Universidad de los Andes-CODENSA

1
Programación Lineal y el Método
Simplex.Programación No Lineal y los Teoremas
de Lagrange y Khun-Tucker.

• Universidad de los Andes-CODENSA

2
Introducción

• La programación matemática es una potente técnica
  de modelado usada en el proceso de toma de
  decisiones. Cuando se trata de resolver un
  problema de este tipo se deben tener en cuenta
• Identificar las posibles decisiones a tomar.
• Determinar que decisiones resultan admisibles
  (Conjunto de restricciones).
• Cálculo coste/beneficio de cada decisión (Función
  objetivo).
• Cualquier problema de programación requiere
  identificar cuatro componentes básicos
• El conjunto de datos
• El conjunto de variables involucradas en el
  problema, junto con sus dominios respectivos de
  definición.
• El conjunto de restricciones lineales del
  problema que definen el conjunto de soluciones
  admisibles.
• La función lineal que debe ser optimizada.

3
Problema del Transporte

• Cierto producto debe enviarse en determinadas
  cantidades u1,,um, desde cada uno de m orígenes,
  y recibirse en cantidades v1,,vn, en cada uno de
  los n destinos. Determine las cantidades xij, que
  deben enviarse desde el origen i al destino j,
  para conseguir minimizar el coste de envío.
• Datos
• m el número de orígenes
• n el número de destinos
• ui la cantidad que debe enviarse desde el origen
  i
• vj la cantidad que debe ser recibida en el
  destino j
• cij el coste de envío de una cantidad de
  producto desde el origen i al destino j
• Variables
• xij la cantidad que se envía desde el origen i
  al destino j. Se supone que las variables deben
  ser no negativas.

4

• (1)
• Restricciones Las restricciones del problema
  son
• (2)
• El primer conjunto de condiciones indica que la
  cantidad del producto que parte del origen i debe
  coincidir con la suma de las cantidades que
  parten de ese origen hasta los distintos destinos
  j1,,n.
• El segundo conjunto de condiciones asegura que el
  total recibido en el destino j debe corresponder
  a la suma de todas las cantidades que llegan a
  ese destino y parten de los distintos orígenes
  i1,,m.
• Los grupos de restricciones presentados en (1) y
  (2) muestran las restricciones de las variables y
  del problema, respectivamente.
• Función a maximizar
• En el problema de transporte nos interesa
  minimizar los costos de envío (suma de los costos
  de transporte de todas las unidades). Es decir,
  se debe minimizar
• (3)

5

• Ejemplo El Problema del Transporte
• Considérese el problema de transporte mostrado en
  la figura 1, donde m3 orígenes, n3 destinos,
  u12, u23, u34, v15, v22, v32.
• Figura 1. Esquema del problema de transporte.
• En este caso el sistema es

6

• Las tres primeras ecuaciones establecen la
  conservación del producto en los tres orígenes y
  las tres últimas igualdades, la conservación del
  producto en los tres destinos.
• Si se concretan los valores particulares
• Para los costos de envío, el problema consiste en
  minimizar
• El mínimo de la función objetivo es 14, que
  corresponde a

7
Problema de la Planificación de la Producción

• Un productor fabrica una pieza, cuya demanda
  varía en el tiempo, de acuerdo con la siguiente
  figura.
• Figura 2. Gráfico de la demanda en función del
  tiempo.
• El productor debe atender la demanda mensual
  siempre. En general cualquier problema de
  planificación admitirá diversas posibilidades que
  aseguren que la demanda es convenientemente
  atendida

8

• Producción variable El fabricante puede producir
  cada mes el número exacto de unidades que le
  solicitan.
• Producción Constante El fabricante que debe
  atender una demanda que cambia con el tiempo
  puede producir por encima de dicho nivel en
  periodos de baja demanda y almacenar la
  sobreproducción para los periodos de demanda
  mayor.
• Los problemas de esta naturaleza ilustran las
  dificultades que surgen cuando objetivos
  contrarios están presentes en e un sistema dado.
• Datos
• n el número de meses a considerar
• s0 la cantidad almacenada disponible al
  principio del periodo considerado
• dt el número de unidades (demanda) que se
  solicita en el mes t
• smax la capacidad máxima de almacenamiento
• at el precio de venta en el mes t

9

• bt el costo de producción en el mes t
• ct el costo de almacenamiento en el mes t
• Variables
• xt el número de unidades producidas en el mes t
• st el número de unidades almacenadas en el mes t
• Restricciones
• La demanda dt en el mes t debe coincidir con
  el cambio en el almacenamiento ,
• st-1st, más la producción xt en el mes t la
  capacidad de almacenamiento no puede excederse y
  la demanda dt, almacenamiento st, y producción xt
  deben ser no negativas.

