TEMA 1: FUNDAMENTOS TEORICOS

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TEMA 1 FUNDAMENTOS TEORICOS
Objetivo de la matemática financiera
Proporcionar modelos matemáticos capaces de
reflejar los intercambios de activos reales o
financieros entre los distintos agentes
económicos.
Es necesario valorar los activos financieros que
se harán efectivos en momentos de tiempo
distintos.
A igual cantidad y calidad siempre se preferirán
bienes presentes frente a bienes futuros

• La valoración de un bien económico no sólo
  depende de su cuantía sino también del momento en
  el que está disponible.

Regla básica 1 No se pueden sumar capitales con
vencimiento en distintos momentos de tiempo.
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CAPITAL FINANCIERO
Definición
Se define capital financiero (C, t) como la
medida de un bien económico referida al momento
de su disponibilidad o vencimiento. Es una
magnitud bidimensional.
(C, t)
Cómo comparar capitales financieros con
distintos vencimientos?

• (1.000, 0) y (1.000, 2)

• (1.000, 2) y (1.300, 2)

• (1.000, 0) y (1.300, 2)

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PRINCIPIO DE PROYECCION FINANCIERA

• El Principio de Proyección Financiera permite,
  dado un capital financiero cualquiera (C,t),
  obtener la cuantía V del capital sustituto con
  vencimiento en otro momento de tiempo p (anterior
  o posterior a t ).

Esto es, para comparar capitales con distintos
vencimientos, lo que se hace es comparar sus
proyecciones en un momento de tiempo p.
En base al Principio de Proyección Financiera se
establecen

• Relación de Equivalencia Financiera en p.

• Relación de Preferencia Financiera en p.

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PRINCIPIO DE PROYECCION FINANCIERA
Relación de Equivalencia financiera en p Dados
dos capitales financieros (C1,t1) y (C2,t2), se
dice que son equivalentes financieramente en p,
cuando ambos tienen la misma proyección en p
(V1V2)
V2 V1
(C2,t2) equivalente a (C1,t1)
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PRINCIPIO DE PROYECCION FINANCIERA
Relación de Preferencia financiera en p Dados
dos capitales financieros (C1,t1) y (C2,t2), se
dice que (C1,t1) es preferible a (C2,t2), si la
proyección del primero en p, es mayor a la
proyección del segundo en p (V1gtV2).
V2 gt V1
(C2,t2) preferible a (C1,t1)
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LEYES FINANCIERAS
Para realizar la proyección financiera de un
capital tenemos... LEYES FINANCIERAS.
Definición

• Se denomina ley financiera a la expresión
  matemática del principio de proyección
  financiera.
• Se trata de una función cuya finalidad es obtener
  capitales financieros equivalentes con
  vencimiento en distintos momentos de tiempo.

Clasificación de las leyes financieras

• Leyes Financieras de Capitalización.
• Leyes Financieras de Descuento.

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LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN

• Leyes Financieras de Capitalización dado un
  capital financiero (C, t) permiten determinar la
  cuantía V del capital equivalente disponible en
  un momento de tiempo p posterior a t (p gt t).

Al capitalizar se suman intereses al capital
inicial, por lo que
V gt C y V C Intereses
Intereses cantidad de dinero que se percibe como
compensación o precio por diferir la
disponibilidad de un capital.
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LEYES FINANCIERAS DE DESCUENTO

• Leyes Financieras de Descuento dado un capital
  financiero (C, t) permiten determinar la cuantía
  V del capital equivalente disponible en un
  momento de tiempo p anterior a t (t gt p).

Al descontar se restan intereses (descuento) al
capital inicial, por lo que
V lt C y C V Descuento
Descuento importes pagados por anticipar la
disponibilidad de un bien. También se define como
la rebaja que sufre una cantidad de dinero al ser
abonada antes de su vencimiento.
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LEYES FINANCIERAS CLÁSICAS
Leyes financieras clásicas
1) Ley Financiera de Capitalización Simple. 2)
Ley Financiera de Capitalización Compuesta. 3)
Ley Financiera de Descuento Simple Racional. 4)
Ley Financiera de Descuento Simple Comercial. 5)
Ley Financiera de Descuento Compuesto.
Se diferencian en la forma en que se estipula el
devengo de los intereses
Régimen simple los intereses se calculan siempre
sobre el capital inicial. Son no productivos.
Régimen compuesto los intereses de cada periodo
se acumulan al capital inicial para generar
nuevos intereses en los periodos siguientes. Los
intereses son productivos.
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LEY FINAN CIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Expresión matemática de la ley financiera
unitaria de capitalización simple
i tipo de interés efectivo. Incremento
experimentado por una unidad monetaria al diferir
su disponibilidad durante un periodo de tiempo.
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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
En capitalización simple el momento de proyección
escogido p influye en los resultados obtenidos.
Aunque desde un punto de vista teórico y
conceptual p puede tomar cualquier valor, en la
práctica financiera en las operaciones de
capitalización, p se hace coincidir con el
momento final de la operación, con lo que (p-t)
representa la duración de la operación (n).
La expresión de la Ley Financiera Unitaria de
Capitalización Simple será ahora
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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Deducción de la expresión matemática de la ley
Sea un capital inicial C0, que se invierte
durante n periodos a un tipo de interés efectivo
del periodo i. Veamos cómo evoluciona periodo a
periodo el capital disponible

