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Propiedades del Operador Gradiente Si
es una función escalar (
) Entonces si
se cumple

• Linealidad

2)
3)

• Se define la derivada direccional de
  en la dirección del vector unitario como el
  cambio de
• por unidad de longitud

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Que es ?
Donde el vector unitario se define en
función de los cosenos directores
.
son los ángulos que forma con los ejes x, y,
z.
z
y
x
La proyección de sobre los ejes XYZ
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Analicemos la expresión en una dimensión
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Por lo tanto, se demuestra que

• La derivada direccional de la función
  en la dirección de es igual al
  producto del operador gradiente por el vector
  unitario

El incremento diferencial de en la
dirección de es igual al producto del vector
gradiente por el diferencial del desplazamiento
en la dirección de
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5. Condición de la ortogonalidad de a
la superficie equipotencial El vector gradiente
en un punto de la superficie equipotencial es ? a
dicha superficie. Demostración a) Consideremos
uT un vector unitario tangente a la superficie
equipotencial en el punto A
b) Supongamos un desplazamiento infinitesimal
sobre la superficie definido por
A
r
c) Por la definición de la derivada direccional
d) Si , significa
Así el vector gradiente en le punto r
es ? a la superficie equipotencial
que pasa por dicho punto.
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6. tiene la dirección y el sentido en
cada punto de la maxima variación positiva de la
función
Entonces Variación maxima
El vector gradiente apunta siempre en el sentido
en el que la función escalar ? crece mas
rapidamente.
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Formulas útiles Si ? función escalar
A vector Entonces
Rotacional en coordenadas cilindricas
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Coordenadas cartesianas
Coordenadas cilindricas
Coordenadas polares
Coordenadas esféricas
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Energia Potencial
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Calculo de Ep a partir de una fuerza conservativa
En general
Conocidas las coordenadas de la fuerza
conservativa, la solución del sistema de ec. dif.
nos proporciona Ep
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Ejemplo Determinar la energía potencial asociada
a una fuerza constante
Calculo de la energia potencial
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(No Transcript)