Estabilidad de Sistemas de EDO no Lineales

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Estabilidad de Sistemas de EDO no Lineales
Tema V
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ProblemaImposibilidad de resolver un la EDO
no-lineal con los métodos estudiados.Solución?E
ncontrar información cualitativa acerca de las
soluciones
Problemática
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Puntos Críticos y Retrato de Fase
Fluido circulando con velocidad local
(1)
Retrato de Fase
Trayectorias
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Puntos Críticos y Retrato de Fase
Fluido circulando con velocidad local
Los puntos Críticos son Soluciones Conocidas
Retrato de Fase
Trayectorias
A esta solución se la denomina Solución de
Equilibrio
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Puntos Críticos y Estabilidad
Fluido circulando con velocidad local
Puntos Críticos
Puntos Críticos representan Soluciones Conocidas
es solución de la E.D. original (1)
A esta solución se la denomina Solución de
Equilibrio
Un punto crítico es estable si para pequeñas
perturbaciones alrededor de él la solución
permanece cerca del punto para todo
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Ejemplo
Consideremos una ecuación diferencial para un
modelo poblacional
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Caso General
Dado el sistema
Sean y
Funciones de clase C1 en alguna región R del
plano . Esta Región se denomina Plano de
Fase
Del teorema de existencia y unicidad se sigue que
si es cualquier número y es
cualquier punto del plano de las fases, existe
una única solución del sistema
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Solución de Equilibrio
Las Funciones
Forman la solución del
sistema y se pueden representar por medio de una
trayectoria ( ) en el plano de las
fases. Se define como Punto Crítico al punto,
perteneciente al plano de las fases, con
coordenadas
tales que
De forma tal que
Una solución tal de valor constante se
denomina Solución de Equilibrio
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Estabilidad
Permanecen cerca de
,
Entonces es un punto crítico
estable
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Estabilidad Asintótica
Si además de ser estable cada trayectoria que
comienza suficientemente cercana a
, se aproxima a él cuando El punto crítico se
llama asintóticamente estable
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Sistema EDO lineal de 1 orden
Det. de la matriz de los coeficientes A
(0,0) es el único punto crítico AISLADO
(1)
? son los valores propios de la matriz de
coeficientes A los que se calculan a partir de
(2)
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Casos Principales
Casos Frontera
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Ejemplo
Consideremos el sistema autónomo
constante
Punto crítico (0,0)
Si
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Nodos
Nodo propio
Nodo impropio
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Casos Principales
Casos Frontera
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Solución de (1)
(3)
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Casos Principales
Casos Frontera
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Casos Principales
Casos Frontera
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(No Transcript)
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(No Transcript)
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Casos Principales
Casos Frontera
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(No Transcript)
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Casos Principales
Casos Frontera
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Puntos Críticos y Estabilidad de Sistemas Lineales
Casos Principales
Casos Frontera
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Estabilidad y trayectorias para puntos críticos
de sistemas de EDO de primer orden lineales
Sistema EDOL Autónomo