Estabilidade e Estacionariedade em S

1
Estabilidade e Estacionariedadeem Séries
Temporais

• Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2

2
Objeto de estudo

• A econometria de séries temporais dedica-se à
  estimação de equações de diferença contendo
  componentes estocásticos.

3
Séries Discretas no Tempo

• Seja y f(t), portanto
• ?y f(t0 h) f(t0)
• Na prática, as séries econômicas são geradas em
  intervalos discretos de tempo
• Toma-se por conveniência h 1, representando a
  unidade de tempo da série em questão

4
Séries discretas

• Note que o fato do tempo ser discreto não implica
  que a variável y seja discreta.
• A variável discreta y é dita aleatória
  (estocástica) se existe pelo menos um valor de r
  tal que 0 lt p(y r) lt 1
• Caso exista um valor de r para o qual p(y
  r) 1, então y é determinística

5
Séries Discretas

• Os elementos de uma série econômica y0, y1, ...,
  yt podem ser considerados como realizações
  (resultados) de um processo estocástico.
• Por exemplo o PIB. Como não podemos prevê-lo
  perfeitamente, yt é uma variável aleatória.
• Cada valor conhecido do PIB é uma realização
  desse processo estocástico.

6
Objetivo do modelo

• A partir de valores observados de uma séries
  temporal (i.e., uma amostra), identificar os
  aspectos essenciais do verdadeiro processo
  gerador de dados (i.e., do universo).
• As equações de diferenças estocásticas são um
  instrumento eficaz para modelar processo
  econômicos dinâmicos.

7
Equações de diferenças

• Uma equação de diferenças expressa o valor de uma
  variável como função de seus próprios valores
  defasados, do tempo, e de outras variáveis. Ex
• yt 8,2 0,75yt-1 0,12yt-2 et

8
Ruído Branco

• Uma seqüência et é dita ruído branco se cada
  valor da série tiver média zero, variância
  constante, e não apresentar correlação serial.

9
Ruído Branco
10
Ruído Branco

• E(et) E(et) ... 0
• Var(et) Var(et) ... ?2
• E(et.et-s) 0 para todo s ? 0

11
Solução de equações de diferenças

• A solução de equações de diferenças lineares pode
  ser dividida em duas partes a solução particular
  e a solução homogênea.
• A parte homogênea da equação dá uma medida do
  desequilíbrio inicial em relação à posição de
  equilíbrio de longo prazo
• A equação homogênea é importante porque dá as
  raízes características, que determinam se a série
  é convergente (estável)

12
Exemplo Equação de ordem 2

• yt a0 a1yt-1 a2yt-2 et
• Equação homogênea
• yt - a1yt-1- a2yt-2 0
• Equação característica
• x2 - a1x - a2 0
• As raízes dessa equação são chamadas raízes
  características

13
Raízes e estabilidade

• As raízes características serão funções dos
  coeficientes a1 e a2
• As raízes características determinam se a série é
  estável (convergente) ou instável (divergente)
• Isto é, a estabilidade da série depende dos
  coeficientes a1 e a2

14
Série convergente (estável)
15
Série divergente (instável)
16
Condições de Estabilidade

• Condição necessária
• Condição suficiente
• Se algum ai 1, o processo tem raiz(es)
  unitária(s)

17
Estabilidade e Estacionariedade

• Se yt é uma equação estocástica de diferenças,
  então a condição de estabilidade é uma condição
  necessária para que a série temporal yt seja
  estacionária.

18
Estacionariedade

• Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente)
  estacionário se
• Ey(t) ?
• Vary(t) Ey(t) - ?2 ?2
• Ey(t) - ?)y(t - k) - ? f(k)
• Obs. um processo fortemente estacionário não
  precisa de média e variância constantes. (É um
  conceito menos restritivo).

19
Interpretação

• Uma série temporal é dita estacionária se suas
  propriedades estatísticas não mudam com o tempo
• A série estacionária tem média e variância
  constantes no tempo, e a covariância entre
  valores defasados da série depende apenas da
  defasagem, isto é, da distância temporal entre
  eles.
• Cov(Yt,Yt-k) ?k ?k

20
Interpretação

• Cov(Yt,Yt-k) ?k ?k
• significa que se, por exemplo, ?1 gt 0, então um
  valor alto de Y no presente momento
  provavelmente será seguido de um valor também
  alto de Y no próximo momento.
• A hipótese de que os ?k sejam estáveis no tempo,
  permite que se use essa informação para prever
  valores futuros da série.

21
Não-estacionariedade

• No nível da média. A média varia ao longo da
  série. Séries que apresentam tendências
  temporais não têm média estacionária.
• Se a tendência for não-linear, as covariâncias
  também se alterarão ao longo do tempo

22
Modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1)

• É representado como
• Yt a1 Yt-1 ?t
• significa que o valor de Y em t depende do valor
  de Y no período anterior mais uma perturbação
  aleatória.
• Note que se tomou a0 0.

23
Média do modelo AR(1)

• E(yt) a0/(1 a1)

24
Variância do modelo AR(1)

• Var(yt) ?2/1 (a1)2

25
Covariância do modelo AR(1)

• Cov(yt, yt-s) ?2(a1)s/1 (a1)2 ?s
• Portanto ?0 é a variância de yt

26
Autocorrelação

• Para uma série estacionária pode-se definir a
  autocorrelação entre yt e yt-s como
• ?s ?s /?0
• A função de autocorrelação (FAC) mostra os
  valores de ?s para valores crescentes de s.

27
Restrições para estacionariedade do AR(1)

• Seja Yt a0 a1 Yt-1 ?t
• Dada a condição inicial y y0 para t 0, a
  solução da equação é
• Yt a0?i0t-1 a1i a1t Y0 ?i0t-1 ?t-i

28
Restrições (continuação)

• Ao tomar o valor esperado de y para os instantes
  t e ts observa-se que
• E (yt) ? E(yts)
• Isto é, a média não seria constante e, portanto o
  AR(1) não seria estacionário

29
Restrições (conclusão)

• Esta restrição é contornada ao se tomar o valor
  limite de yt
• lim yt a0/(1 a1) ?i08 ?t-i a0/(1 a1)
• Portanto a estacionariedade requer a1 lt 1, e
  requer também que o número de observações seja
  grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá um
  tempo infinitamente longo
• Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com
  séries originárias de processos recentes, pois
  podem não ser estacionárias.

30
Autocorrelação parcial

• Mede a intensidade da relação entre duas
  observações da série, controlando (mantendo
  constante) o efeito das demais
• Yt ?11Y1 ?t ? ?11 ?11
• Yt ?11Y1 ?22Y2 ?t ? ?22 ?22
• Yt ?k1Y1 ?k2Y2 ... ?kkYk ?t ? ?kk ?kk
• a seqüência de pares (k, ?kk) constitui a função
  de autocorrelação parcial

31
Interpretação

• Se, por exemplo, numa série mensal, os valores de
  Yt forem altamente correlacionados com os valores
  de Yt-12, então a função de autocorrelação
  parcial deveria exibir um pico na defasagem 12, e
  nenhum valor significativo nas demais.