Presentaci

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Sistemas de Numeración
Un sistema numérico es un conjunto de reglas y
símbolos que nos permiten escribir
números. Números reales negativos y positivos, y
enteros negativos y positivos Representación de
números enteros no negativos Sea R (base o radio)
un número mayor o igual que 2, entonces pueden
representarse números enteros como una cadena de
dígitos escogidos entre 0,1,2,..,R-1. Donde la
cadena es la representación en base R del
entero. La base de un sistema numérico es el
número de dígitos que pueden aparecer en cada
posición en el sistema numérico. Ejemplo R3
digitos0,1,2 Base 10---0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
1,12,13,14,15,16,17,18 Base 3 --- 0,1,2,10,11,12,
20,21,22,100,101,102,110,111,112,120,121,122,200
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Sistemas de Numeración

• Conversión entre bases
• Sea el número akak-1.a1, un entero en base R.
• Para convertir este número de base R a base Q
  utilizamos la conversión
• akRk-1ak-1Rk-2a1R0 (Expresión uno)
• Donde R es la base en la que se encuentra el
  número (base actual), k es el número de dígitos
  que conforman el número y Q es la nueva base (se
  debe trabajar con aritmética en base Q).
• Ejemplos
• Convertir (100110)2 ?( )10
• R2 k6 Q10 a61, a50, a40, a31, a21,
  a10
• 126-1026-2026-3126-4126-5026-6
  125024023122121020 125122121
  324238
• Finalmente obtenemos que (100110)2 ? (38)10

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Sistemas de Numeración
2) Convertir (4302)5 ? ( )3 R5 Q3 k4 a44,
a33, a20, a12 Se debe trabajar con aritmética
en base 3, por lo tanto necesitamos las tablas de
suma y multiplicación en base 3.
0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 11
0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 10
2 2 10 11
453352051250 11123101222120
11111221022121 20011222102 210101
1212 101 12 221
22112 1212 221 11122
1112211 11122 11122 200112
22110 000 221 2210
200112 2210 2 210101
Realizando las sumas y multiplicaciones debidas
en base 3, obtenemos (4302)5 ? (210101)3
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Sistemas de Numeración

• Conversión de números de base X a base 10 (donde
  X?10)
• Algoritmo 1. (Regla de Horner para la evaluación
  de polinomios)
• i?k, num ?0
• Mientras i?1 hacer
• num ?numRai
• i ?i-1
• fin_mientras
• 3. Fin
• Ejemplo
• Convertir (4302)5 ? ( )10

Donde R es la base actual, k es el número de
dígitos que componen el número y ai es el i-ésimo
dígito del número en base X (derecha a izquierda)
I num R a4 a3 a2 a1 k
4 0 5 4 3 0 2 4
3 4
2 23
1 115
0 577
Utilizando el algoritmo 1 obtenemos (4302)5 ?
(577)10
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Sistemas de Numeración

• Conversión de números de base 10 a base s (donde
  s?10)
• Algoritmo 2.
• 1. i?1, q?0, p ?0
• Repetir
• q ?x/s (parte entera)
• p ?x-qs (residuo)
• ai ?p, i ?i1, x ? q
• hasta q0
• 3. Fin
• Ejemplo
• Convertir (577)10 ? ( )3

Donde x inicialmente es el número a convertir, s
es la nueva base y ai es el i-ésimo dígito del
número en base s tomando el orden akak-1a1
x q p ai i s
577 0 0 1 3
192 192 1 1 2
64 64 0 0 3
21 21 1 1 4
7 7 0 0 5
2 2 1 1 6
0 0 2 2 7
Obtenemos (577)10 ? (210101)3
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Sistemas de Numeración

• Conversión de números de base X a base 10 (donde
  X?10)
• Números fraccionarios
• Algoritmo 3.
• i?m, num?0
• Mientras i?1hacer
• num ?(numbi)/R
• i ?i-1
• fin_mientras
• 3. Fin
• Ejemplo
• Convertir (.A06)16 ? ( )10

