôt que sur les
grandeurs. On peut rester dans le cadre des
grandeurs, comme le montre ce qui suit
6 dL
8 dL
? 2,5 g / dL
15 g
Il apparaît alors que 2,5 est la mesure,
exprimée en grammes par décilitre, dune
troisième grandeur la concentration en sucre,
grandeur quotient de la masse (de sucre) par le
volume deau. (Ces grandeurs quotients figurent
explicitement au programme de 4e et de 3e).
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Cette procédure trouve sa justification dans la
définition suivante de deux grandeurs
proportionnelles, que lon trouve dans les
dictionnaires daujourdhui Deux grandeurs sont
proportionnelles si leur rapport est constant.
Si on ne sintéresse quaux mesures des grandeurs
en question, ce rapport constant est un nombre,
appelé coefficient de proportionnalité (entre les
deux suites de mesures apparaissant dans le
tableau) 2,5 dans lexemple.
Si on reste dans le cadre des grandeurs, ce
rapport est une grandeur constante, appelée
concentration en sucre  2,5 g/dL dans
lexemple.
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En revanche, quand on utilise la concentration en
sucre 2,5 g/dL pour trouver la masse de sucre
correspondant à 8 dL 8 dL ? 2,5 g/dL 20 g,
2,5 g/dL nest pas un scalaire.
La procédure dite du coefficient de
proportionnalité masque cette difficulté elle
ne fait apparaître que le nombre 2,5 tout comme
la procédure scalaire fait apparaître le nombre
3. Ces deux nombres ne jouent cependant pas le mêm
e rôle.Alors que 3 est un nombre pur, 2,5 na
de signification quen tant que mesure dune
grandeur, pour laquelle lunité g/dL a été
choisie.
Pour contourner cette difficulté, on évite de
parler de 2,5 g/dL, en disant pour 1 dL, il
faut 2,5 g de sucre. On fait de même pour les
prix unitaires, ou les prix par kilogramme (dont
laffichage est obligatoire dans les commerces) 
15 / u 15 lunité 12 /kg 12 
au kilo 12  le kilo
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 Les calculs avec unités permettent de rendre
plus visible le passage des grandeurs
proportionnelles à la fonction linéaire.
Désignons par V la grandeur volume, et par M la
grandeur masse. À un volume deau v dL, il
correspond une masse de sucre, que nous noterons
provisoirement m. pour v dL.
On a alors m. pour (v  v) dL m. pour v dL
m. pour v dLm. pour kv dL k ? m. pour v
dL,m. pour v dL 2,5 g/dL ? v dL 2,5v g
Désignons par M la grandeur masse, et par P la
grandeur valeur marchande (autrement dit les
prix). À une masse m kg de fromage, il correspond
un prix, que nous noterons provisoirement p. de
m kg.
On a alors p. de (m  m) kg p. de m kg p.
de m kgp. de km kg k ? p. de m kg ,p. de m
kg 16 /g ? m g 16m .
49
m(v v) m(v) m(v)
m(k v) k m(v)
m(v) 2,5v
f(u  v) f(u)  f(v) f(k u) k f(u)
La fonction linéaire
p(m m) p(m) p(m)
que lon peut aisément recontextualiser avec
deux grandeurs proportionnelles quelconques.
