Eulero Princeps Mathematicorum

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Eulero Princeps Mathematicorum
Ritratto a pastello di J. E. Handmann, 1753
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Leonhard Euler nasce a Basilea il 15 aprile 1707

• Da ragazzo studiò filosofia e si iscrisse alla
  facoltà di teologia, ma labbandonò per dedicarsi
  
• completamente alla matematica.
• Allievo di Johann Bernoulli,
• alletà di 20 anni
• lasciò Basilea per andare a lavorare a San
  Pietroburgo, dove ottenne le cattedre di medicina
  e fisica e poi quella di matematica

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Gli studi

• Calcolo delle variazioni (a 18 anni)
• A 19 anni completò il dottorato sulla
  propagazione del suono e concorse alla cattedra
  di fisica, ma gli fu negata forse a causa della
  sua giovane età.
• Vinse per dodici volte il grand prix
  dellAccademia delle Scienze di Parigi.
• Teoria dei grafi
• Topologia
• La formula per i poliedri
• Equazioni differenziali
• Teoria dei numeri
• Calcolo combinatorio
• Analisi
• Meccanica

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Il calcolo delle variazioni

• A 18 anni Eulero scrisse Constructio linearum
  isochronarum in medio quocumque resistente.
• Nello stesso periodo cominciò a studiare problemi
  
• relativi al campo della matematica che in seguito
  sarà
• chiamato calcolo delle variazioni, che si
• occupa della ricerca dei massimi e dei minimi di
  funzioni
• definite su un insieme di funzioni e che ha avuto
  innumerevoli applicazioni, oltre che in fisica,
  anche in economia

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• I ponti di K?nigsberg
• K?nigsberg, già facente parte della Prussia
  Orientale, è una città che attualmente si chiama
  Kaliningrad e che si trova in Russia. Oltre ad
  aver dato i natali a Immanuel Kant, il 22 aprile
  del 1724, è famosa per il problema dei sette
  ponti.

La città è attraversata dal fiume Pregel e dai
suoi affluenti, che la dividono in quattro zone
che al tempo di Eulero erano collegate tra loro
da sette ponti.
Il problema consisteva nel capire se era
possibile partire da un punto delle quattro zone
e tornare al punto di partenza percorrendo una e
una sola volta tutti i ponti.
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La teoria dei grafi
La storia dei ponti permise a Eulero di gettare
le basi di quella che sarebbe diventata la teoria
dei grafi. Capì che la possibilità di trovare un
percorso-soluzione non dipendeva dalla capacità
umana di trovarlo o dalla distanza tra i punti o
dagli angoli tra le linee, ma dalle
caratteristiche geometriche del percorso stesso.
Schematizzò la situazione con una
rappresentazione che utilizzava solo punti, o
nodi, e linee. Un nodo può essere pari o dispari
a seconda che sia pari o dispari il numero delle
linee che vi convergono.
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Eulero notò che un qualsiasi grafo è
percorribile passando sulle linee una sola volta
se e soltanto se ha tutti i nodi di ordine pari o
se solo due di essi sono dispari per percorrere
un grafo di questo tipo è necessario partire da
uno di questi nodi dispari e terminare il
percorso nellaltro nodo dispari. Il problema dei
ponti, di cui qui sotto sono rappresentate
schematizzazioni equivalenti, ha 4 connessioni
dispari,quindi non ha soluzione.
Questo grafo ha 4 nodi dispari e uno pari,
quindi non è percorribile passando sulle linee
una sola volta
Questo grafo ha 3 nodi pari e due dispari, quindi
è percorribile passando sulle linee una sola volta
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Topologia

• Eulero notò che i grafi hanno unaltra
  caratteristica, oltre ai nodi e alle linee, che
  resta inalterata per deformazioni e torsioni il
  numero delle facce di un grafo, compresa quella
  che circonda il grafo, più il numero dei vertici
  meno il numero delle linee è sempre 2, sia che
  il grafo sia rappresentato su un foglio che su
  una superficie ottenuta piegando in qualsiasi
  modo il foglio.