Donde m es el número de dígitos que componen el
número que queremos convertir, R es la base
actual y num es el número en la nueva base.
i num m m R R b1 b1 b2 b3
3 0 3 3 16 16 A A 0 6
2 .375
1 .0234375
0 .62646484
Obtenemos (.A06)16 ? (.62646484)10
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Sistemas de Numeración
Conversión de números de base 10 a base s (donde
s?10) Números fraccionarios Algoritmo 4. 1.
i?1 2. Mientras i ? m hacer x
?xs y ?x (parte entera) x
?x-y, bi ?y, i ? i1 fin_mientras 3.
Fin Ejemplo Convertir (.62646484)10 ? ( )7
Donde m es el número de dígitos que se desean
obtener, x es el número a convertir inicialmente,
s es la nueva base y bi es el i-ésimo dígito del
número en base s tomando el orden b1b2bm
i x y bi m s
1 .62646484 3 7
4.38525388 4
2 .38525388 4
2.69677716 2
3 .69677716 2
4.87744012 4
4 .87744012 4
Obtenemos (.62646484)10 ? (.424)7
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Sistemas de Numeración

• Conversión de potencias de 2
• Para convertir números de base 2 a base k, donde
  k puede expresarse como una potencia de 2, es
  decir, k2x donde xgt1 y es un número entero, se
  llevan a cabo los siguientes pasos
• Se agrupan de x en x los dígitos que se
  encuentran a la izquierda del punto, comenzando a
  partir de él y aumentando ceros a la izquierda
  cuando es necesario.
• Se agrupan de x en x los dígitos que se
  encuentran a la derecha del punto comenzando a
  partir de éste y aumentando ceros a la derecha
  cuando sea necesario.
• Se sustituyen los grupos por los dígitos
  correspondientes en la base k.
• Ejemplo
• (1110010100.011011)2 ? ( )16 Donde 1624
• 0011 1001 0100 . 0110 1100 Resultado
• 3 9 4 6 C
  (1110010100.011011)2 ? (394.6C)16

Se agregaron dos ceros
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Sistemas de Numeración

• Conversión de potencias de 2
• Para convertir números de base k2x a base 2, se
  sustituye cada dígito en base k por los x dígitos
  binarios correspondientes.
• Ejemplo
• (7402.61)8 ? ( )2 Donde 823
• 7 4 0 2 . 6
  1 Resultado
• 100 000 010 110 001 (7402.61)8 ?
  (111100000010.110001)2
• Operaciones aritméticas en diferentes bases
• Base 2
• Suma

1 1 1
101101 10110 1000011
0 1
0 0 1
1 1 10
Carry o acarreo
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Sistemas de Numeración
Resta
101101 - 10110 010111
- 0 1
0 0 1
1 1 0
1 1 1
Borrow (deber uno)
Multiplicación
1011011101 101101
000000 101101 101101_______
1001001001
1 1 1
1 1
0 1
0 0 0
1 0 1
1
1
División

• ___1000001
• 1101010110
• -1101
• 0000010110
• - 1101
• 01001

/ 0 1
0 e 0
1 e 1
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Sistemas de Numeración
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C
E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E
Tabla de Suma en base 16 (hexadecimal)
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Sistemas de Numeración
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2 0 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E
3 0 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D
4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C
5 0 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B
6 0 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A
7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69
8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78
9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87
A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96
B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5
C 0 C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4
D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3
E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2
F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1
Tabla de Multiplicar en base 16 (hexadecimal)
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Sistemas de Numeración
Aritmética con signo Sea R la base y n el número
de casillas o posiciones, entonces Rn es el total
de números sin signo que se pueden representar en
base R. Por ejemplo. Con R2 n3 el total de
números que pueden ser representados en base 2
utilizando 3 casillas son 8 y el rango es 0,7,
los números son 000, 001, 010, 011, 100, 101,
110, 111. 0 , 1 , 2 , 3
, 4 , 5 , 6 , 7 Forma general
rango 0, Rn-1 Para números con signo, es
necesario utilizar una casilla (la primera) para
indicar si el número es negativo o positivo. Para
el ejemplo anterior, el total de números con
signo que podrían representarse serían 8, 4
positivos y 4 negativos, ya que la primera
casilla indica el signo del número, si contiene
un 0 es positivo y si contiene un 1 es negativo.
Entonces el rango es -3,3 y los números son
011,010,001,000,100,101,110,111.
3 , 2 , 1 ,0 , -0 , -1 , -2 , -3
(Signo y magnitud) En general el rango para
cualquier base utilizando números con signo es
-(Rn-1-1),(Rn-1-1)
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Sistemas de Numeración

