DETERMINAN

1
DETERMINAN

• Ronny Susetyoko

2
Definisi

• Asumsikan A adalah suatu matriks bujur sangkar,
  fungsi determinan, det(A) adalah jumlah semua
  hasil kali dasar bertanda dari A.
• atau
• Determinan ordo n ialah suatu skalar yang terkait
  dengan sebuah matriks bujur sangkar A yang
  berordo n.
• Notasi
• det(A) atau A atau aij

3
Contoh
4
Minor Kofaktor Determinan

• Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka
  Minor elemen aij (Mij) didefinisikan sebagai
  determinan sub-matriks yang masih tersisa
  setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan
• Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai kij
  (-1)ij Mij

5
Menghitung Minor dan Kofaktor
6
Beda Kofaktor Minor

• Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya berbeda
  tanda. Jika pangkatnya genap maka kijmij,
  sebaliknya jika pangkatnya ganjil maka kij
  -mij. Lebih mudahnya apakah kofaktor bertanda
  atau adalah menggunakan papan periksa sebagai
  berikut

7
Nilai Determinan

• a). Aturan Sarrus (n lt 3)

8
Nilai Determinan

• b). Ekspansi Laplace (n gt 3)
• Nilai determinan adalah jumlah perkalian
  elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom
  dengan kofaktor-kofaktornya.

9
Contoh

• Dari soal sebelumnya,
• Ekspansi Laplace baris ke 1
• Coba gunakan ekspansi Laplace pada baris-baris
  atau kolom-kolom yang lain, kemudian bandingkan
  hasilnya!
• Tips Pilih baris atau kolom yang banyak
  mengandung elemen nol.

10
Sifat-Sifat Determinan

• 1. det(A) 0 jika dalam suatu baris/kolom semua
  elemennya nol
• 2. det(A) det(AT)

11
Sifat-Sifat Determinan

• 3). Nilai determinan menjadi k kali bila dalam
  satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu
  skalar).
• Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5
  menjadi

12
Sifat-Sifat Determinan

• 4. det(A) 0 jika 2 baris/kolom sebanding.
• 5. Nilai determinan berubah tanda jika dua
  baris/kolom ditukar tempatnya

13
Sifat-Sifat Determinan

• 6). Nilai determinan tidak berubah jika
  baris/kolom ke i ditambah k kali baris/kolom ke
  j.
• Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali
  baris 2
• 7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku
  maka determinan tersebut dapat ditulis sebagai
  jumlah determinan.

14
Teorema

• Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga
  atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A)
  adalah hasil kali elemen-elemen diagonal
  utamanya, yaitu det(A) a11a22...ann .
• Catatan
• Untuk mempermudah perhitungan nilai determinan,
  dapat menggunakan sifat-sifat tersebut.

15
Contoh
16
Sifat-Sifat Lain

• Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan
  ukuran yang sama, maka det(AB) det(A) det(B).
• Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya jika
  det(A) 0.
• Jika A dapat diinverskan, maka

17
Manfaat

• penyelesaian sistem persamaan linier
• menghitung matriks invers
• menentukan karakteristik suatu sistem linier

18
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
19
Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax lx

• Banyak aplikasi aljabar linier yang membahas
  masalah sistem n persamaan linier dalam n peubah
  yang dinyatakan dalam bentuk
• Ax lx
• A matriks bujur sangkar, x vektor, dan l suatu
  skalar
• Sistem ini merupakan sistem linier homogen
  tersamar, karena dapat ditulis ulang sebagai
• Ax lx ? Ax lx 0 atau dengan menyelipkan
  matriks identitas dan memfaktor-kannya
• (A - lI )x 0 )

20
Contoh
21
Yang Menarik?

• Masalah utama yang menarik dalam sistem linier )
  adalah menentukan nilai-nilai l di mana sistem
  tersebut mempunyai suatu penyelesaian
  tak-trivial. Nilai l disebut suatu nilai
  karakteristik atau nilai eigen dari A. Maka
  penyelesaian tak trivial dari ) disebut vektor
  eigen dari A yang berpadanan dengan l.
• Sistem (A - lI )x 0 mempunyai penyelesaian tak
  trivial jika dan hanya jika
• ? disebut persamaan karakteristik
• Catatan eigen value, campuran bahasa Jerman
  Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar
  laten atau akar ciri.