10

• Función a Optimizar
• Una posibilidad consiste en maximizar el ingreso
  después de descontar los costes de la variación
  de la producción y los inventarios.
• Otra posibilidad consiste en minimizar los costos
  de almacenamiento

11

• Ejemplo El Problema de la Planificación de la
  Producción
• Considérese la función de demanda en función del
  tiempo mostrada en la siguiente tabla
• Tabla 1. Demanda en función del tiempo.
• Supóngase que la cantidad almacenada inicialmente
  es s02. Entonces el sistema se transforma en

12

• Donde el cero en la matriz de la derecha procede
  a restar la demanda para t1 del almacenamiento
  inicial.
• Si se maximiza el beneficio después de descontar
  los costos y los inventarios, y se toma at3,
  bt1, ct1, el problema de optimización se
  convierte en
• Maximizar
• Sujeto a las restricciones ya mencionadas.
• Resolviendo este problema encontramos que el
  valor máximo es
• Lo que implica ningún almacenamiento.

13
Problema de la Dieta

• Se conocen los contenidos nutritivos de ciertos
  alimentos, sus precios y la cantidad mínima
  diaria de nutrientes aconsejada. El problema
  consiste en determinar la cantidad de cada
  alimento que debe comprarse para satisfacer los
  mínimos aconsejados y alcanzar un precio total
  mínimo.
• Datos
• m el número de nutrientes.
• n el número de Alimentos.
• aij la cantidad del nutriente i en una unidad
  del alimento j.
• bi la cantidad mínima del nutriente i
  aconsejada.
• cj el precio de una unidad del alimento j.

14

• Variables
• xj la cantidad del alimento j que debe
  adquirirse.
• Restricciones
• Como la cantidad total de un nutriente dado i es
  la suma de las cantidades de los nutrientes en
  todos los alimentos y las cantidades de alimentos
  deben ser no negativas, entonces tenemos
• Función a Minimizar
• En el problema de la dieta se esta interesado en
  minimizar el precio de la dieta
• Minimizar
• Donde cj es el precio unitario del alimento j.

15

• Ejemplo El Problema de la Dieta
• Considere un caso con cinco nutrientes y con los
  mínimos aconsejados para los nutrientes
  digeribles (DN), proteínas digeribles (DP),
  calcio (Ca), y fósforo (Ph) dados en la siguiente
  tabla
• Tabla 2. Contenidos nutritivos de cinco alimentos
• Las restricciones se convierten en

16

• Supóngase que los precios unitarios de los
  alimentos son
• De este modo se tiene el siguiente PPL
• Minimizar
• Sujeto a las restricciones ya mencionadas.
• Con la solución de este sistema se obtiene la
  solución

17
Problema del Flujo en un a Red

• Supóngase una red de transporte (conducción
  hidráulica, ferrocarril, carreteras, etc.) a
  través de la cual se desea enviar un cierto
  material (aceite, grano, vehículos, mensajes,
  etc.) de un conjunto de nodos de la red, llamados
  nodos fuente, a un conjunto de puntos de destino,
  llamados nodos sumideros. Además de éstos, la red
  contiene nodos intermedios, donde no tienen lugar
  ni entradas ni salidas de material. Sea xij el
  flujo que va del nodo i al nodo j (positiva en la
  dirección i?j ,y negativa en otro caso).
• Datos
• g el grafo g(N,A) que describe la red de
  transporte, donde N es el conjunto de nudos, y A
  es el conjunto de conexiones.
• n el número de nudos en la red.
• fi el flujo entrante (positivo) o saliente
  (negativo) en el nudo i
• mij la capacidad máxima de flujo en la conexión
  entre el nudo i y el j
• cij el precio de mandar una unidad del bien
  desde el nudo i al nudo j.

18

• Variables
• xij el flujo que va del nodo i al nodo j
• Restricciones Las restricciones del problema
  son
• Imponiendo la condición de conservación del flujo
  en todos los nudos, y las restricciones sobre la
  capacidad de las líneas o conexiones, se obtienen
  las siguientes restricciones
• Restricciones de conservación del flujo
• (4)
• Restricciones de capacidad de las líneas o
  conexiones
• (5)
• donde iltj evita la posible duplicación de
  restricciones.
• Función a minimizar El precio total es
• (6)
• Así, debe minimizarse (6) bajo (4) y (5).
• Las redes de abastecimiento de agua, los sistemas
  de comunicaciones, y otros, conducen a problemas
  de redes de transporte como el descrito aquí.

19

• Ejemplo El Problema de Flujo en Redes
• Considérese el problema de flujo en la red de la
  figura 3 donde las flechas indican los valores
  positivos de las variables del flujo.
• Figura 3. Esquema del problema de transporte.
• En este caso el sistema es
• (7)
• Donde se supone que

20

• Supóngase además que . El
  problema de optimización es minimizar
• Sometido a (7). Mediante el software adecuado
  puede obtenerse la siguiente solución
• Esta solución indica que existe un conjunto de
  infinitas soluciones, todas ellas proporcionando
  el mismo valor óptimo, Z5.