• Complemento
• El complemento es una forma de representar
  números negativos.
• Si la base es 2, existen dos clases de
  complementos complemento a 1 y complemento a 2.
• Complemento a 1. Se obtiene cambiando 1s por 0s
  y 0s por 1s. Ejemplo Sea el número 00111100,
  su complemento a 1 es 11000011.
• Complemento a 2. Se aplica complemento a 1 al
  número y luego se suma 1 al resultado. Ejemplo
  Sea el número 0110110 aplicando complemento a 1
  obtenemos 1001001, después se le suma 1,
  obteniéndose 1001010
• Algoritmo de suma utilizando la representación de
  números negativos mediante signo y magnitud.
• Sean anan-1a0 y bnbn-1b0 2 números binarios con
  signo y magnitud.
• Tienen signos iguales ? (anbn)
• Si sumar magnitudes quedando el resultado en
  cn-1cn-2c0 , cn ? bn ? an
• No Comparamos magnitudes y dejamos en cn el
  signo del mayor. Restamos a la magnitud mayor la
  menor y el resultado queda en cn-1cn-2c0

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Sistemas de Numeración

• 3. La magnitud de cn-1cn-2c0 excede el rango ?
• Si Indicar error (overflow sobreflujo)
• No El resultado esta en cncn-1c0
• Ejemplo Obtener el resultado de las siguientes
  sumas binarias a 4 dígitos
• 1) 5(-3)01011011 Los signos son diferentes, y
  la magnitud del primer número es gt que la del
  segundo, así que restamos 011 de 101
  y el signo del resultado será positivo
• 0010 Su equivalente decimal es 2
• 2) (-4)(-6)11001110 Los signos son iguales,
  así que se suman magnitudes
• Error ! Existe overflow
• Algoritmo de suma algebraica en complemento a 1
• Tomar el complemento a 1 de los números negativos
• Sumar los operandos
• Existe carry? Si sumar 1 al resultado
• Existe overflow? Si indicar error
• No Escribir el resultado

100 1110 1010
Overflow
Nota El Overflow se genera cuando ya no hay
lugar para un dígito más. En base binaria
corresponde a un cambio de signo
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Sistemas de Numeración

• Ejemplo Utilizar 4 dígitos
• (-4) (-3) (0100)c1(0011)c1 10111100 1 0111
  Existe carry
• 011111000 No existe
  overflow
• Algoritmo de suma algebraica en complemento a 2
• Tomar el complemento a 2 de los números negativos
• Sumar los operandos
• Existe overflow? Si mensaje de error
• No Se toman las primeras n posiciones de
  derecha a izquierda como resultado ignorando el
  carry si es que lo hay.
• Ejemplo (4 dígitos)
• 7(-5) 0111(0101)c2 01111011 1 0010 Existe
  carry, así que el resultado es 0010

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Conceptos básicos
Diagramas de flujo Un diagrama de flujo es una
representación detallada en forma gráfica de los
pasos a seguir para la solución de un
problema. Símbolos
Ejemplo. Diagrama de flujo que obtiene la
multiplicación de 2 números enteros positivos
mediante sumas sucesivas
Entrada
1
Salida
Inicio
Condición
no
Dame 2 numeros
a gt 0
si
Llamado a rutina
s ? sb a ? a-1
a,b
Líneas de flujo
s? 0
R, s
Conector
Inicio/fin
1
Fin
Proceso
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Conceptos básicos

• Operaciones Lógicas
• Son aquellas que dan como resultado verdadero o
  falso.
• Donde V es equivalente a 1 y F es equivalente a
  0. Para trabajar con este tipo de operaciones se
  utilizan tablas de verdad.
• Las operaciones lógicas básicas son
• Negación (not). Consiste en obtener el
  complemento a 1 del operando
• Conjunción (and). La expresión es verdadera solo
  si todos sus operandos son verdaderos.
• Disyunción (or). La expresión es verdadera si al
  menos uno de sus operandos es verdadero.

p q p and q
v v v
v f f
f v f
f f f
p q p or q
v v v
v f v
f v v
f f f
p p
v f
f v
Negación
Conjunción
Disyunción
19
(No Transcript)
20
(No Transcript)