22
Soal Latihan
23
Soal Latihan
24
Soal Latihan
25
MATRIKS
26
Definisi

• Himpunan skalar dari bilangan real/ kompleks yang
  disusun dalam empat persegi panjang menurut
  baris/kolom.

27
Operasi Matriks

• Penjumlahan (syarat ordo sama)
• Perkalian skalar dengan matriks
• Perkalian matriks
• (syarat jumlah kolom matriks-1 jumlah baris
  matriks-2)

28
Hukum-Hukum

• 1. A(B C) AB AC ? H. Distributif I
• 2. (A B)C AC AB ? H. Distributif II
• 3. A(BC) (AB)C ? H. Asosiatif
• 4. AB BA ? general
• 5. AB 0 ? tidak harus A 0 atau
• B 0 atau A B nol.
• 6. Jika AB AC ? belum tentu AB AC atau B C

29
Jenis-Jenis Matriks

• 1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris jumlah
  kolom)
• 2. Matriks Diagonal

30
Jenis-Jenis Matriks
31
Jenis-Jenis Matriks
32
Jenis-Jenis Matriks
33
Jenis-Jenis Matriks
34
Jenis-Jenis Matriks
35
Jenis-Jenis Matriks Yang Lain

• Matriks Bidiagonal Atas
• Matriks Bidiagonal Bawah
• Matriks Tridiagonal
• Matriks Hermitian
• Matriks Singular
• dll.

36
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

• Metode grafis ( maksimum 3 variabel)
• Eliminasi
• Subtitusi
• Determinan
• Eliminasi Gauss
• Gauss-Jordan
• Gauss-Seidel
• Dll.

37
Operasi Dasar

• Operasi Dasar Persamaan
• Pertukaran tempat dua persamaan
• Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol
• Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke
  persamaan lain
• Operasi Dasar Baris
• Pertukaran tempat dua baris
• Perkalian baris dengan konstanta bukan nol
• Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang
  lain.
• Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)

38
Rank (Pangkat) Matriks

• Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam
  suatu matriks
• Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang bebas
  linier dalam suatu matriks
• Jika matriks bujur sangkar ordo minor terbesar
  suatu matriks yang determinannya tidak nol.

39
Kebebasan dan ketidakbebasan linier

• Bebas linier jika p baris mempunyai rank p. Tidak
  bebas linier jika rank lt p.

40
Solusi Sistem Persamaan Linier

• Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan matriks
  augmented A mempunyai rank yang sama.
• Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan jumlah
  variabel ( r n).
• Jika r lt n maka sistem mempunyai solusi tak
  berhingga.
• Jika solusi ada maka dapat diselesaikan dengan
  Eliminasi Gauss.

41
Penerapan

• Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.
  Elektronika)
• Transformasi Linier
• Curve Fititing (Interpolasi Regresi Linier)
• Markov Chains
• Programa Linier
• Assignment (Penugasan)
• Database
• Analisis Komponen Utama (termasuk Trans.Linier)
• Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata kuliah
  Aljabar Matriks.

42
Eliminasi Gauss

• Eliminasi Gauss merupakan pengembangan dari dari
  cara eliminasi, yaitu menghilangkan atau
  mengurangi jumlah variabel sehingga dapat
  diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara
  eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk
  menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih
  dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented
  matrik .

43
Augmented Matrix
44
(No Transcript)
45
(No Transcript)
46
(No Transcript)
47
VEKTOR
48
(No Transcript)
49
(No Transcript)
50
(No Transcript)
51
(No Transcript)
52
(No Transcript)
53
(No Transcript)
54
(No Transcript)
55
BILANGAN KOMPLEKS
56
(No Transcript)
57
(No Transcript)
58
(No Transcript)
59
(No Transcript)
60
(No Transcript)
61
(No Transcript)
62
(No Transcript)
63
(No Transcript)
64
(No Transcript)
65
(No Transcript)
66
(No Transcript)
67
FUNGSI
68
Definisi Fungsi

• Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di
  mana setiap anggota dari X menentukan dengan
  tunggal satu anggota dari Y.
• Secara matematis

69
Pengertian

• X dibawa ke f(x), maka y f(x) didalam Y
  dinamakan peta (image) dari x atau dinamakan
  harga fungsi f di x.
• Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya
  adalah y elemen Y dinamakan peta invers (invers
  image) dari y, simbol f-1(y).

