Diapositiva 1

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STABILITÀ DELLEQUILIBRIO ELASTICO Per
giudicare la sicurezza di una struttura, la sola
verifica di resistenza può non essere
sufficiente. Un semplice esempio chiarirà questa
affermazione. Si consideri unasta dacciaio ad
asse rettilineo, lunga 5 m e con sezione
circolare di diametro pari a 10 cm. Si supponga
di incastrarla nel suo estremo superiore e di
appendere allestremo libero un peso di 1000 kN
in modo che il suo baricentro sia allineato con
lasse della trave. Escludendo le zone di
estremità, lo sforzo nellasta è costante e pari
a s N/A 1000000/(p502) 125 N/mm2. Si
tratta di una sollecitazione largamente inferiore
allo sforzo di snervamento dellacciaio (s0 _at_ 420
N/mm2), per cui la verifica di resistenza è
soddisfatta.
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Si supponga ora di ribaltare la struttura con
unasta soggetta ad una forza di compressione.
Essendo il comportamento dellacciaio simmetrico
a trazione e compressione, basandosi
esclusivamente su considerazioni legate alla
resistenza del materiale si dovrebbe concludere
che, anche compressa, lasta è sicura. E
peraltro sufficiente lintuizione a far
comprendere che basta che lasse dellasta non
sia perfettamente rettilineo, che il peso non sia
perfettamente centrato o che intervenga una
piccola azione orizzontale a causare
uninflessione dellasta per innescare uno
sbandamento laterale che rischia di provocare
deformazioni irreversibili, o comunque di far
allontanare di molto lasta dalla configurazione
verticale di partenza. Da un punto di vista
teorico, se lasta è perfettamente rettilinea e
il carico è perfettamente centrato, la
configurazione verticale, caratterizzata
solamente da un accorciamento della linea dasse,
è effettivamente una configurazione di
equilibrio, indipendentemente dal valore del
carico. Il problema è che, se il carico è
elevato, si tratta di una configurazione di
equilibrio instabile basta cioè una piccola
perturbazione a fare allontanare sensibilmente
lasta dalla configurazione iniziale rettilinea.
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Questo discorso fa comprendere che, per giudicare
la sicurezza di una struttura soggetta a carichi
di compressione, ci si debba preoccupare di
studiare la natura delle configurazioni di
equilibrio. Per illustrare il concetto, si
consideri una sferetta obbligata a spostarsi
lungo una curva del piano.
componente destabilizzante di P
componente stabilizzante di P
P
A
B
P
equilibrio indifferente
P
P
C
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La sferetta può trovarsi in equilibrio in una
delle tre posizioni A, B e C. A è una posizione
di equilibrio stabile, nel senso che se la
sferetta viene allontanata da A, il suo peso P
acquista una componente stabilizzante che tende
a riportarla nella posizione di partenza. B è
invece una posizione di equilibrio instabile,
perché se la sferetta leggermente viene
allontanata da B il suo peso acquista una
componente destabilizzante che la allontana
definitivamente da tale posizione. Infine, C è
una posizione di equilibrio indifferente se la
sferetta viene allontanata di poco da tale
posizione, non tende né a tornarvi né a
discostarsene ulteriormente. Per lingegnere sono
pericolose non solo le situazioni in cui
lequilibrio di una certa struttura è instabile,
ma anche quelle di equilibrio indifferente.
Questo perché nella maggioranza dei casi le
strutture devono essere progettate per
riacquistare la configurazione iniziale una volta
cessato leffetto di una causa perturbatrice.
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Stabilità dellequilibrio di sistemi discreti Si
consideri una struttura estremamente semplice,
costituita da ununica asta compressa,
indeformabile, vincolata al terreno ad un
estremo. Tutta la deformabilità della struttura è
concentrata in ununica sezione ed è
schematizzata mediante una molla. La
configurazione verticale dellasta è di
equilibrio per qualunque valore del carico P.
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Imprimiamo allasta un piccolo cambiamento di
configurazione, caratterizzato da un angolo di
rotazione infinitesimo dq.
Rispetto alla cerniera a terra nascono un
momento (destabilizzante) prodotto dal carico
esterno, pari a PLsin(dq) _at_ PLdq un momento
(stabilizzante) dovuto allazione di richiamo
della molla, pari a kdq.
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Ci si può chiedere quali configurazioni di
equilibrio deformate siano possibili per la
struttura ora considerata oltre a quella banale.
