Nepriama

1
Nepriama úmernost

• ISCED 2

2
Príklad ako poznáme nepriamu úmernost zo 7.
rocníka
Traja maliari vymalujú budovu za 120 hodín. Kolko
maliarov vymaluje budovu za 90 hodín?
x
y
3 maliari .......................................1
20 hod
x maliarov ......................................9
0 hod
x 3 120 90
90x 3 . 120
90x 360
x 4
Za 90 hod vymaluje budovu 4 maliari.
A teraz sa pozrieme na nepriamu úmernost inak,
ale budeme vychádzat z tohto príkladu.
V každom príklade budú vystupovat dve veliciny,
ktoré oznacíme x a y.
V tomto príklade sú to pocet maliarov(x) a cas(y).
3
Nepriamu úmernost si budeme vyjadrovat tiež 3
spôsobmi

• TABULKA
• ROVNICA
• GRAF

Budeme vytvárat tabulku, rovnicu, graf a
vyjadrovat vztah medzi nimi...
4
TABULKA
Pocet maliarov x Cas y
1
2
3
4
5
6
120
360
180
90
72
60
Za velicinu x (pocet maliarov) si zvolíme
lubovolné císla, snažíme sa cím najjednoduchšie.
Aj pocet císel môže byt lubovolný, ak nie je daný
pocet. Teraz sme vybrali císla od 1 po 6.
Z príkladu vieme, že 3 maliari vymalujú budovu za
120 hod.
Najdôležitejšie je zistit, za aký cas vymaluje
jeden maliar.
Jeden maliar ..... 120 . 3 360 hod (jednému to
bude trvat 3-krát dlhšie ako trom maliarom)
A dopocítame ostatné hodnoty y 3602180,
360490, 360572, 360660
Ciže 2 maliari vymalujú za 180 hod a tak dalej.
(Pozor, kedy násobíme a kedy delíme, presne
opacne ako pri priamej úmernosti)
Velmi dôležitý je údaj, za aký cas sa vymaluje
jeden maliar, ciže 360 hod.
Pomocou neho môžeme jednoducho vypocítat všetky
ostatné údaje v tabulke.
Budeme ho nazývat konštanta a oznacovat k.
k 360
5
ROVNICA
Tabulka obsahuje 2 veliciny (prvý riadok x, druhý
riadok y), tak aj rovnica musí obsahovat 2
veliciny (x,y).
(Pozor, pri priamej úmernosti sme delili)
Sledujme v tabulke budeme násobit v každom
stlpci x.y
x y
1
2
3
4
5
6
120
360
180
90
72
60
360
360
360
360
360
360
Ciže pocítame 1.360360, 2.180360,
3.120360, ... A doplníme do tabulky.
V tretom riadku dostávame stále rovnaké císlo a
to našu konštantu k 360.
Z toho potom vyplýva
Po úprave dostaneme
to je rovnica nepriamej úmernosti
Všeobecne potom platí
, kde k je konštanta (nemenné císlo) a x,y sú
premenné veliciny xgt0, ygt0
Konštantu k vypocítame, ak vynásobíme x a y v
ktoromkolvek stlpci v tabulke, ciže
kx.y (Porovnajte si, ako vyzerá rovnica priamej
úmernosti a ako sa vypocíta koeficient)
6
GRAF
Graf budeme znázornovat v pravouhlej sústave
súradníc.
Na osi x budeme znázornovat prvú velicinu (pocet
maliarov) a na osi y budeme znázornovat druhú
velicinu (cas).
Znova si pomôžeme tabulkou
A
B
x y
1
2
3
4
5
6
120
360
180
90
72
60
Každý stlpec bude predstavovat jeden bod.
Prvý bod, ktorý si oznacíme A, bude mat súradnice
1360.
Další bod B bude mat súradnice 2,180 a tak
dalej
A1360 C3120 E572 B2180 D490
F660
Tieto body zobrazíme v pravouhlej sústave
súradníc a pospájame ich...
7
Kedže môžeme mat pri úlohe len kladné císla,
stací nám zobrazit, len kladné casti osí. A kedže
druhá velicina sú velké císla, môžeme si zmenit
jednotkovú úsecku na osi y ako vidíte na obrázku.
A
Znázornime body, ktoré sme dostali z tabulky
B
A1360 C3120 E572 B2180 D490
F660
C
D
E
F
Pospájame všetky body.
Vznikla nám krivka, ktorá má svoj názov -
hyperbola.
Grafom nepriamej úmernosti je krivka, ktorá sa
nazýva hyperbola.
8
Príklady na nepriamu úmernost