70
Catatan

• Fungsi tidak lain adalah pemetaan (mapping).
• Peta invers mungkin bisa lebih dari satu elemen.

71

• Hasil Ganda Kartesis
• Himpunan semua pasangan-pasangan berurutan atau
  ordered pairs (x,y) dengan x elemen X dan y
  elemen Y.
• Contoh
• X x1,x2 dan Y y1, y2,y3
• X x Y (x1,y1), (x1,y2), x1,y3)
• (x2,y1), (x2,y2), (x2,y3)
• (x3,y1), (x3,y2), (x3,y3)

72
Komposisi Fungsi
73
Grafik Fungsi

• Grafik fungsi suatu f dari X ke Y ialah himpunan
  pasangan-pasangan berurutan (x, f(x)) dengan x
  berjalan pada X (x elemen X) dan f(x) berjalan
  pada Y (f(x) elemen Y)

74
Variabel Bebas dan Tak Bebas

• Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y) disebut
  variabel bebas (independent variable) atau
  argumen dari f, sedangkan y dinamakan variabel
  tak bebas (dependent variable).
• Dalam pemakaian, domain dari variabel disajikan
  dengan interval ( himpunan bagian dari himpunan
  real).
• Interval buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.

75
Ilustrasi Interval
76
Contoh
77
Contoh
78
Soal-soal
79
LIMIT KEKONTINUAN
80
Pemanasan
Jika
Tentukan
81
Definisi

• f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk
• x ? x0, bila setiap bilangan positif h yang
  diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif d
  sedemikian hingga untuk semua harga x yang
  memenuhi 0 lt x x0 lt d berlaku
• f(x) L lt h.
• Pernyataan 0 lt x x0 lt d berarti untuk semua x
  yang memenuhi x0 d lt x lt x0 d.

82
Ilustrasi
83
(No Transcript)
84
Contoh
85
Kontinuitas
86
Kontinuitas

• Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x x0 jika
  limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama.
• Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x x0, bila
  untuk setiap h gt 0 dapat dicari bilangan positif
  d sedemikian hingga f(x) f(x0) lt h untuk x
  x0 lt d atau x0 d lt x lt x0 d.

87
Soal-soal
88
DIFERENSIAL(Turunan)
89
Turunan Fungsi Aljabar
90
Secara Geometri
91
(No Transcript)
92
Turunan Baku
93
(No Transcript)
94
Fungsi dari Suatu Fungsi
95
(No Transcript)
96
Perkalian Pembagian
97
Contoh
98
Soal-soal
99

• Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua?
• Contoh
• y uvw
• y uv/w
• y u/vw
• y tu/vw
• Dll.
• di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x.
• Solusi memakai turunan logaritmik (natural)

100
Contoh
101
Soal-soal Terapan
102
Fungsi Implisit

• Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y
  disebut fungsi eksplisit dari x.
• Contoh
• y x4 3x2 1
• Y 3x2 cos x
• Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah sendiri,
  maka y disebut fungsi implisit dari x.
• Contoh
• y xy sin y 2
• x2 2xy 3y2 4

103
Contoh
104
Soal-soal Campuran
105
Titik Balik (maks/Min)

• Macam-macam
• Titik maksimum
• Titik minimum
• Titik belok
• Titik balik turunan pertama nol
• Turunan kedua
• Negatif ? titik maksimum
• Positif ? titik minimum
• Nol ? titik belok

106
Ilustrasi
107
Soal-soal
108
Soal cerita
109
Turunan Parsial

• Misal z f(x,y) x2-4xyy3
• Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel z
• Variabel z bergantung pada variabel x dan y
• Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y
• Bagaimana perubahan z terhadap x jika y konstan?
• Bagaimana perubahan z terhadap y jika x konstan?
• Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x

110
Soal-soal

• Tentukan
• Tentukan nilai a dan b berdasarkan informasi data
  sampel berpasangan (x,y).

111
INTEGRAL
112
Apa beda sigma integral?
113
Integral Baku
114
Contoh
115
Fungsi Suatu Fungsi Linier
116
Integral dalam bentuk f(x)/f(x) dan f(x)f(x)
117
Soal-soal
118
Integral Parsial
119
Contoh
120
Soal-soal
121
Integral Dengan Pecahan Parsial
122
Contoh
123
Contoh
124
Soal-soal
125
Integral Lipat Dua
126
Contoh Integral Tertentu