Per determinare tali configurazioni, bisogna
mettere esplicitamente in conto la possibilità
che esse possano essere molto discoste dalla
configurazione verticale, ovvero bisogna imporre
lequilibrio della struttura abbandonando
integralmente lipotesi di piccoli spostamenti.
Sia dq langolo formato dallasta ruotata con la
verticale. Senza nessuna ipotesi restrittiva
sullentità della rotazione dq, lequilibrio alla
rotazione attorno alla cerniera al piede si
scrive
PLsin (dq) kdq .
Se langolo è piccolo sin (dq) dq , quindi
P k/L.
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• A seconda del valore del rapporto (k/L) sono tre
  le possibili situazioni
• se k/L gt P, la molla tende a riportare lasta
  nella configurazione verticale
• (b) se k/L lt P, la molla non è in grado di
  riportare lasta nella configurazione verticale
• (c) al limite, se k/LP, esistono in sostanza
  infinite configurazioni di equilibrio
• deformate, infinitamente prossime a quella
  verticale (banale).

Il carico per cui lasta può stare in equilibrio
indifferentemente nella configurazione banale e
in qualunque configurazione ruotata,
infinitamente prossima a quella banale viene
definito carico critico (Pcr).
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Stabilità dellequilibrio di sistemi
continui Lasta di Eulero Si consideri ora
unasta compressa, di lunghezza L e di rigidezza
flessionale EI finita, vincolata al terreno
mediante una cerniera e un carrello. Tale asta è
nota come asta di Eulero. Con I sintenderà il
più piccolo fra i momenti principali dinerzia
della generica sezione dellasta (Imin). Si
vuole determinare qual è il massimo valore del
carico P al di sotto del quale la configurazione
rettilinea (banale) dellasta è di equilibrio
stabile.
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Seguendo lapproccio statico visto per sistemi
discreti, si può determinare il carico critico
dellasta come il più piccolo valore del carico P
per il quale lasta può trovare lequilibrio in
una configurazione deformata infinitamente
prossima a quella rettilinea. Sia v(z)
lequazione che descrive la linea dasse
deformata in tale configurazione. Il momento
agente nella generica sezione della trave
deformata si trova imponendo lequilibrio alla
rotazione di un generico tratto di lunghezza
iniziale
M
P
M(z) Pv(z) .
P
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È noto che il legame momenti curvature per lasta
deformata si scrive
M(z) - EIv(z)
Eguagliando le due espressioni di M(z) ottenute
si ha -EIv(z) Pv(z). Posto a2 P/EI
(gt0 se P è di compressione), la precedente
equazione differenziale si scrive v(z)
a2v(z) 0. Si tratta dellequazione dei moti
armonici, il cui integrale generale è v(z)
A sin(az) B cos(az). Le costanti
dintegrazione A e B si trovano imponendo le
condizioni al contorno.
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v(0) 0 quindi B 0 v(L) 0 quindi A sin(aL)
0. A meno che il coefficiente a non assuma
valori particolari, la seconda condizione è
verificata solo se A0. Si ritrova così che, per
qualunque valore del carico P, la configurazione
rettilinea v(z) identicamente nullo è comunque di
equilibrio. Se però a è tale per cui risulta
sin(aL) 0, la seconda condizione al contorno è
soddisfatta, qualunque sia il valore di A, e
risultano possibili configurazioni di equilibrio
deformate di tipo sinusoidale. Ciò avviene
quando aL np (con n1,2...) , ovvero,
ricordando che a2 (P/EI), quando P
n2p2EI/L2, n1,2... Il più piccolo fra questi
infiniti valori rappresenta il carico critico
della trave, ovvero il minimo valore del carico
per il quale nascono configurazioni di equilibrio
diverse da quella banale
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per P lt Pcr, lunica configurazione di equilibrio
possibile è quella rettilinea, che è anche
stabile. Per P lt Pcr la configurazione banale
diviene instabile per determinare le
configurazioni non banali, sarebbe necessario
abbandonare integralmente lipotesi di piccoli
spostamenti. Per P Pcr, lequilibrio è
possibile, oltre che nella configurazione banale,
in configurazioni deformate caratterizzate dalleq
uazione v(z) A sin(pz/L) vcr(z) con A
indeterminato. Si dice anche che la deformata
secondo cui può atteggiarsi la trave sotto PPcr
è nota in forma, ma non in ampiezza. vcr(z) è
anche detta equazione della deformata critica.
Il valore di Pcr ottenuto è noto anche come
carico critico euleriano.
