Title: Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
1FUNGSI
- Fungsi, Persamaan Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
2RELASI DAN FUNGSI
- Kompetensi Dasar
- Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi
- Indikator
- Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan jelas
- Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan
contohnya
3RELASI DAN FUNGSI
A
B
Perhatikan anak panahnya
8?
? 4
relasinya adalah dua kali dari
4RELASI DAN FUNGSI
2
x
4
6
8
f(x)
1
2
3
4
f(x)
rumus pemetaannya f(x)
x
5RELASI DAN FUNGSI
- Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi
- Diagram panah
- Himpunan pasangan berurutan
- Diagram Cartesius
- Contoh
- Diketahui himpunan A 1,2,3,4,5 dan himpunan B
becak, mobil, sepeda, motor,bemo. Relasi yang
menghubungkan himpunan A ke himpunan B adalah
banyak roda dari. Tunjukkan relasi tersebut
dengan - Diagram panah
- Himpunan pasangan berurutan
- Diagram Cartesius
6RELASI DAN FUNGSI
c. Diagram Cartesius
Y
banyak roda dari
1.
. becak
becak
2.
mobil
. mobil
3.
motor
. motor
4.
sepeda
. sepeda
5.
. bemo
bemo
X
O
1
2
3
4
A
B
b. Himpunan pasangan berurutan (2, sepeda),
(2, motor), (3, becak) (3, bemo), (4, mobil )
7Pengertian Fungsi
RELASI DAN FUNGSI
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B
adalah suatu relasi yang memasangkan setiap
elemen dari A secara tunggal , dengan elemen
pada B
. . . . . . .
. . . .
A
B
f
8 Beberapa cara penyajian fungsi
RELASI DAN FUNGSI
- Dengan diagram panah
- f D ? K. Lambang fungsi tidak harus f.
Misalnya, - un n2 2n atau u(n) n2 2n
- Dengan diagram Kartesius
- Himpunan pasangan berurutan
- Dalam bentuk tabel
9Contoh grafik fungsi
RELASI DAN FUNGSI
Gambarlah grafik sebuah fungsi f x ? f(x)
x2 dengan Df 2, 1, 0, 1, 2, Rf 0, 1,
4.
Y
(2,4)
(2,4)
- 4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan juga dari
2. - 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan
dilambangkan f1(4) 2 atau 2. - Grafik Kartesius merupakan grafik fungsi yf(x)
hanya apabila setiap garis sejajar sumbu- Y yang
memotong grafik hanya memotong di tepat satu
titik saja.
(1,1)
(1,1)
X
(0,0)
O
10Beberapa Fungsi Khusus
RELASI DAN FUNGSI
- 1). Fungsi Konstan
- 2). Fungsi Identitas
- 3). Fungsi Modulus
- 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
- Fungsi genap jika f(?x) f(x), dan
Fungsi ganjil jika f(?x) ?f(x) - 5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat
Terbesar x b b ? x lt b 1, b bilangan
bulat, x?R - Misal, jika ?2 ? x lt ?1 maka x ?2
- 6). Fungsi Linear
- 7). Fungsi Kuadrat
- 8). Fungsi Turunan
11Jenis Fungsi
RELASI DAN FUNGSI
- 1. Injektif ( Satu-satu)Fungsi fA?B adalah
fungsi injektif apabila setiap dua elemen yang
berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen
yang berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) 2x
adalah fungsi satu-satu dan f(x) x2 bukan suatu
fungsi satu-satu sebab f(-2) f(2).
2. Surjektif (Onto)Fungsi f A?B maka apabila
f(A) ? B dikenal fungsi into. Jika f(A) B maka
f adalah suatu fungsi surjektif. Fungsi f(x)
x2 bukan fungsi yang onto
3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)Apabila f
A? B merupakan fungsi injektif dan surjektif maka
f adalah fungsi yang bijektif
12FUNGSI LINEAR
- 1.Bentuk Umum Fungsi Linear
- Fungsi ini memetakan setiap x R kesuatu
bentuk ax b dengan - a ? 0, a dan b konstanta.
Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut
grafik fungsi linear dengan Persamaan y mx c,
m disebut gradien dan c konstanta
2. Grafik Fungsi Linear Cara menggambar
grafik fungsi linear ada 2 1. Dengan tabel
2. Dengan menentukan titik- titik potong
dengan sumbu x dan sumbu y
13FUNGSI LINEAR
- Contoh
- Suatu fungsi linear ditentukan oleh y 4x 2
dengan daerah asal - Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan
diatas . - Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram
Cartesius. - Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan
sumbu Y.
x \-1 x 2, x R.
