Sin ttulo de diapositiva

1
Un Algoritmo que Revoluciona la enseñanza del
Álgebra. Aplicaciones a la Ingeniería por
Enrique Castillo
Universidad de Cantabria
2
El algoritmo de Jubete

• Obtener el subespacio ortogonal a un subespacio
  dado y su complemento.
• Calcular la inversa de una matriz.
• Actualizar la inversa de una matriz tras cambiar
  una fila o columna.
• Obtener el determinante de una matriz.
• Actualizar el determinante de una matriz tras
  cambiar una fila o columna.
• Determinar el rango de una matriz.
• Determinar si un vector pertenece a un espacio
  vectorial.
• Obtener el subespacio intersección de dos
  subespacios.
• Resolver un sistema lineal homogéneo de
  ecuaciones.
• Resolver un sistema lineal completo de
  ecuaciones.
• Estudiar la compatibilidad de un sistema lineal
  de ecuaciones.

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ALGORITMO DE ORTOGONALIZACION DE JUBETE
4
INVERSA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
5
INVERSAS SIMULTANEAS DE SUBMATRICES DE UNA MATRIZ
6
INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ
ACTUALIZACION DE INVERSAS
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INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ
ACTUALIZACION DE INVERSAS
8
Subespacios Ortogonales y Complementos
9
Subespacios Ortogonales y Complementos
10
RANGO DE UNA MATRIZ
Además da los coeficientes de la combinación
lineal
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PERTENENCIA A UN ESPACIO VECTORIAL
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INTERSECCION DE DOS SUBESPACIOS
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RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO
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RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO (EJEMPLO)
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RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO
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RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO
17
RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO
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COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA
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COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA (EJEMPLO)
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Conexión modelo-realidad
Las matemáticas son herramienta fundamental en
Ciencia e Ingeniería.
21
Conexión modelo-realidad
El alumno debe conocer la relación entre los
elementos ingenieriles y los matemáticos. El
alumno debe saber cómo actualizar soluciones.
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Conexión modelo-realidad
El alumno debe saber cuando un elemento es
redundante tanto desde el punto de vista
ingenieril como matemático y de sus implicaciones
en la seguridad del servicio y los grados de
libertad de la solución general.
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Conexión modelo-realidad
El alumno debe relacionar la topología de una red
con el número de incógnitas y ecuaciones
matemáticas que la definen. El alumno debe saber
plantear el problema de formas diferentes.
24
Conexión modelo-realidad
El alumno debe saber plantear problemas con
desigualdades. El alumno debe saber plantear
hipótesis alternativas.
25
El Problema del abastecimiento de agua
El alumno debe identificar las ecuaciones del
problema.
El alumno debe identificar las incógnitas del
problema.
26
El Problema del abastecimiento de agua
Cuáles son las incógnitas?
Cuáles son los datos?
Numeración de los nodos. Restricciones.
Número de ecuaciones. Número de incógnitas.
27
Planteamiento del problema
El alumno debe saber plantear el problema
en forma de ecuaciones matemáticas y
especialmente en forma matricial.
28
Planteamiento del problema
El alumno debe saber numerar los nodos y
diferenciar entre una numeración correcta y una
que no lo es.
29
Análisis de la Solución
Tiene solución? Es única la solución?
30
CONDICION DE COMPATIBILIDAD
Caudal que entra caudal que sale
31
CONDICION DE COMPATIBILIDAD
32
CONJUNTO DE SOLUCIONES(sin límites de capacidad)
El alumno debe saber obtener todas las soluciones
posibles. Hay infinitas soluciones.
(Espacio afín asociado a un espacio vectorial de
dimensión 4).
33
Interpretación de las soluciones
Solución particular. Se puede cambiar por
cualquier otra.
34
Interpretación de las soluciones
Solución de flujo interno local sin entradas ni
salidas de fluído.
35
Interpretación de las soluciones
Solución de flujo interno local sin entradas ni
salidas de fluído.
36
Interpretación de las soluciones
Solución de flujo interno local sin entradas ni
salidas de fluído.
37
Interpretación de las soluciones
Solución de flujo interno local sin entradas ni
salidas de fluído.
38
Planteamiento del problema
El alumno deberá identificar modelos no adecuados
e identificar las restricciones que faltan.
39
Conos
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Espacio vectorial como cono
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Cono y dual de un cono
42
Dual de un cono. Algoritmo Gamma
43
Dual de un cono. Algoritmo Gamma
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Algunos problemas que resuelve el algoritmo Gamma