p(k m) k p(m)
p(m) 16m
50
De même, des relations quadratiques entre
plusieurs couples de grandeurs permettent
dintroduire les fonctions polynômes du second
degré
des couples de grandeurs inversement
proportionnelles permettent de motiver létude de
fonctions numériques de la forme
Et donc de motiver celle de la fonction inverse

Toutes ces fonctions vont permettre de construire
un nouveau domaine, celui de lanalyse
51
4. Entre Objets et Mesures les Grandeurs
Il est essentiel de rappeler quun même objet est
le support de plusieurs grandeurs despèces
différentes, usuelles ou non, dont la
considération a ses raisons dêtre. Cest ce que
rappelle lextrait suivant dune brochure
consacrée autrefois par lAPMEP aux mots
 Grandeur  et  mesure  (Mots, tome VI, Paris,
APMEP, 1982) 
 À propos dun même objet, plusieurs grandeurs
peuvent être envisagées. Le type de manipulation
à laquelle on soumet cet objet permet de préciser
la grandeur dont il sagit, ce qui conduit à un
vocabulaire approprié  - pour une feuille de
papier  la longueur de son bord, ou périmètre,
et laire de sa surface  on suit le bord du bout
du doigt, on balaie la surface de la paume de la
main  - pour une portion de route, sa longueur
sil sagit de la parcourir, son aire sil sagit
de la goudronner, ... sa pente sil sagit dy
faire passer de lourds convois .... 
Labord de la notion de grandeur à partir du
langage ordinaire recèle en conséquence quelques
pièges quil convient de bien repérer.
Considérons les deux cas suivants 
52
 Ce récipient est plus grand que cet autre 
sagit-il de sa hauteur, de sa plus grande
dimension horizontale, de son volume intérieur ou
capacité, de son volume extérieur ? La planète
Saturne est grosse comme 95 Terres  sagit-il
de volumes, de diamètres, de masses ? 
Dans ce dernier cas, bien sûr, des données
supplémentaires permettent de trancher    Le
diamètre équatorial de Saturne, anneaux exclus,
est 9,4 fois celui de la Terre  son volume est
745 fois celui de la Terre (et non 9,43 ? 831,
car elle est sensiblement plus aplatie que la
Terre). Sa masse est 95 fois celle de la Terre.
Les mots grosse comme signifiaient donc 
lourde comme. 
53
Grandeurs de même espèce
Pour préciser la notion despèce de grandeurs, on
suppose un ensemble X dobjets et une relation
déquivalence sur X qui définit une certaine
espèce de grandeurs (volume, longueur, etc.) 
deux objets x1, x2 ? X équivalents seront dits
avoir même grandeur.
Bien entendu, il existe en général plusieurs
relations déquivalence  intéressantes 
définissant autant despèces de grandeurs
différentes.
On suppose dabord quon a défini sur X une
relation de préordre total ? associée à   pour
tous x, y, z ? un et un seul des énoncés x ? y, y
? x, x y est vrai ?si x ? y et y ? z alors x ?
z. En dautres termes, on suppose quon peut dire
que deux objets ont même grandeur ou non, et,
dans ce dernier cas, on peut comparer ces deux
objets.
54
? On suppose ensuite quon a défini sur X une
opération binaire, notée ?, telle que ? x?y est
défini si, et seulement si, x ? y  ? si x ? y,
alors x?y y?x, et si, de plus, x ? z et y z,
alors x?y x?z  ? si (x?y)?z et x?(y?z) sont
définis, alors (x?y)?z x?(y?z).
? On suppose enfin que sont satisfaites trois
conditions unissant , ? et ?  ? si x ? y,
alors x ? x?y  ? si x ? z, alors il existe y tel
que x?y z  ? pour tout x et tout entier n
? N, il existe y1, , yn tels que y1    yn,
y1?  ?yn est défini et x y1??yn.
55
Désignons par G (comme grandeur) lensemble des
classes déquivalence pour dans X G X/.
Dans la suite, la classe de x est notée c(x) un
élément de G sera désigné par g.
? À partir de la structure (X, , ?, ?) ainsi
supposée, on définit alors sur G
? un ordre total, noté lt ? une addition, notée
? une soustraction, notée
? une division par n ? N  si y y1 yn,
avec x y1??yn,
56
? Pour tout g ? G, posons en outre 1g g. On a
alors le résultat suivant  pour tous g, g1, g2,
g3 ? G, ? Gr1. Un et un seul des énoncés g1 ? g2,
g1 g2, g1 ? g2 est vrai ? Gr2. Si g1 ? g2 et g2
? g3 alors g1 ? g3 ? Gr3. g1g2
g2g1 ? Gr4. (g1g2)g3 g1(g2g3) ? Gr5. g1 ?
g1g2 ? Gr6. Si g1 ? g2 alors il existe un
élément h de G et un seul tel que g1 h
g2 ? Gr7. Pour tout entier naturel n ? N il
existe un élément h de G et un seul tel que g
nh.
