Seminar

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Seminar über Algorithmen

• Sokoban ist PSPACE-vollständig

2
Inhalt

• Einführung in Sokoban
• Vorstellen des Sokoban-Problems
• Das Sokoban-Problem ist PSPACE-vollständig, via
• Sokoban-Problem liegt in PSPACE
• Sokoban-Problem ist PSPACE-schwer

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Sokoban

• Das Spielfeld besteht aus
• Pusher

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Sokoban

• Das Spielfeld besteht aus
• Pusher
• Kisten

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Sokoban

• Das Spielfeld besteht aus
• Pusher
• Kisten
• Kistenzielfeldern

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Sokoban

• Das Spielfeld besteht aus
• Pusher
• Kisten
• Kistenzielfeldern
• Feldern

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Sokoban

• Das Spielfeld besteht aus
• Pusher
• Kisten
• Kistenzielfeldern
• Feldern
• Wänden

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Mögliche Pusher-Bewegungen
9
Mögliche Pusher-Bewegungen

• Nach oben

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Mögliche Pusher-Bewegungen

• Nach oben
• Nach unten

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Mögliche Pusher-Bewegungen

• Nach oben
• Nach unten
• Nach links

12
Mögliche Pusher-Bewegungen

• Nach oben
• Nach unten
• Nach links
• Nach rechts

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Pushen

• Genau eine Kiste kann in Bewegungs-richtung
  verschoben werden

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Pushen

• Genau eine Kiste kann in Bewegungs-richtung
  verschoben werden
• Das neue Feld der Kiste muß frei sein

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Ziel des Spiels

• Jede Kiste muß auf ein Kistenzielfeld gebracht
  werden

16
Ziel des Spiels

• Jede Kiste muß auf ein Kistenzielfeld gebracht
  werden

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Sokoban-Problem

• Ist eine Konfiguration lösbar?
• Ja, da eine Folge von Pusher-Bewegungen
  existiert, die zu einer Lösung führt.
• Nein, da ein Argument für die Unlösbarkeit
  existiert.

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Beispielargument für einen unlösbaren Fall

• Die Kiste kann nicht mehr bewegt werden und
  steht auf keinem Zielfeld

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Beispielargument für einen unlösbaren Fall

• Die Kiste kann bewegt werden, aber nicht mehr
  auf ein Zielfeld

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Beispielargument für einen unlösbaren Fall

• Beide Kiste können nicht mehr bewegt werden. Die
  linke ist auf keinem Zielfeld

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Sokoban liegt in NSPACE(n)

• Nicht-deterministische Turing-Maschine rät Zug um
  Zug
• Es gibt keine Lösung falls nach
  Schritten keine Lösung gefunden ist
• Benötigt linearen Platzbedarf für die
  Konfiguration

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Sokoban liegt in PSPACE

• Savitchs theorem
• Daraus folgt
• Also Sokoban liegt in PSPACE

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Sokoban ist PSPACE-schwer

• Reduktion vom Entscheidungsproblem für
  Turing-Maschinen mit linear beschränktem Band

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Reduktion

• Turing-Maschine mit Wort ? Sokoban Rätsel
• Turing-Maschine akzeptiert Wort
• ?
• Sokoban-Rätsel ist lösbar

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Einbahnstraße

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Einbahnstraße

• Der Weg von A nach B

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Einbahnstraße

• Der Weg von A nach B
• Das Bauteil ist wieder im Ausgangszustand
• Kiste ist auf Zielfeld

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Einbahnstraße

• Felder, an denen die Kiste nie stehen darf
• Kiste ist im Bauteil gefangen und keine andere
  kommt zum Zielfeld

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Einbahnstraße

• Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

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Einbahnstraße

• Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

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Einbahnstraße

• Kein Weg führt von B nach A in einer Lösung

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Heimkehrer

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Heimkehrer

• Felder, an denen keine Kisten stehen dürfen
• Rosa ist durch die jeweils andere Kiste blockiert
• Keine Kiste kann hinein bzw. heraus

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Heimkehrer

• Die Blockierung des rosanen Feldes ist durch die
  Verschiebung aufgehoben

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Heimkehrer

• Pusher am Ziel B
• Kisten sind nicht auf Zielfeldern

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Heimkehrer

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Heimkehrer

• Das Bauteil ist wieder im Ausgangszustand
• Kisten befinden sich auf den Zielfeldern

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Durchlauf-Zurücksetzer

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Durchlauf-Zurücksetzer

• Zugang zum Mittelteil über
• Eingang A ist blockiert

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Durchlauf-Zurücksetzer

• Zugang zum Mittelteil über
• Eingang A ist blockiert
• B ist Ausgang

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Durchlauf-Zurücksetzer

• Zugang über Heimkehrer

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Durchlauf-Zurücksetzer

• Verlassen über B nicht möglich
• Heimkehrer enthält offene Kisten
• Alle Zugänge zum Mittelteil blockiert

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Durchlauf-Zurücksetzer

• Öffnen der Blockierung
• von A

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Durchlauf-Zurücksetzer

• Verlassen des Mittelteils nur durch R

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Durchlauf-Zurücksetzer

• Eingang A nicht mehr blockiert

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Durchlauf-Zurücksetzer

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Durchlauf-Zurücksetzer

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Durchlauf-Zurücksetzer

• Jede Kiste ist auf Zielfeld
• Das Bauteil ist wieder im Ausgangs-zustand

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Überführung

• Pfade existieren nur von
• A zu A bzw. A zu A
• B zu B bzw. B zu B
• Alle Kisten sind initial und nach Durchlauf auf
  Zielfeldern

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Kreuzung

• Verbindung von Pfaden

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Zelleinheit

• Repräsentiert eine Zelle des Turing-Maschinen-Band
  s
• Beinhaltet das Steuerwerk der Turing-Maschine

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Endlicher Automat
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Heimkehrer beim Bandsymbol

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Heimkehrer

• Nur der Rückweg des gelesen Buchstabens ist
  offen

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
69
Simulation

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Simulation

• Probleme
• Die Turing-Maschine akzeptiert bevor alle
  Zelleinheiten gelesen sind.
• Die Turing-Maschine liest jeden Buchstaben,
  akzeptiert aber nicht.

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(No Transcript)
72
Simulation

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Die entscheidende Kiste

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Reduktionskosten

• Konstruktion einer Zelleinheit
• pro Bandbuchstabe und Zustand werden konstant
  viele Bauteile (ohne Überführungen) benötigt
• Es gibt maximal Überführungen
• Die Zelleinheit läßt sich in Zeit
  konstruieren
• n Kopien werden modifziert und verbunden, in O(n)
  Zeit
• Reduktion ist polynomiell

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Quellen

• Joseph C. Culberson Sokoban is PSPACE-complete
• Dorit Dor und Uri Zwick Sokoban and other motion
  planning problems
• Sokoban für Windows http//sourceforge.net/project
  s/sokobanyasc/
• Sokoban Seite der University of Alberta
  http//www.cs.ualberta.ca/games/Sokoban/

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Exponentielle Lösung