• Obtener el cono dual de uno dado
• Obtener la representación mínima de un cono.
• Obtener las caras de cualquier dimensión
  (vértices, aristas, caras, etc.) de un cono o
  polítopo.
• Determinar si un vector pertenece a un cono.
• Comprobar si dos conos son idénticos.
• Obtener la intersección de dos conos.
• Obtener la imagen recíproca de un cono por una
  aplicación lineal.
• Decidir si un sistema lineal de inecuaciones es
  compatible.
• Resolver un sistema lineal homogéneo de
  inecuaciones.
• Resolver un sistema lineal completo de
  inecuaciones.

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Cono asociado a un polítopo
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Caras y vértices de un polítopo
47
Caras y vértices de un politopo
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Caras y vértices de un polítopo
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Caras y vértices de un polítopo
50
Caras y vértices de un polítopo
51
Resolución de Sistemas homogéneos de inecuaciones
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Resolución de Sistemas completos de inecuaciones
53
Resolución de Sistemas completos de inecuaciones
54
Compatibilidad de Sistemas de inecuaciones
55
Planteamiento del problema
El alumno deberá identificar modelos no adecuados
e identificar las restricciones que faltan.
56
Condiciones de compatibilidad
Es necesario Interpretarlas físicamente para ver
si representan el modelo deseado.
57
Condiciones de compatibilidad
58
CONJUNTO DE SOLUCIONES (con límites de capacidad)
Capacidad de cada conducción 6
La solución es un polítopo
El conjunto de todas las soluciones sirve para
contestar a muchas preguntas interesantes desde
los puntos de vista matemático e ingenieril.
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CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones
sobredimensionadas)
Capacidad de cada conducción 6
En ninguna de las componentes de la solución
alcanzan su capacidad. Podría limitarse la
capacidad de cada una de ellas al máximo que
figura en las distintas soluciones.
60
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de
conducciones que no pueden fallar)
Capacidad de cada conducción 6
Toman valores del mismo signo (todos positivos o
todos negativos) en todas las soluciones.
61
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de parejas que
no pueden fallar simultáneamente)
Capacidad de cada conducción 6
Esta condición implica que todas las landas deben
ser nulas.
62
CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de
conducciones con caudal fijo)
Capacidad de cada conducción 6
Toman idénticos valores en todas las aristas.
63
CONJUNTO DE SOLUCIONES(Conducción 10 averiada)
Capacidad de cada conducción 6
Para que la conducción 10 no lleve caudal deben
ser las cuatro primeras landas nulas.
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CONJUNTO DE SOLUCIONES(Conducción 10 averiada)
Puede fallar la conducción 7?
La conducción 7 puede fallar pues tiene
componentes positivas y negativas.
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CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 7 y 10
averiadas)
Puede fallar la conducción 4?
La conducción 4 puede fallar si landa 2 es nula.
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CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 4,7 y 10
averiadas)
Puede fallar alguna otra conducción?
Ninguna puede fallar, pues la solución es única
(mala ingenierilmente, pues no queda flexibilidad
alguna).
67
VALVULAS DE RETENCION EN LAS CONDUCCIONES 2 Y 15
Es la suma de un espacio afin de dimensión 2 y un
cono generado por dos vectores.
68
EJEMPLO DE EVALUACION (1)
69
EJEMPLO DE EVALUACION (2)
70
EJEMPLO DE EVALUACION (3)
71
EJEMPLO DE EVALUACION (4)
72
BIBLIOGRAFIA
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INTERNET
Con la colaboración de Elena Alvarez Sáiz se ha
implementado el algoritmo de ortogonalización en
una aplicación de enseñanza asistida por
computador, accesible a través de Internet
http//personales.unican.es/alvareze/
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TALLER

• Diseñar un sistema de abastecimiento de agua con
  dos depósitos y varios nudos de servicio que
  contenga un sistema redundante de tuberías.
• Determinar la dimensión del espacio vectorial que
  aparece en la solución general del sistema de
  ecuaciones resultante.
• Obtener la solución general de éste sistema
  manualmente.
• Plantear un problema de programación matemática
  que conduzca a solución única del problema.