On obtient ainsi une axiomatique de la notion
despèce de grandeurs (G, ?, ).
57
Revenons alors sur les restrictions imposées aux
opérations sur les objets dans la mathématisation
précédente. On ne saurait ajouter, concrètement,
un objet x à lui-même  on ne peut lajouter quà
un autre objet, y, ayant même grandeur que x.
Plus encore, cest la condition relative au
fractionnement qui doit être méditée  les objets
y1, , yn de même grandeur tels que y1??yn
x ne sont pas uniques.
Pour n 2, par exemple, on ne peut pas parler de
la moitié de x, tout simplement parce que, en
dehors dune convention sociale plus ou moins
explicite, l objet moitié  dun objet x
nexiste pas  il existe en effet une infinité de
couples dobjets distincts (yi, yj) tels que yi
yj et yi?yj x.
58
Les figures ci-dessous illustrent ainsi la
non-existence dune  moitié de triangle  et
dun  quart de carré  du point de vue de laire
(on notera en passant que les périmètres de ces
 moitiés , dune part, de ces  quarts ,
dautre part, sont inégaux).
Nombre dénoncés proposés dans des manuels sont à
cet égard fautifs, tels les suivants   Dites,
pour chacun des dessins ci-dessous, quelle
fraction du cercle a été peinte en rouge 
 Quelle fraction de tarte reste-t-il ? Quelle
fraction de tarte a-t-on déjà mangée ?   Laire
dun champ est de 6394 m2. On vend les 3/4 du
champ. Quelle est laire de la partie vendue ? 
59
Ces remarques sur limpossible arithmétique des
objets expliquent la nécessité indépassable dune
théorie des grandeurs  elle seule en effet
fournit des entités sur lesquelles on puisse
opérer comme daucuns rêvent vainement, on la
vu, dopérer sur les objets eux-mêmes. Il
convient donc dassumer le détour par les
grandeurs dans le trajet qui conduit des objets
aux mesures.
Cest, non une pièce de ruban, mais sa longueur,
non un champ, mais sa surface, non le contenu
dun tonneau de vin, mais la quantité
correspondante de vin que lon peut diviser  en
un nombre absolument quelconque de parties
égales , ces parties étant des parties
( aliquotes ) de grandeurs (h ? G est une
partie aliquote de g ? G sil existe n ? N tel
que g nh), et non des parties ( concrètes )
dun ruban, dun champ, ou du contenu dun
tonneau.
60
La grandeur Longueur
Objets x les segments de droiteX ensemble
des segments de droite
Relation déquivalence   Deux segments sont
équivalents (ont même longueur) sils
sont superposables.À un autre niveau
denseignement, AB CD si on peut obtenir
CD en faisant subir à AB une succession de
symétries orthogonales.
Addition des segments la somme des segments
AB et CD est le segment obtenu en mettant
bout à bout deux segments équivalents à AB et
CD.
Multiplication par un nombre entier,
61
(No Transcript)
62
Division par un nombre entier n
Cas où n est une puissance de 2
Et sinon ?
Importance de loutil guide-âne pour partager
un segment en n parties égales (dessiné dans le
document dapplication du cycle 3)
Faire manipuler réellement aux élèves de tels
réseaux de parallèles équidistantes.
63
Résultats de lévaluation nationale 2004 et 2005
en 6e
Voici un segment
a) Construis un segment dont la longueur est
de la longueur du segment donné.
