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Ecuaciones diferenciales de 1er orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden es una expresión del tipo siguiente
El problema que se suele presentar es el de
calcular una función y f(x) tal que verifique
la ecuación anterior con una condición de
contorno y(x0) y0.
El siguiente Teorema de Cauchy sólo garantiza
la existencia y unicidad de la solución bajo las
siguientes condiciones restrictivas
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Teorema de Cauchy
Si f(x,y) es analítica en un dominio que
contiene al punto (x0,y0), existe una, y sólo
una, función analítica y(x) que verifique la
ecuación
con la condición de contorno
Una condición, menos exigente, para que exista
solución y sea única (aunque no necesariamente
analítica)es que se satisfaga una condición
de Lipschitz
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Supongamos que tenemos una función f(x,y)
definida en un dominio del plano XY. Se dice que
la función f(x,y) satisface una condición
de Lipschitz (respecto de y) en el dominio si
esixte una constante M gt0 tal que
para todos los puntos (x,y1) y (x,y2) que
pertenezcan al dominio. La constante M se
llama constante de Lipschitz.
Una condición suficiente para que se pueda
verificar una condición de Lipschitz es que
exista ?f/?y y esté acotada en el dominio, D. Si
es así, Efectivamente, se satisface una condición
de Lipschitz (respecto de y) en el dominio, D, y
la constante viene dada por
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En efecto
con lo cuál
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Ejemplo
Supongamos el dominio D definido del siguiente
modo
y la función f(x,y) dada por
como ?f/?y existe y está acotada en el dominio D
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En efecto
Sin embargo, aunque esta condición (sobre la
derivada parcial) es una condición suficiente, no
es necesaria, como se ve en el ejemplo siguiente
que cumple una condición de Lipschitz
a pesar de que la derivada parcial ?f/?y no
existe en los puntos (x,0)
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Método de Euler
Es un método sencillo para la integración de
ecuaciones diferenciales de primer orden.
Sea
con la condición de contorno
Supongamos que y(x) es la solución exacta del
problema. Si tomamos un x lo suficientemente
próximo a x0, podemos tomar la siguiente
aproximación
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Así, si, por ejemplo, tomamos un x1 x0h,
podemos calcular el valor correspondiente y1
y(x1) del siguiente modo
Si ahora quisiéramos calcular la solución en un
punto ulterior, partiríamos ahora de
con la nueva condición (aproximada) de contorno
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Utilizar el método de Euler para aproximar el
valor de la solución de la siguiente ecuación
diferencial en los puntos x 0.2, 0.4, 0.6, 0.8
y 1, usando h 0.2 y h 0.1.
h 0.2
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(No Transcript)
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h 0.1
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(No Transcript)
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Vemos que obtenemos valores distintos de los
que habíamos calculado para h 0.2. Cuanto menor
sea h, mejor será la aproximación (aunque también
más laboriosa). Para un h constante el error será
tanto mayor cuanto más nos alejemos del punto
inicial, como puede apreciarse en la gráfica
siguiente en la que comparamos las dos soluciones
aproximadas con la solución exacta.
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(No Transcript)
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Método de Euler modificado
La solución exacta de la ecuación diferencial de
primer orden
en el punto x1 vendría dada por la siguiente
expresión
En el método de Euler sencillo que vimos
anteriormente tomábamos la siguiente aproximación
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Esta aproximación es equivalente a suponer que
en el integrando de la solución exacta f(x,y) es
constante e igual a su valor en el extremo
inferior de la integral, es decir, f(x, y)
f(x0,y0)
Parecería más razonable el pensar que
obtendríamos un valor más preciso si
aproximáramos la integral de f(x,y) por un
promedio de sus valores en los dos extremos de la
integral en vez de tomarla igual a su valor en el
extremo inferior.
Sin embargo, de esa manera, nos encontraríamos
con el problema de que, para calcular y1
necesitamos saber su valor para evaluar f(x1,y1).