21
Problema de la Cartera de Valores

• Un inversor es propietario de participaciones de
  varios valores. Mas concretamente es dueño de bi
  participaciones de los valores bursátiles Ai,
  i1,2,..m. Los precios actuales de estos valores
  son vi. Considérese que se pueden predecir los
  dividendos que se pagarán al final del año que
  comienza y los precios finales de los diferentes
  valores bursátiles, esto es, Ai pagará di y
  tendrá un nuevo precio wi.
• El objetivo es ajustar la cartera, es decir, el
  número de participaciones en cada valor, de modo
  que se maximicen los dividendos
• Datos
• m el número de valores bursátiles
• bi el número actual de participaciones del valor
  bursátil i
• vi el precio actual del valor i por
  participación
• di el dividendo que se pagará al final del año
  en el valor bursátil i
• wi el nuevo precio del valor bursátil i

22

• r porcentaje mínimo r del valor actual de toda
  la cartera que no debe superarse en el ajuste
• s porcentaje mínimo del valor total actual que
  no debe superarse por el valor futuro total de la
  cartera, para hacer frente a la inflación
• Variables
• xi el cambio en el número de participaciones del
  valor bursátil i.
• Restricciones
• Se deben asegurar ciertas condiciones que debe
  satisfacer una cartera bien equilibrada
• El número de participaciones debe ser no negativo
• Exigimos que el capital asociado a todo valor
  concreto, después del ajuste, represente al menos
  una cierta fracción r del capital total actual de
  la cartera

23

• El capital total de la cartera no debe cambiar en
  el ajuste pues se supone que no se invierte
  dinero adicional
• Para hacer frente a la inflación, el capital
  total en el futuro debe ser al menos un cierto
  porcentaje s mayor que el capital invertido
  actualmente
• Función a optimizar
• Nuestro objetivo es maximizar los dividendos
• La tarea se concreta al determinar el valor
  máximo de los dividendos sujeto a todas las
  restricciones anteriores.

24

• Ejemplo El Problema de la Cartera de Valores
• Se tienen participaciones de tres valores
  bursátiles, 75 de A, 100 de B y 35 de C, con
  precios 20, 20 y 100 dólares, respectivamente. Se
  dispone de la siguiente información A no pagará
  dividendos y alcanzará una nueva cotización de 18
  dólares, B pagará 3 dólares por participación y
  la nueva cotización será 23 dólares, y C pagará 5
  dólares por participación con una nueva
  cotización de 102 dólares. Si se toman los
  porcentajes r como 25 y s, 0.30, todas las
  restricciones se escriben como

25

• Después de varias simplificaciones , las
  restricciones anteriores se transforman en
• La solución obtenida es

26
Problema de Distribución de Energía

• Los generadores de energía, así como las demandas
  de la misma se sitúan en una red energética. El
  objetivo de este problema consiste en decidir la
  energía a producir por cada generador de forma
  tal que se satisfagan las diferentes condiciones
  técnicas de la red y los generadores, así como
  las demandas, al mínimo coste.
• Cada línea de transmisión de una red de energía
  transmite energía de un bus a otro. La energía
  transmitida es proporcional a la diferencia de
  los ángulos de estos buses (de forma similar a
  que el agua que fluye en una tubería que conecta
  dos tanques es proporcional a la diferencia de
  alturas del agua en ambos). La constante de
  proporcionalidad tiene un nombre divertido
  susceptibilidad. La potencia transmitida desde
  el bus i al j a través de la línea i-j es por
  tanto
• (8)
• donde Bij es la susceptibilidad de la línea i-j,
  y y los ángulos de los buses i y j,
  respectivamente. Por razones físicas, la cantidad
  de energía transmitida a través de una línea
  tiene un límite. Este límite está relacionado con
  consideraciones térmicas o de estabilidad. Por
  tanto, una línea energética debe ser operada de
  forma tal que su límite de transmisión no sea
  excedido.

27

• Esta condición puede formularse como
• (9)
• donde es la capacidad de transmisión de la
  línea i-j. Debe notarse que la potencia
  transmitida es proporcional a la diferencia de
  ángulos y no, a un ángulo dado. Por tanto, puede
  fijarse el valor de un ángulo arbitrario a 0, y
  tomarlo como origen. Es decir, para un bus
  arbitrario k
• (10)
• Una consecuencia que se deriva de esta
  posibilidad de fijar arbitrariamente un origen es
  que los ángulos son variables no restringidas en
  signo. La potencia generada por un generador es
  una magnitud positiva limitada inferiormente,
  debido a las condiciones de estabilidad (de forma
  similar a la de un automóvil, que no puede
  moverse a una velocidad inferior a un cierto
  límite), y superiormente, debido a límites
  térmicos (similarmente a la de un automóvil que
  no puede moverse a más de una cierta velocidad
  máxima). Las restricciones anteriores conducen a
• (11)
• donde pi es la potencia producida por el
  generador i, y y son constantes positivas
  que representan, respectivamente, el mínimo y el
  máximo de las potencias generadas por el
  generador i.