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• La topologia è la parte della matematica che
  studia le caratteristiche delle figure che
  restano invariate durante questo tipo di
  trasformazioni. Due figure sono topologicamente
  equivalenti se si possono deformare in modo
  continuo, cioè senza tagli, luna nellaltra. Una
  faccia è equivalente a un cerchio. Un
  ragionamento analogo si applica a superfici in
  tre dimensioni, riconducendo la superficie a un
  grafo e calcolandone la caratteristica di Eulero,
  cioè il numero delle facce più il numero dei
  vertici meno il numero delle linee. In questo
  caso il risultato non è sempre due, la superficie
  sferica non è ad esempio equivalente a quella di
  una ciambella, detta anche toro.

La caratteristica di Eulero è un invariante
topologico
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La formula di Eulero per i poliedri

• VF-S2

Eulero osservò che questa formula vale per tutti
i poliedri semplicemente connessi, cioè senza
buchi.
In un cubo, ad esempio, si hanno 6 facce, 8
vertici e 12 spigoli. In una piramide a base
quadrata, che non è un poliedro regolare, ci sono
5 facce, 5 vertici e 8 spigoli.
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Il problema di Basilea

• Fu proposto per la prima volta da Pietro
  Mengoli nel 1644 e fu risolto da Eulero nel 1735,
  suscitando stupore e ammirazione.
• Il problema consisteva nel determinare la somma
  dellinverso di tutti i quadrati dei numeri
  naturali, cioè la somma della serie infinita

Eulero scoprì che la serie aveva come somma
pi-greco alla seconda diviso 6
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Lettere a una principessa
Nel 1741 Eulero venne chiamato dal re di Prussia
Federico il Grande allAccademia delle Scienze di
Berlino. Qui rimase fino al 1766, poi tornò a San
Pietroburgo. A Berlino dette lezioni alla figlia
del Margravio. Durante la guerra dei Sette Anni
la famiglia della ragazza si trasferì a
Magdeburgo e Eulero continuò listruzione della
principessa in fisica, matematica, filosofia e
francese scrivendole 234 lettere, tra il 1760 e
il 1762. Pur non essendo unopera scientifica
ebbe molto successo, grazie alla chiarezza con la
quale Eulero vi presentò i principali temi
scientifici dellepoca.
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I diagrammi di Eulero
In una delle lettere, per spiegare alla allieva i
sillogismi aristotelici, Eulero utilizzò la
rappresentazione grafica oggi conosciuta come
DIAGRAMMA DI EULERO-VENN.
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Lidentità di Eulero
In un sondaggio condotto nel 2004 dalla rivista
Physics World, questa equazione è risultata ai
primi posti nella classifica delle equazioni più
belle di tutti i tempi. Nella sua semplicità
contiene i cinque numeri più importanti della
matematica. Si ottiene dalla formula generale
ponendo xp
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• Eulero ebbe 13 figli di cui solo 5 sopravvissero
• Fu cieco per 17 anni
• Scrisse le sue famose dissertazioni con la
  facilità con cui uno scrittore dallagile penna
  scrive una lettera per un amico. La cecità totale
  che lo afflisse durante gli ultimi diciassette
  anni di vita non rallentò il ritmo della sua
  attività al contrario, la perdita della vista
  affinò le sue percezioni nel mondo interno della
  sua immaginazione.
• 
  Eric Bell

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18 settembre 1783 Il cessa de calculer et de
vivre (Jean Antoine-Nicolas de Caritat, marchese
di Condorcet)
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Bibliografia Eulero Lettere a una
principessa tedesca Bollati BoringhieriC. B.
Boyer Storia della matematica - Mondadori
www.fondazionetonolini.orgwww.wikipedia.orgh
ttp//www.math.dartmouth.edu/euler/
http//www.euler-2007.ch/en/index.htmwww.dm.un
ibo.it/rsddm/it/articoli/damore/61820Trecento20a
nni20Eulero.pdf www.syllogismos.it/history/Bell
ezza.pdf www.syllogismos.it/2007-Lugano-Euler-PD
F.pdf www.syllogismos.it/history/Euler.pdf
http//www.matematicamente.ithttp//www-gap.dc
s.st-and.ac.uk/history/Miscellaneous/Euler_elogiu
m.htmlhttp//www.pdmi.ras.ru/EIMI/2007/Euler300/
www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interven
ti/DOCUMENT/.../Bottazzini20-20L'Analisi20nell'
etE020della20ragio... www2.polito.it/didattic
a/polymath/htmlS/Interventi/DOCUMENT/.../Caparrini
20-20La20vita20di20Leonhard20Euler.p...
www.df.unipi.it/fabri/sagredo/lezioni/viareggio-
2008.pdf