• En régimen simple los intereses son no
  productivos.

n número de periodos en que se han generado
intereses, por lo que siempre debe estar referida
a la misma unidad de tiempo que i.
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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Expresión matemática de la ley financiera
unitaria de capitalización compuesta
i tipo de interés efectivo. Incremento
experimentado por una unidad monetaria al diferir
su disponibilidad durante un periodo de tiempo.
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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Dado un capital (10.000,2005), determinar el
capital equivalente disponible en 2009, tomando
como ley de valoración, la ley financiera de
capitalización compuesta
a) p2012
b) p2017
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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
En capitalización compuesta el momento de
proyección escogido p no influye en los
resultados obtenidos.
En la práctica financiera en las operaciones de
capitalización, p se hace coincidir con el
momento final de la operación, con lo que (p-t)
representa la duración de la operación (n).
La expresión de la Ley Financiera Unitaria de
Capitalización Compuesta será ahora
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LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Deducción de la expresión matemática de la ley
Sea un capital inicial C0 invertido durante n
periodos a un tipo de interés efectivo del
periodo i. Veamos cómo evoluciona periodo a
periodo el capital disponible

• En régimen compuesto los intereses son
  productivos.

n e i deben estar referidos a la misma unidad de
tiempo
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COMPARATIVA DE LAS LEYES FINANCIERAS DE
CAPITALIZACIÓN
Estudiar la evolución de un capital de 1.000
colocado a un tipo del 10 efectivo anual,
durante 6 años, en capitalización simple y en
capitalización compuesta.

• En Cap. Simple el montante aumenta linealmente.

• En Cap. Compuesta el montante aumenta
  exponencialmente.

• Para n1
• Cn simpleCn compuesto

• Si nlt1
• Cn simple gt Cn compuesto

• Si ngt1
• Cn compuesto gt Cn simple

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LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE RACIONAL
Expresión matemática de la ley financiera
unitaria de descuento simple racional
Al tratarse de una ley simple, el momento de
proyección p escogido influye en la valoración.
En las operaciones de descuento p se hace
coincidir con el momento inicial de la operación,
con lo que t p representa la duración (n) de la
operación.
Generalizando
Esta ley es la conjugada de la ley financiera de
Capitalización Simple.
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LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL
Expresión matemática de la ley financiera
unitaria de descuento simple comercial
d tanto de descuento representa el descuento o
disminución experimentado por una unidad
monetaria al anticipar su disponibilidad durante
un periodo.
En las operaciones de descuento p se hace
coincidir con el momento inicial de la operación,
con lo que t p representa la duración (n) de la
operación.
Generalizando
Esta ley se estudiará en mayor detalle a lo largo
del tema 4, en las operaciones de descuento de
efectos.
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LEY FINANCIERA DE DESCUENTO COMPUESTO
Expresión matemática de la ley financiera
unitaria de descuento compuesto
Al tratarse de una ley compuesta, el momento de
proyección p escogido no influye en la
valoración. En las operaciones de descuento p se
hace coincidir con el momento inicial de la
operación, con lo que t p representa la
duración (n) de la operación.
Generalizando
Esta ley es la conjugada de la ley financiera de
Capitalización Compuesta.
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UTILIZACIÓN DE LAS LEYES FINANCIERAS CLÁSICAS
Comparativa entre distintas alternativas de
inversión o de financiación de una determinada
operación financiera.
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TANTOS DE INTERÉS EQUIVALENTES
Son tantos o tipos de interés equivalentes,
aquellos que referidos a distintos períodos de
tiempo, cuando se aplican a un mismo capital y
durante un mismo plazo de tiempo, dan lugar al
mismo capital final, produciendo los mismos
intereses.
i tanto anual i2 tanto semestral i3tanto
cuatrimestral
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TANTOS EQUIVALENTES

• C0 Cn
• 0 1 2 n 0 1/k 2/k .. 1

Capitalización simple
Considerando un tanto i
Considerando un tanto ik
Igualando y operando
Capitalización compuesta
Considerando un tanto i
Considerando un tanto ik
Igualando y operando
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TANTOS NOMINALES Y EFECTIVOS

• En las operaciones financieras es frecuente
  utilizar un tipo de interés referido al año pero
  realizando la capitalización de los intereses k
  veces en el año.