28

• En todo bus, la potencia que entra debe ser igual
  a la potencia que sale (ley de la conservación de
  la energía), que puede escribirse como
• (12)
• donde es el conjunto de buses conectados a
  través de las líneas al bus i y Di la demanda
  asociada al bus i.
• Como se ha indicado anteriormente, la potencia
  transmitida a través de toda línea es limitada,
  por tanto
• (13)
• Datos
• n el número de generadores.
• la mínima energía de salida asociada al
  generador i.
• la máxima energía de salida asociada al
  generador i.
• Bij la susceptancia de la línea i-j.
• la capacidad máxima de transmisión de la
  línea i-j.
• Ci el coste de producir energía en el generador
  i.
• el conjunto de buses conectados a través de
  líneas al bus i.
• Di la demanda asociada al bus i.

29

• Variables
• pi la energía producida por el generador i.
• el ángulo del bus i.
• Restricciones Las restricciones de este problema
  son
• (14)
• Función a minimizar El objetivo es minimizar el
  precio total de la producción de potencia
• (15)
• donde Ci es el precio de la producción del
  generador i, y n el número de generadores.

30

• Ejemplo El Problema de Distribución de Energía
• Considérese el sistema de la figura 4
• Figura 4. Esquema del problema de Distribución de
  Energía.
• El generador del bus 1 produce un coste 6 y sus
  límites inferiores y superiores son,
  respectivamente, 0.15 y 0.6. El coste de
  producción del generador del bus 2 es 7 y sus
  límites de potencia son, respectivamente, 0.1 y
  0.4. La línea 1-2 tiene una susceptancia 2.5 y un
  límite de transmisión máximo de 0.3, la línea 1-3
  tiene una susceptancia de 3.5 y un límite de
  transmisión de 0.5, y, finalmente, la línea 2-3
  tiene una susceptancia de 3.0 y un límite de
  transmisión de 0.4. Este sistema tiene una
  demanda simple localizada en el bus 3 con un
  valor de 0.85. Se considera un periodo de una
  hora, y se toma como origen el bus 3.

31

• Este problema puede escribirse como
• minimizar
• sometido a
• Las variables de optimización son p1, p2, y
  .
• La solución de este problema es
• La solución óptima requiere que el generador 1
  produzca 0.565 y el generador 2 produzca 0.285.

32
Introducción a la Programación Lineal

• Problema de Programación Lineal (PPL) La forma
  mas general de un problema de programación lineal
  consiste en minimizar o maximizar
• Sujeto a
• donde p ,q y m son enteros positivos tales que
  .
• Solución Factible Un punto
  
• que satisface todas las restricciones se denomina
  solución factible. El conjunto de todas esas
  soluciones es la región de factibilidad.

33

• Solución Óptima Un punto factible tal que
  para cualquier otro punto
  factible X se denomina una solución óptima del
  problema.
• Típicamente n es mucho mayor que m. Lo que
  distingue a un PPL de otros problemas de
  optimización es que todas las funciones que
  aparecen son lineales.
• En un PPL la región factible es un Politopo o un
  Poliedro.
• El objetivo de los problemas de optimización es
  encontrar un óptimo global. Sin embargo, las
  condiciones de optimalidad garantizan por lo
  general óptimos locales. Sin embargo, los PPL
  presentan propiedades que hacen posible
  garantizar el óptimo global
• Si la región factible esta acotada, el problema
  siempre tiene una solución (condición suficiente
  pero no necesaria).
• El óptimo de un PPL es siempre un óptimo global.
• Si x e y son óptimos de un PPL, entonces
  cualquier combinación lineal de ellos es también
  un óptimo. Nótese que una combinación lineal
  convexa de óptimos no cambia el valor de la
  función objetivo.
• La solución óptima se alcanza siempre, al menos,
  en un punto extremo de la región factible.

34

• Ejemplo Solución Única
• Maximizar
• Sometido a
• tiene por solución única Z12, que se alcanza en
  el punto P(3,3)
• Figura 5. Ejemplo Solución Única.

35

• Ejemplo Solución Múltiple
• Si la función objetivo del problema anterior se
  reemplaza por
• el problema tiene múltiples soluciones
• Figura 6. Ejemplo Solución Múltiple.
• En efecto, cualquier punto del segmento con
  extremos en los puntos (2 4)T y
• (3 3)T da la solución óptima del problema (Z
  6).