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El problema se solventa del siguiente modo
Primero se obtiene una aproximación de y1 usando
el método de Euler sencillo
a continuación, se usa esta aproximación sencilla
para calcular f(x1,y1(0)) y así poder tomar la
siguiente nueva estimación para el valor de y1
naturalmente, podríamos utilizar esta nueva
aproximación para obtener otra
y así, podríamos iterar hasta obtener una
aproximación definitiva.
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Una vez que estimemos que tenemos una
estimación sensata de y1 repetiríamos el
procedimiento para calcular y2
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Utilizar el método de Euler modificado para
aproximar el valor de la solución de la siguiente
ecuación diferencial en los puntos x 0.2 y 0.4,
usando h 0.2 y con tres decimales de
aproximación
h 0.2
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Luego, con tres cifras decimales, tendríamos
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(No Transcript)
22
Luego, con tres cifras decimales, tendríamos
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Algoritmo de Taylor
Una forma alternativa de mejorar el método
de Euler sería tomar más términos en el
desarrollo de Taylor de la solución exacta
Esto se puede hacer del modo siguiente
Partiendo de
y derivando respecto a x nos queda que
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En lo siguiente, empleamos la siguiente
notación abreviada
si seguimos derivando
y así, podríamos continuar calculando derivadas
de orden más alto. Si f admitiera derivadas de
cualquier orden (es decir, si fuera, analítica),
podríamos calcular la solución de este modo
(Teorema de Cauchy).
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Si aplicamos este método al problema que teníamos
Luego, la solución se puede escribir como
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Sin embargo, en el caso general, este método
puede resultar bastante laborioso, tal y como se
puede apreciar en el siguiente ejemplo
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(No Transcript)
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Por tanto, haciendo las sustituciones oportunas
con lo que la solución puede escribirse como
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Método de Picard (de las aproximaciones
sucesivas)
Como ya vimos anteriormente, la
solución exacta de la ecuación diferencial de
primer orden
en el punto x vendría dada por la siguiente
expresión
Si conociéramos y(x), sustituyéndola en el
integrando de la ecuación anterior, obtendríamos
una identidad trivial. Si partiéramos de una
solución aproximada, y0(x), podríamos
introducirla en el integrando para calcular una
nueva aproximación (mejorada) y1(x). Integrando
esta nueva aproximación, se puede obtener otra
nueva, y2(x), y así sucesivamente.
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Generalmente, la primera aproximación que se
suele tomar es hacer y0(x) constante e igual a la
condición de contorno y0(x) y(x0).
Si la convergencia no fuera buena, podrían
ensayarse aproximaciones iniciales mejores,
mediante el método de Euler (o el de Euler
modificado).
Cuando las integrales se efectúan de forma
numérica, estos métodos se conocen con el nombre
de métodos de Adams-Bashforth.
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Utilizar el método de Picard con el problema
siguiente
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Utilizar el método de Picard con el problema
siguiente
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Utilizar el método de Picard con el problema
siguiente
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Método de Runge-Kutta (de cuarto orden)
Los llamados métodos de Runge-Kutta son
una serie de algoritmos para calcular
aproximaciones númericas del valor de la solución
de
en puntos de la forma siguiente
con muy buena precisión, sin que, para ello,
sea necesario que los h sean muy pequeños.
El procedimiento consta de los siguientes pasos
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Para calcular un valor aproximado de la
solución y1 en el punto x1 x0 h, se calculan
los siguientes números
y entonces se toma
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Procediendo del mismo modo, calcularíamos el
valor aproximado de la solución, y2, en el punto
x2 x1 h
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Y así, sucesivamente, para el punto enésimo,
tendríamos xn xn-1 h
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Utilizar el método de Runge-Kutta con el
problema siguiente para calcular la solución
aproximada en x 0.2 y x 0.4
h 0.2
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Utilizar el método de Runge-Kutta con el
problema siguiente para calcular la solución
aproximada en x 0.1 y x 0.2
h 0.1
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(No Transcript)
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(No Transcript)