Jawab
a. Ambil sembarang titik pada domain
-1
0
1
2
X
2
-6
-2
Y 4x-2
6
Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6),
(0,-2), (1,2), (2,6)
14FUNGSI LINEAR
Y
c. Titik potong dengan sumbu x ( y 0 ) y
4x 2 0 4x - 2 2 4x x
6
2
Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)
X
1
2
O
Titik potong dengan sumbu Y ( x 0 )
y 4x 2 y 4(0) 2
y -2 Jadi titik potong dengan sumbu Y
adalah (0,-2)
-2
-1
-2
-6
15FUNGSI LINEAR
- 3. Gradien Persamaan Garis Lurus
- Cara menentukan gradien
- (i). Persamaan bentuk y mxc, gradiennya
adalah m. - (ii). Persamaan bentuk axbyc0 atau axby-c
adalah m - (iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik
(x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya adalah m
- Contoh
- Tentukan gradien persamaan garis berikut
- a. y 3x 4
- b. 2x 5y 7
- 2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan
titik (-2,3) dan (1,6)
16FUNGSI LINEAR
- Jawab
- 1a. Y 3x 4
- gradien m 3
- b. 2x - 5y 7, a 2 dan b - 5
- m -
2. m
1
17FUNGSI LINEAR
- 4. Menentukan Persamaan Garis Lurus
- Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan
gradien m adalah y y1 m ( x x1 ) - Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan
(x2,y2) adalah -
-
Contoh 1 Tentukan persamaan garis yang melalui
titik ( -2, 1 ) dan gradien -2
Jawab y y1 m ( x x1 ) y 1
-2 ( x (-2)) y - 1 -2x 4 y
-2x - 3
18FUNGSI LINEAR
- Contoh 2
- Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2,
3) dan Q(1,4)
Jawab
3(y 3) 1(x 2) 3y
9 x 2 3y - x 11 0
19FUNGSI LINEAR
- 5. Kedudukan dua garis lurus
- Dua garis saling berpotongan jika m1 ? m2
- Dua garis saling sejajar jika m1 m2
- Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 -1
atau m1 -
- Contoh
- Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik
(2,-3) dan sejajar dengan garis x 2y 3 0 - Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik
(-3,5) dan tegak lurus pada 6x 3y 10 0
20FUNGSI LINEAR
- Jawab
- 1. Diketahui persamaan garis x 2y 3 0
- maka
- Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien
adalah - y y1 m ( x x1)
- y 3 ½ ( x 2 )
- y 3 ½ x 1
- 2y 6 x 2
- x 2y 8 0
- Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan
garis x 2y 3 0 dan melalui titik (2,-3)
adalah x 2y 8 0
21FUNGSI LINEAR
- 2. Diketahui persamaan garis 6x 3y 10 0.
-
- Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik
(-3,5) dan bergradien -½, maka persamaannya
adalah - y y1 m(x x1)
- y 5 -½ (x 3)
- y 5 -½x -
- 2y 10 -x 3
- x 2y 10 3 0
- x 2y 7 0
- Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik
(-3,5) dan tegak lurus garis 6x 3y 10 0
adalah x 2y 7 0.
22FUNGSI KUADRAT
- 1.Bentuk umum fungsi kuadrat y f(x)
?ax2bxc dengan a,b, c ? R dan a ? 0 Grafik
fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris
2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Berdasarkan nilai a (i) Jika a gt 0 (positif),
maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat
memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan ymin
atau titik balik minimum. (ii) Jika a lt 0
(negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi
kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum,
dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.
23FUNGSI KUADRAT
Berdasarkan Nilai Diskriminan (D) Nilai
diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D b2
4ac
- Hubungan antara D dengan titik potong grafik
dengan sumbu X - Jika D gt 0 maka grafik memotong sumbu X di dua
titik yang berbeda. - Jika D 0 maka grafik menyinggung sumbu X di
sebuah titik. - Jika D lt 0 maka grafik tidak memotong dan tidak
menyinggung sumbu X.
24Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X
FUNGSI KUADRAT
a gt 0 D 0
a gt 0 D lt 0
a gt 0 D gt 0
X
a lt 0 D 0
a lt 0 D gt 0
a lt 0 D lt 0
253. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
FUNGSI KUADRAT
- Langkah-langkah menggambar
grafik fungsi kuadrat - (i) Menentukan titik potong dengan sumbu
X (y 0) - (ii) Menentukan titik potong dengan sumbu
Y (x 0) - (iii) Menentukan sumbu simentri dan
koordinat titik balik - Persamaan sumbu simetri adalah x
- Koordinat titik puncak / titik balik adalah
- (iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya
(jika di perlukan) -
26FUNGSI KUADRAT
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y x2 4x
5.
Jawab
(i) Titik potong dengan sumbu X (y 0)
x2 4x 5 0 (x
1)(x 5) 0 x -1 atau x
5 Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah
titik (-1, 0) dan (5, 0).
- Titik potong dengan sumbu Y (x 0)
- y 02 4(0) 5
- y -5
- Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik (
0, -5 ) -
27FUNGSI KUADRAT
- (iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik
-
Jadi, sumbu simetrinya x 2 dan koordinat titik
baliknya (2, -9).