36

• Ejemplo Solución No Acotada
• Maximizar
• Sometido a
• tiene solución no acotada
• Figura 7. Ejemplo No Acotada.

37

• Ejemplo Solución No Factible
• Maximizar
• Sometido a
• No tiene solución factible porque la nueva
  restricción
• no es compatible con las anteriores.

38
Problema en la Forma Estándar

• Un PPL definido en la forma
• Minimizar
• Sometido a
• Se dice que está en forma estándar. Ello implica
• La función objetivo debe minimizarse.
• las restricciones deben ser de igualdad.
• El vector debe ser no negativo.
• Las variables x deben ser no-negativas.
• Cualquier problema puede ponerse en forma
  estándar.

39

• Paso a un Problema de Minimización
• Un problema de maximización puede convertirse en
  uno de minimización cambiando el signo de la
  función objetivo. El problema
• Maximizar
• es equivalente al problema
• Minimizar
• sometidos ambos a las mismas restricciones.
• Paso a Variables No Negativas
• El conjunto de r variables no
  restringidas puede escribirse en función de otro
  conjunto de r 1 variables
  no negativas
• De esta forma se añade una variable en vez del
  método usual de añadir r nuevas variables.
• Paso a Restricciones de Igualdad
• Se puede conseguir usando variables de holgura

40

• La desigualdad
• con , equivale a la igualdad
• La Desigualdad
• con , equivale a la igualdad

41

• Ejemplos Transformación a la Forma Estándar
• Maximizar
• sometido a
• Este problema en la forma estándar es
• Minimizar
• sometido a
• Maximizar
• sometido a

42

• Este problema en la forma estándar es
• Minimizar
• sometido a

43
El Método Simplex

• Sea el PPL
• Minimizar
• Sujeto a
• Donde es una matriz de
  costos y A es una matriz de m x n.
• El método simplex (MS) consta de dos etapas
• Etapa de Iniciación
• El conjunto inicial de restricciones se
  transforma en otro equivalente de igualdades,
  asociadas a una solución básica.
• Los valores de las variables básicas se
  transforman en no negativos (se obtiene una
  solución básica factible). Esta etapa se llama
  reguladora.

44

• Etapa de Iteraciones Estándar
• En esta etapa los coeficientes de la función de
  costo se transforman en no positivos y el valor
  de la función de costo se mejora iterativamente,
  hasta obtener la solución óptima, se detecta
  solución no factible, o solución no acotada. En
  este proceso iterativo se obtienen diferentes
  soluciones factibles. Para este fin se utiliza la
  llamada transformación elemental de pivotaje.
• Fase de Iniciación Una de las peculiaridades del
  SM consiste en incorporar una nueva variable Z,
  igual a la función objetivo del problema, y la
  restricción asociada
• Las restricciones son
• Y la función objetivo
• Donde (B N) es una partición de la matriz A, y
  XB y XN definen otra partición de x, en variables
  básicas y no básicas, respectivamente.

45

• Usando la ecuación de restricciones podemos
  obtener
• donde
• Ahora, de la ecuación de la función objetivo y la
  anterior ecuación obtenemos
• donde
• Para obtener

46

• El MS comienza con el conjunto de restricciones
• Donde es una partición del conjunto
  de variables . Las matrices
• se obtienen resolviendo las
  restricciones en xB
• donde son los coeficientes de
  costo asociados a xB y xN, respectivamente.
• Podemos entonces obtener un nuevo conjunto
  equivalente de restricciones con la misma
  estructura
• donde t se refiere al número de la iteración y
  t0 es la iteración inicial.

47
Programación No Lineal

• El problema más general de programación no lineal
  (PPNL), puede plantearse como
• Minimizar
• Sujeto a
• En forma compacta el modelo anterior puede
  escribirse
• Minimizar
• Sujeto a

48

• Donde es el vector de las
  variables de decisión, es la
  función objetivo, y y
  , donde
  y
• son las
  restricciones de desigualdad y de igualdad,
  respectivamente.
• La figura 8a muestra que el mínimo del problema
  se alcanza en el conjunto de puntos en los que la
  tangente es horizontal.
• Figura 8. Mínimos Locales y Globales.
• Sin embargo, si se busca el mínimo de la función
• en , se encuentra uno con dificultades, pues
  no tiene puntos con derivada nula. Sin embargo,
  el hecho de que f tienda a cero cuando x tiende a
  8 y que tome valores negativos, indica que f
  debe alcanzar su mínimo en algún lugar.