• Tabulka, rovnica a graf

9
1.) Vytvorte tabulku nepriamej úmernosti pre
hodnoty x?1,2,3,4,6,12, danú rovnicou
Vytvoríme tabulku, kde do prvého riadku dosadíme
dané císla
x y
1
2
3
4
6
12
20
60
30
15
10
5
Postupne budeme pocítat hodnoty y, ciže druhý
riadok, dosadzovaním do rovnice
A to tak, že v prvom stlpci za x dosadíme 1,
ciže y601 a vypocítame, že y60.
Postupne pokracujeme dalej, za x dosadíme 2,
ciže y602 a dostávame, že y30.
A tak dalej
y60320
y60610
y60415
y60125
Jasné, že to pocítame spamäti, ciže zapísat stací
len tabulku.
Všimnite si tabulku nepriamej úmernosti ak sa
císla v 1.riadku zväcšujú, tak sa v 2.riadku
zmenšujú. Pri priamej úmernosti ak sa v 1.riadku
zväcšujú, tak sa aj v 2.riadku zväcšujú.
10
2.) Doplnte tabulku nepriamej úmernosti, urcte
koeficient a zapíšte rovnicu nepriamej úmernosti.
x y
1
2
3
4
5
6
4
12
6
3
2,4
2
a) najprv urcíme koeficient nepriamej úmernosti
- a to zo 4.stlpca, lebo poznáme hodnotu x aj y,
ciže je to bod 4,3
- koeficient vypocítame jednoducho k4.3, takže
k12
b) rovnicu je potom už jednoducho zapísat
c) dopocítame hodnoty v tabulke ako v
predchádzajúcom príklade
- delíme 12 (koeficient) s hodnotami v prvom
riadku a dostaneme nasledujúce hodnoty v druhom
riadku
11
3.) Zostrojte graf nepriamej úmernosti, danú
rovnicou
Vieme, že graf nepriamej úmernosti je hyperbola.
Aby sme mohlo zostrojit hyperbolu nestacia nám 2
body ako pri priamke. Cím viac bodov urobíme, tým
to bude presnejšie. Najmenej však 4 body
zostrojíme.
Urobíme si tabulku, v ktorej si vyberieme 4
hodnoty x a vypocítame 4 hodnoty y. Vyberáme si
také císla, aby sa nám dobre delilo.
x 1 2 4 8
y 8 4 2 1
Vypocítame hodnoty y v druhom riadku dosadzovaním
do daného vzorca.
Znázornime tieto body 18, 24, 42, 81.
A zostrojíme hyperbolu prechádzajúcu týmito bodmi.
12
4.) Zapíšte rovnicu nepriamej úmernosti, ktorej
graf je na obrázku
Všeobecná rovnica priamej úmernosti je
Treba vypocítat koeficient.
Potrebujeme jeden bod z hyperboly.
Ten bod vycítame z grafu, že má súradnice 73.
Ciže x7, y3
Dosadíme do rovnice
Rovnica
13
5.) Doplnte chýbajúce súradnice bodov, ktoré
ležia na grafe nepriamej úmernosti danou rovnicou
A3y B2y Cx6 Dx9 E4y Fx72 G10y
Hx5
y723
y24
A324
y722
y36
B236
672x
x12
C126
972x
x8
D89
y724
y18
E418
7272x
x1
F172
y7210
y7,2
G107,2
572x
x14,4
H14,45
14
Úlohy

• Naštudovat a porozumiet
• Prepísat komentáre pri príkladoch netreba
  prepisovat
• Príklad Napíšte rovnicu nepriamej úmernosti,
  ktorej graf prechádza bodom A81/2
• Mailom pošlite rovnicu, ktorá vám vyšla v príklade