(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal
untuk x 1, maka y -8. Jadi, titik
bantunya (1, -8).
28FUNGSI KUADRAT
Y
X
-1 0 1 2 3
4 5
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
29FUNGSI KUADRAT
- Persamaan fungsi kuadrat f(x) ax2 bx c
apabila diketahui grafik fungsi melalui tiga titik
Contoh
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik
(1,-4), (0,-3) dan (4,5)
Jawab
f(x) ax2 bx c f(1) a(1)2 b(1) c -4
a b c -4 . . . 1) f(0) a(0)2
b(0) c -3 0 0 c -3
c -3 . . . 2) f(4) a(4)2 b(4)
c 5 16a 4b c 5 . . . 3)
30FUNGSI KUADRAT
- Substitusi 2) ke 1)
- a b 3 -4
- a b -1 . . . 4)
- Substitusi 2) ke 3)
- 16a 4b 3 5
- 16a 4b 8 . . . 5)
Dari 4) dan 5) diperoleh a b -1 x
4 4a 4b -4 16a 4b 8 x 1 16a
4b 8 _
-12a -12
a 1
Substitusi a 1 ke 4) 1 b -1
b -2 Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) x2
-2x -3
31FUNGSI KUADRAT
- Persamaan fungsi kuadrat f(x) ax2 bx c
apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu
X dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan
rumus berikut . -
Contoh
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong
sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong
sumbu Y di titik (0,3)
32FUNGSI KUADRAT
- Jawab
- Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x)
menjadi - f(x) a(x 1)(x 3) . . . 1)
- Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1)
menjadi - 3 a(0 - 1)(x 3)
- 3 -3a
- a -1
- Persamaan fungsi kuadratnya menjadi
- Jadi fungsi kuadratnya adalah
-
-
33FUNGSI KUADRAT
- Persamaan fungsi kuadrat f(x) ax2 bx c
apabila diketahui titik puncak grafik (xp yp)
dan satu titik lainnya dapat ditentukan dengan
rumus berikut.
34FUNGSI KUADRAT
Contoh
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik
puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7)
Jawab
- f(x) a(x xp)2 yp (xp , yp)
(-1, 9) - f(x) a(x 1 )2 9 . . . 1)
-
- Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1)
menjadi - -7 a(3 1)2 9
- -16 16 a
- a 1
-
35FUNGSI EKSPONEN
?2 3
?22
f(x) 2X
?2 1
?20
?21
?22
?23
...
?2n
D domain
K kodomain
36FUNGSI EKSPONEN
- Grafik f x ? f(x) 2x
- untuk x bulat dalam 0, 5
- adalah
x
0
1
2
3
4
5
F(x)2x
16
1
2
4
8
32
37FUNGSI EKSPONEN
Grafik f(x) dan g(x)
x
38FUNGSI EKSPONEN
Kedua grafik melalui titik (0, 1)
Sifat
Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y
Grafik f x ? 2x merupakan grafik naik/mendaki
dan grafik g x ?
x
merupakan grafik yang menurun, dan keduanya
berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa
positif)
Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai nilai
2x dan nilai
untuk berbagai nilai x real
Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil
perpangkatannya diketahui. Atau menentukan nilai
logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma
2.
39FUNGSI LOGARITMA
- Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen.
- Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan
dari fungsi eksponen.
Secara umum fungsi logaritma didefinisikan
sebagai berikut
Untuk a gt 1, a R
40FUNGSI LOGARITMA
- Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi
logaritma adalah sebagai berikut
41FUNGSI LOGARITMA
- Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk
logaritma yang ekivalen - 8 23
- ¼ 2-2
- Jawab
- 8 23 2 log 8 3
- ¼ 2-2 2 log ¼ -2
- Contoh 2
- Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk
perpangkatan yang ekuivalen - 4 2 log 16
- -6 2 log
- Jawab
- 4 2log 16 24 16
- -6 2log 2-6
42FUNGSI LOGARITMA
Gambarkan grafik fungsi f(x) 2 log x2
Jawab Sebelum menggambar grafik kita dapat
menggunakan bantuan tabel berikut.
x
f(x) 2 log x2
¼
0
½
1
1
2
2
3
4
4
5
8
43FUNGSI LOGARITMA
Y
6
5
4
3
2
1
X
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
44FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y sin x
1
amplitudo
0
900
1800
2700
3600
-1
1 periode
45FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y 2 sin x
Periode 3600
2
Amlpitudo 2
1
0
900
1800
2700
3600
-1
Ysin x
-2
46FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y sin 2x
pereode
amplitudo
450
1350
2250
3150
Ysin x
47FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y cos x
1
amplitudo
-900
-900
00
900
1800
2700
-1
1 periode
48FUNGSI TRIGONOMETRI
Grafik y 2cos x
periode
2
amplitudo
Ycos x
-2