49

• Un análisis más profundo de f revela que el
  mínimo se alcanza en , pero f no es
  diferenciable en este punto. Este simple ejemplo
  muestra que se debe tener especial cuidado cuando
  las funciones que intervienen no son
  diferenciables.
• Figura 9. Grafica de la función
  .
• Hay además otro problema igualmente relevante,
  referente a los problemas no lineales
  diferenciables. Para ilustrarlo, se considera la
  función objetivo siguiente
• Figura 10. Grafica de la función
  .

50

• Esta función es diferenciable en todo , pero
  tiene un conjunto infinito de puntos con tangente
  horizontal (puntos en los que f(x) 0). Estos
  puntos reciben el nombre de puntos estacionarios
  y todos ellos, salvo uno, son óptimos locales.
  Puesto que si se restringe la atención a un
  pequeño entorno de ellos, se convierten en
  máximos o mínimos locales. La ecuación f(x) 0
  no puede ser resuelta en forma cerrada, por lo
  que se deben utilizar métodos numéricos. La
  existencia de un conjunto infinito de puntos
  candidatos y la ausencia de un método para
  generarlos explícitamente, conducen a la
  imposibilidad de conocer, con total certidumbre,
  si un determinado candidato es el óptimo global.
• Estamos interesados en la clase de funciones
  tales que sus mínimos locales sean también
  globales. En la figura se da una función que no
  cumple esta condición. Hay puntos en el intervalo
  que están por encima del segmento que une
  los mínimos. La convexidad es aquí suficiente
  para evitar este comportamiento. Para ser convexa
  se exige que el grafo esté por debajo del
  intervalo que une los extremos.
• Figura 11. Ilustración de la Propiedad de
  Convexidad

51

• Un PPNL puede no tener solución por
• La función no es acotada en S. Por ejemplo, f(x)
  x, donde decrece sin límite hasta -8
  cuando x tiende a -8. En este caso se escribe
• La función es acotada en S pero no se alcanza la
  cota inferior en S. Por
  ejemplo, la función está acotada
  en y la cota inferior es 0 pero es
  inalcanzable por f(x).
• Teorema 1 (Existencia de Soluciones Óptimas)
• Sea S un conjunto cerrado, acotado y no vacío de
  y una función continua. El
  problema
• Minimizar
• Sujeto a
• admite al menos una solución óptima.
• Corolario 1 (Existencia de Soluciones Óptimas)
• Sea S un conjunto cerrado y no vacío
  (posiblemente no acotado) de y
  una función
  continua.

52

• Si tenemos
• Entonces el problema es
• Minimizar
• sujeto a
• admite al menos una solución óptima.
• Estos resultados pueden hacerse más explícitos
  cuando la función f es convexa.
• Definición 1 (Mínimo global)
• Una función f(x) tiene un mínimo global (mínimo
  global estricto) en el punto , de S, si
  para todo x
  en S.
• Definición 2 (Mínimo local)
• Una función f(x) tiene un mínimo local (mínimo
  local estricto) en el punto , de S, si existe
  un número positivo tal que
  (respectivamente, ) para todo x
  en S tal que .

53

• De ello se concluye que un mínimo global es
  también un mínimo local. En una dimensión es
  fácil ilustrar los conceptos anteriores. En la
  figura 11, S es el segmento .
  es el conjunto de los mínimos locales, y
  es el conjunto de los mínimos
  globales.
• Figura 12. Una función con tres mínimos locales y
  dos globales.
• Definición 3 (Diferenciabilidad)
• Se dice que es diferenciable en
  x si existen las derivadas parciales y
• , y
• donde es
  el gradiente de f en x.

54

• Definición 4 (Diferenciabilidad continua)
• Una función f se dice continuamente diferenciable
  en si todas las derivadas parciales son
  continuas en . En este caso, también es
  diferenciable.
• Se considera el siguiente PPNL
• Minimizar
  
  (1)
• sujeto a
• (2)
• donde
  con y
  
• son funciones continuamente diferenciables en la
  región factible

55
Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (CKKT)

• Las condiciones de Karush, Kuhn and Tucker
  constituyen el resultado más importante de
  programación no lineal. Deben ser satisfechas por
  cualquier óptimo restringido, sea éste local o
  global, y para cualquier función objetivo, ya sea
  lineal o no lineal. Además, los criterios de
  parada de los métodos iterativos se basan en
  estas condiciones. Mientras que en los problemas
  diferenciables sin restricciones el gradiente se
  anula en los mínimos locales, esto no ocurre para
  problemas con restricciones, tal como ilustra la
  figura 11 en el punto . Esto se debe a
  las restricciones del problema. Las condiciones
  de Karush-Khun-Tucker generalizan las condiciones
  necesarias de óptimo para los problemas con
  restricciones.
• Figura 13. En problemas restringidos
  diferenciables el gradiente no es necesariamente
  cero en la solución óptima