Por ejemplo a) préstamo con un 6 de interés
que se pagarán o devengarán mensualmente b)
préstamo con un 6 de interés pagadero o
devengable trimestralmente.
Los tantos anteriores no son tantos efectivos
son tantos nominales y NO SE PUEDEN USAR
DIRECTAMENTE EN LAS LEYES FINANCIERAS
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TANTOS DE INTERÉS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

• Llamamos Jk al tipo de interés nominal
  capitalizable por k-ésimo de periodo .

Es un tanto teórico que se obtiene multiplicando
la frecuencia de capitalización k por el tanto
efectivo ik.
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OPERACIONES FINANCIERAS
Definición intercambio no simultáneo de
capitales financieros, efectuado entre personas
físicas o jurídicas de acuerdo a una ley
financiera previamente establecida y acordada por
las partes.
A à B
BàA
Origen (t1) momento de disponibilidad o
vencimiento del primer capital.
Final (t2) momento de disponibilidad o
vencimiento del último capital.
Duración el tiempo que media entre origen y fin
(tn t1).
Acreedor la persona o parte que entrega el
primer capital (A). El conjunto de
capitales que entrega será la prestación.
Deudor la persona o parte que recibe el primer
capital (B). El conjunto de
capitales que entrega será la contraprestación.
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• Toda operación financiera se basa en el
  PRINCIPIO O POSTULADO DE EQUIVALENCIA FINANCIERA.

Las dos partes, acreedor y deudor acuerdan
intercambiar dos conjuntos de capitales
financieros (prestación y contraprestación) tales
que, los capitales que forman prestación y
contraprestación sean equivalentes de acuerdo con
una ley financiera previamente elegida por las
partes.
Valor prestación en p Valor contraprestación
en p de acuerdo a la ley financiera establecida
por las partes
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Clasificación de las operaciones financieras

• Según la naturaleza de los capitales

• ciertas cuando todos los capitales que
  intervienen son ciertos

• aleatorias cuando al menos uno de los capitales
  es aleatorio (cálculo actuarial).

• Atendiendo a la duración

• corto plazo operaciones con una duración máxima
  de un año.

• largo plazo operaciones cuya duración es de más
  de un año.

• Según el número de capitales que constituyen la
  prestación y la contraprestación

• simples cuando prestación y contraprestación
  están formados por un único capital.

• compuestas cuando prestación y/o
  contraprestación es múltiple.

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Reserva matemática o saldo financiero de la
operación

• Aunque en toda operación financiera ha de
  verificarse siempre el principio de equivalencia
  financiera, en un momento intermedio ? el valor
  de los capitales entregados por deudor y acreedor
  no coinciden, sino que hay un saldo a favor de
  uno de ellos.

Definición
La Reserva matemática o saldo financiero de una
operación financiera, es el capital financiero
que en cada momento cuantifica la diferencia
entre las cantidades entregadas por una y otra
parte.
La reserva matemática en ? es el capital que en
ese momento restablece el equilibrio financiero
de la operación.
Si en ? vence algún capital distinguimos
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CÁLCULO DE LA RESERVA

• ?

En base al principio de equivalencia financiera
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• MÉTODOS DE CÁLCULO DE LA RESERVA

Método retrospectivo diferencia en ? entre los
capitales entregados por la prestación menos los
ya entregados por la contraprestación.
Método prospectivo diferencia en ? entre los
capitales pendientes de entregar por la
contraprestación menos los pendientes de entregar
por la prestación.
Método recurrente consiste en calcular el valor
de la reserva en ?, a partir del conocimiento de
la reserva matemática en un momento de tiempo
anterior a ?.
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• MÉTODOS DE CÁLCULO DE LA RESERVA

Signo de la reserva indica la parte que está en
posición deudora en ese momento. Es decir, la
parte que debe pagar la reserva para saldar la
operación en ese momento.
Paga el que empezó la operación como deudor
(contraprestación)
Paga el que empezó la operación como acreedor
(prestación)