2004 (échantillon national représentatif)
2005Population entière
Résultats
Code 1
54,9
49,76
Code 6 (segment de 4 carreaux)
21,5
Les résultats pour 2005 sont disponibles sur le
site suivant http//evace26.education.gouv.fr
Code 9
20,6
Code 0
3
64
b) Construis un segment dont la longueur est
de la longueur du segment donné.
Résultats (échantillon national représentatif) en
2004
Code 1
41,9
25,8
Code 6 (segment de 6 carreaux)
Code 9
26,0
Code 0
6,3
Résultats (population entière) en 2005
Code 1
44,14
a été remplacé par
65
c) Construis un segment dont la longueur est
de la longueur du segment donné.
2004Echantillon national représentatif
2005Population entière
Résultats
Code 1
34,6
36,79
12,7
Code 6 (segment de 4 ou 5 carreaux)
Code 9
36,2
Code 0
16,5
66
(2004)
Résultats (en ) item 84   code 1 (0,8 ou
8/10) 60,5 code 6 (8) 16,0 code 9 12,8 code
0 10,7
item 85 code 1 (1,6 ou 1 6/10) 54,9 code 6
(16) 10,2 code 7 (6 ou 0,6) 4,2 code
9 19,4 code 0 11,3
67
2004
Code 1
78,6
78,4
76,5
68
2005
Code 1
80,78
74,38
73,76
69
5. Grandeurs et mesures
Lun des problèmes de lenseignement des
mathématiques est la construction dun système de
nombres N vérifiant la condition suivante 
Si (X, , ?, ?) est le support dune certaine
espèce de grandeurs G, alors il existe, à un
facteur multiplicatif près, une application
unique ?  X ? N telle que ? la relation
déquivalence définie par ? sur X est identique à
  équivaut à x
y  ? la relation de préordre définie par ? sur X
est identique à ? 
équivaut à x ? y  ? par lapplication ?, limage
dune somme est la somme des images   ?(x?y)
?(x)  ?(y).
70
Pour les longueurs, si on choisit une longueur u
comme unité, posons mu(u) 1.
De quels nombres a-t-on besoin pour mesurer les
longueurs ?
Soit g nu.Alors mu(g) mu(nu) n.
Donc on a besoin des nombres entiers N ? N
Soit g tel que ng u.Alors n mu(g) 1. Donc
mu(g) est un nombre r tel que nr 1.
Plus généralement, si v mu et ng v, on a
besoin dun nombre r tel que nr m.
Ainsi sintroduisent les fractions dentiers.
71
Fractions ou quotients dentiers ?
Deux constructions d'un segment ayant pour
longueur cm.
Construction sollicitant l'aspect fraction et
l'expression Douze septièmes
Construction sollicitant l'aspect quotient et
l'expression Le septième de 12 cm
Les deux segments obtenus ont-ils bien la même
longueur ?
7 fois douze septièmes 84 septièmes
12 fois 7 septièmes 12 fois 1 12
72
Bibliographie Chevallard Y. Bosch M.,
2000-2001, Les grandeurs en mathématiques au
collège. Partie I Une Atlantide oubliée, Petit
x n55, pp. 5-32, IREM de Grenoble.Chevallard Y.
Bosch M., 2002, Les grandeurs en mathématiques au
collège. Partie II Mathématisations, Petit x
n59, pp. 43-76, IREM de Grenoble. Encyclopædia
Universalis, article Dimensionnelle (analyse et
similitude). Hartshorne R., 2000, Geometry
Euclid and beyond, Springer.Pressiat A., 2002,
Grandeurs et mesures évolution des
organisations mathématiques de référence et
problèmes de transposition, in Dorier J.-L.,
Artaud M., Artigue M., Berthelot R., Floris R.,
Actes de la 11e Ecole dEté de Didactique des
Mathématiques, Corps - 2130 Août 2001. Pressiat
A., 2006, Calculer avec les grandeurs, Actes de
lUniversité dété de Saint-Flour 2005 Le calcul
sous toutes ses formes, site académique de
Clermont-Ferrand.