56

• Definición 5 (Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker)
• El vector satisface las condiciones
  de Karush-Khun-Tucker para el PPNL (1)-(2) si
  existe un par de vectores y
  tales que
• (3)
• (4)
• (5)
• (6)
• (7)
• Los vectores µ y son los multiplicadores de
  Khun-Tucker. La condición (6) es la condición
  complementaria de holgura. La (7) son las
  condiciones duales de factibilidad y requieren la
  no-negatividad de los multiplicadores de las
  restricciones de desigualdad. Las condiciones
  (4)-(5) se llaman condiciones primales de
  factibilidad.
• Con el Lagrangiano
  las condiciones KKT se
  escriben como

57

• Figura 14. Ilustración de las condiciones de
  KarushKuhnTucker para el caso de una
  restricción de igualdad y dos variables.
• Figura 15. Ilustración de las condiciones de
  KarushKuhnTucker para el caso de dos
  restricciones de desigualdad y dos variables.

58
Casos Especiales

• Si falta una restricción en un PPNL, el
  multiplicador asociado a la restricción ausente"
  es nulo, y la restricción se elimina de la
  formulación de las condiciones de KKT. En estos
  casos resulta
• (Problemas sin restricciones) En este caso solo
  se tiene la condición
• (Problemas con restricciones de igualdad
  solamente) Las condiciones de KKT son una
  extensión del principio clásico del método de los
  multiplicadores de Lagrange. Este método sólo
  surge con problemas que únicamente tienen
  restricciones de igualdad

59

• (Problemas con restricciones de desigualdad
  solamente) Las condiciones de KKTC son

60

• Ejemplo
• Minimizar
• sujeto a
• Sean los multiplicadores asociados a
  la igualdad y las desigualdades, respectivamente.
  Las condiciones de KKT son
• La condición de estacionariedad del Lagrangiano
  es
• (8)
• Las condiciones primales de factibilidad
• (9)

61

• Las condiciones complementarias de holgura son
• (10)
• (11)
• (12)
• Las condiciones duales de factibilidad son
• (13)
• Caso I . Si entonces usando
  (11), x1 0, y (8) implica que
• Puesto que y no se cumple la
  condición (13), entonces los puntos KKT deben
  satisfacer .
• Caso II , y . Si
  entonces usando (12), x2 0, y la relación
• de (9) se obtiene x1 0, y
  con (8) resulta
• por lo que todo punto KKT debe satisfacer
  .

62

• Caso III , y . Si
  entonces usando (10) resulta
  , y con la condición de factibilidad,
  resulta el sistema de ecuaciones
• La única condición que satisface el sistema (9)
  es , donde
  y, con (8) resulta
• cuya solución es
• que es un punto KKT
• Caso IV .Usando (8),
  resulta el sistema de ecuaciones
• y se obtiene la solución y .
  De (9), se obtiene , y puesto
  que se trata de un punto factible, es también un
  punto KKT.

63

• Definición 6 (Restricción Activa)
• Sea , y . La restricción
  de desigualdad se dice que es una
  restricción activa en el punto si
  por otro lado, se dice inactiva si
• El conjunto de los índices de las restricciones
  activas se denota por , es decir
• Lema 1 Las CKKT son necesarias para un óptimo
  local de la mayoría de PPNL.

64
Condiciones Suficientes

• Definición 7 (Función Convexa)
• Sea , donde S es un conjunto convexo
  no vacío de . La función f se dice que es
  convexa en S si para cada par de puntos x1 y x2 y
  cualquier escalar t tal que
• 0t1, se tiene
• Si se cumple la desigualdad estricta anterior, f
  se dice que es estrictamente convexa.
  Similarmente, una función f es cóncava si la
  desigualdad se cumple con la desigualdad se
  cumple al revés, es decir, si (-f) es convexa.
• Teorema 2 ( Óptimo global y local)
• Considérese la función convexa ,
  donde S es un conjunto convexo no vacío de .
  Todo mínimo local de f en S es también un mínimo
  global de f en S. Además, si f es estrictamente
  convexa hay a lo sumo un único mínimo global.

65

• Las figuras 16, 17 y 18 muestran ejemplos de
  funciones convexa, cóncava y otra no convexa no
  cóncava.
• Figura 16. Ejemplo Función
  Convexa. Figura 17. Ejemplo
  Función Cóncava.
• 
  Figura 18. Ejemplo Función No Convexa, No
  Cóncava.

66

• Teorema 3 (Convexidad y diferenciabilidad)
• Sea un conjunto convexo y
  diferenciable en S. Entonces f es convexa en S
  si
• Además, f es estrictamente convexa en S si
• Definición 8 (Función dos veces diferenciable)
• Se dice que es dos veces
  diferenciable en el punto X si existe un vector
  columna , y una matriz n x n
  , tal que
• La matriz se llama la matriz
  Hesiana de f en el punto X. El elemento ij de
• es la segunda derivada parcial
  . Por otra parte, si las derivadas
  parciales son continuas, entonces f se dice dos
  veces continuamente diferenciable y, entonces
  es una matriz simétrica.

