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CAPÍTULO 17º EL MODELO DE BLACK-SCHOLES
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1. Marco conceptual del modelo de
Black-Scholes 2. Planteamiento del problema 3.
Variables del modelo 4. La fórmula de
Black-Scholes 5. Ejemplo numérico
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Pgs. 366-367
1. MARCO CONCEPTUAL DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES
Una de las aportaciones más importantes a la
ciencia financiera en los últimos años Solución
analítica en un solo paso, a diferencia del
modelo binomial Se trata el tiempo como variable
continua (fórmula del interés) Solamente se
tienen en cuenta las ganancias por plusvalía Las
variaciones de los precios de los activos en el
mercado spot sigue una distribución normal (paseo
aleatorio, random walk) Su media y su desviación
típica son constantes a lo largo del tiempo Los
precios mismos de los activos en el mercado spot
siguen una distribución lognormal
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Pg. 368
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Se trata de conseguir una cartera compuesta de
acciones y de opciones short call que reproduzcan
el esquema de rendimientos de un bono sin
riesgo. Esta finalidad se consigue
reequilibrando de forma continua la cartera de
cobertura, acciones más opciones. El modelo de
Black y Scholes, permite determinar cada día qué
opciones se encuentran infravaloradas, y cuáles
sobrevaloradas, introduciendo en la fórmula el
precio spot de la acción en ese día. Como
consecuencia de ello, la cartera, dado que su
riesgo es cero, proporcionará una rentabilidad
equivalente al tipo de interés sin riesgo r del
mercado, que es, así mismo, la tasa de
rentabilidad exigida por el inversor
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3. VARIABLES DEL MODELO
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S0 Precio spot del activo subyacente en el
momento actual E(Sn) Valor esperado del precio
spot del activo subyacente en la fecha de
vencimiento dS la variación instantánea de S
cuando n 6 4, E Precio de ejercicio de la
opción C Prima de la opción short CALL µS
La esperanza matemática del rendimiento
instantáneo del activo subyacente FS La
desviación típica del rendimiento instantáneo del
activo subyaente. h Coeficiente de cobertura
(hedge). Número de opciones CALL que hemos de
vender por cada acción que entre en la cartera r
tasa de interés sin riesgo. Se trata de la tasa
de interés subanual equivalente. Siendo la tasa
nominal anual ra, r ra / 365. n Tiempo
hasta el vencimiento medido en años. Si el plazo
es inferior al a½o se usan números fraccionarios,
p.e., 3 meses 0.25 a½os si son días (número
de días / 365) It Inversión en la cartera en
el momento t medida en unidades monetarias z
Variable alatoria tipificada
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4. LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES
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