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(No Transcript)
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Aste compresse con altre condizioni di vincolo Il
risultato ottenuto con riferimento allasta
cerniera-carrello è estensibile anche ad aste
compresse con altre condizioni di vincolo.
Sapendo che la deformata critica di unasta
deformabile caricata di punta è comunque di tipo
sinusoidale, si può porre il carico critico nella
forma generale
L0 è detta lunghezza di libera inflessione e
rappresenta la distanza fra due flessi
consecutivi nella deformata critica. L0 coincide
dunque con la lunghezza di semionda della
sinusoide che dà la deformata critica. Tale
lunghezza è in generale diversa dalla lunghezza
effettiva dellasta (L) ed è legata alle
condizioni di vincolo dellasta. Tanto minore è
L0, tanto più sicura risulta lasta nei confronti
dellinstabilità.
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In diversi casi, L0 può essere determinata in
base a semplici considerazioni geometriche. Ad
esempio, per la mensola compressa la deformata
critica ha lunghezza di semionda pari a 2L il
carico critico della mensola è quindi
ed è quindi 4 volte più piccolo di quello di
unasta di Eulero di pari lunghezza.
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Aste compresse con altre condizioni di vincolo
sono illustrate in Figura per ciascuna sono
indicati la rispettiva lunghezza di libera
inflessione e il rispettivo carico critico. In
alcuni casi, non è possibile determinare la
lunghezza di libera inflessione sulla base di
semplici considerazioni geometriche. E il caso
dellasta incastro-appoggio, la cui deformata
critica non possiede particolari simmetrie che
aiutino nella determinazione di L0. Il problema
va risolto esplicitamente, seguendo una procedura
sostanzialmente analoga a quella vista per lasta
di Eulero.
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Limiti di validità della formula di Eulero Il
carico critico di unasta compressa può in
definitiva essere espresso nella forma Questa
espressione è stata ottenuta nellipotesi che il
comportamento del materiale si mantenga elastico
lineare fino al raggiungimento del carico
critico. Bisogna peraltro controllare che gli
sforzi corrispondenti a Pcr nella configurazione
di equilibrio rettilinea non superino il limite
di proporzionalità (sp) del materiale di cui è
costituita lasta. Se così non fosse, al crescere
del carico lasta uscirebbe dal campo lineare già
prima di raggiungere Pcr e la sua crisi sarebbe
dovuta a plasticizzazioni o rotture. Nel caso
dellacciaio, il limite di proporzionalità
coincide praticamente con lo sforzo di
snervamento s0 per altri materiali, i due valori
possono essere abbastanza discosti.
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Lo sforzo nellasta rettilinea in corrispondenza
di Pcr è dato da
Introducendo il minimo dei raggi dinerzia della
sezione r dal rapporto
ed un parametro adimensionale fra la lunghezza
(di libera inflessione) della trave ed il raggio
minimo dinerzia che prende il nome di snellezza
della trave (?), si scrive allora
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Questo evidenzia che il carattere snella o tozza
di struttura dipende da due fattori la forma
geometrica, attraverso il parametro ?2, e le
caratteristiche del materiale di cui è composta
la struttura, attraverso il modulo E e la
tensione limite. Si osservi in particolare che, a
parità di materiale, un alto valore di ? tende a
definire la struttura come snella. A parità di
forma (e quindi di fattore ?) i materiali con un
alto valore del rapporto E/sy , (gli acciai)
tendono a configurare la struttura come tozza,
mentre materiali con un basso valore di tale
rapporto (le gomme) tendono a configurare la
struttura come snella.
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scollasso
collasso
Aste snelle
Aste tozze
collasso cr
snellezza
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ALTRE SITUAZIONI DI INSTABILITÀ DELLEQUILIBRIO
ELASTICO
Instabilità flesso torsionale (svergolamento)
F
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Il carico applicato può avere un effetto
instabilizzante (a) oppure stabilizzante (b)
F
F
F
F
(b)
(a)
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I fenomeni di instabilità possono interessare
lintero elemento (instabilità globale), ovvero
riguardare soltanto un tratto longitudinale di
modesta lunghezza (instabilità locale).
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Carico assiale
Deformazioni trasversali
Carico assiale
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Un tipico fenomeno di instabilità è il cosiddetto
fluttering (ondeggiamento di ampiezza via via
crescente sotto lazione del vento o di correnti
atmosferiche ) degli impalcati da ponte, delle
ali degli aerei, ecc.