67

• Definición 9 (Matriz semidefinida positiva)
• Una matriz simétrica A es semidefinida positiva
  si para cualquier vector X.
  Además, si la igualdad se cumple
  sólo cuando x 0, entonces A se llama definida
  positiva.
• Teorema 4 (Funciones convexas)
• Sea un conjunto abierto y convexo y
  sea dos veces diferenciable
  en S. Entonces, se cumple
• f es una función convexa en S si es
  una matriz semidefinida positiva para todo
  , es decir
• f es una función estrictamente convexa en S si
  es una matriz definida positiva para
  todo , es decir

68

• Algunas funciones convexas importantes son
• Funciones Afines
• Sea , donde ,
  , es una función afín. Entonces, la
  matriz Hesiana es para todo
  . Puesto que esta función satisface el
  Teorema 4, es una función convexa. Nótese que f
  es también cóncava puesto que
• es igual a cero.
• Formas cuadráticas
• Sea una forma
  cuadrática. Si la matriz C es semidefinida
  positiva, entonces f es una función convexa,
  ya que la matriz Hesiana de f es
• para todo X.

69

• Las operaciones que conservan la convexidad son
• Combinaciones lineales no negativas de funciones
  convexas.
• Sean fi(X), i 1,, k funciones convexas,
  y sean , i 1,, k escalares positivos.
  Considérese la función
  . Puesto que la suma de matrices semidefinidas
  positivas es también semidefinida positiva,
  entonces h es una función convexa.
• Composición primera.
• Si h es convexa y T es una transformación lineal
  (o afín), la composición g h(T)
• también es convexa.
• Composición segunda
• Si g es convexa, y h es una función convexa no
  decreciente de una variable, la composición f
  h(g) también es convexa.
• Supremo
• El supremo de una familia de funciones convexas
  es también una función convexa.

70
Condiciones Suficientes de Karush-Kuhn-Tucker

• Lema 2 (Problema de programación convexa)
• Considérese el problema de programación convexa
  (PPC)
• Minimizar
• sujeto a
• donde f es convexa y diferenciable y S es un
  conjunto convexo. Entonces es un
  óptimo global si
• Teorema 5 (Suficiencia de las condiciones de
  Karush-Khun-Tucker)
• Considérese el PPNL
• Minimizar
• sujeto a

71

• Supóngase que existe una tripleta
  que satisface las CKKT. Sea
• .
  Supóngase que f(X), gi(X) para todo
  y hk(X) para todo son funciones
  convexas en , y que hk(X) para todo
  son funciones cóncavas en . Entonces es
  una solución global del PPNL.
• Ejemplo 1 Caso Especial sin Restricciones
• Sea convexa en y
  diferenciable en x. Entonces x es una solución
  global óptima del problema
• Minimizar
• si
• La clase más importante de PPNL para los que las
  CKKT son siempre necesarias y suficientes es la
  de los llamados programas convexos (PC), que
  consisten en minimizar una función objetivo
  convexa con un conjunto de restricciones tales
  que las desigualdades son funciones convexas y
  las igualdades funciones afines, es decir

72

• Minimizar
• Sujeto a
• donde f y g son funciones convexas y
  continuamente diferenciables, y h es una función
  afín. Un caso particular importante es el
  problema de programación lineal, por lo que los
  resultados anteriores son totalmente aplicables a
  este problema.
• En muchos casos tenemos el problema
• Minimizar
• donde r(x) y s(y) son funciones de dos variables
  x e y, respectivamente. Puesto que a y no
  están restringidos, se trata de un problema sin
  restricciones, y las CKKT son

73

• Mediante un reordenamiento de las anteriores
  Ecuaciones podemos obtener
• La solución del sistema es
• Teniendo en cuenta que maximizar una función es
  lo mismo que minimizar la misma función cambiada
  de signo, el problema consiste en
• Minimizar
• sujeto a

74

• donde son constantes, tales
  que , x1 y x2 son los niveles de
  inversión y de trabajo, respectivamente, y
  es la función de Cobb
  Douglas, que da el nivel de producción como
  función de ambas variables, y a es el coste por
  unidad de trabajo. Además hay una restricción de
  dinero disponible C. Este es un PPC, pues las
  restricciones son lineales y la función objetivo
  es convexa.

75
Bibliografía

• Formulación y Resolución de Modelos de
  Programación Matemática en Ingeniería y Ciencia,
  Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo
  Pedregal, Ricardo García, Natalia Alguacil, 2002.