Tema 4

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Tema 4 Sistema de partículas y sólido rígido.
4.1.- Definición y clasificación de sistemas de
partículas. 4.2.- Centro de masas. Movimiento
del centro de masas de un sistema de partículas.
4.3.- Momento angular de un sistema de
partículas. Variación temporal del momento
angular. 4.4.- Momento angular interno y
orbital. 4.5.- Cinemática del sólido rígido.
4.6.- Movimiento de traslación de un sólido
rígido. 4.7.- Movimiento de rotación en torno a
un eje fijo de un sólido rígido. 4.8.-
Movimiento de traslación y rotación combinados de
un sólido rígido. Movimiento de rodadura. 4.9.-
Movimiento giroscópico. 4.10.- Condiciones de
equilibrio. 4.11.- Energía cinética de un
sistema de partículas. 4.12.- Energía propia,
energía total y energía interna de un sistema de
partículas. 4.13.- Energía cinética de un sólido
rígido. 4.14.- Energía total de un sólido
rígido. 4.15.- Colisiones.
Bibliografía Título Física. Aut. M. Alonso,
E. J. Finn Ed. Addison-Wesley Año 1995.
Temas 13 y 14. Título Guía para un curso de
Física General-Mecánica I. Aut. P. Martel
Escobar. Ed. Servicio de reprografía de la
ULPGC. Año 1994. Temas 4 y 5.
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4.1 Definición y clasificación de los sistemas
de partículas.

• Qué es un sistema de partículas?
• Modelo más complejo que el de la partícula.
  Considera los objetos como agregados de
  partículas que interaccionan.
• Se usa cuando el modelo de partícula no es
  adecuado y considera las dimensiones del objeto
  en estudio.

• Clasificación de los sistemas de partículas.

Discretos nº finito de partículas
Continuos distribución continua de materia
Deformables Rígidos Cambia
distancia No cambia
Deformables
Rígidos Cambia forma
No cambia
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4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de
masas de un sistema de partículas.

• Centro de masa (CM)
• Para un sistema de partículas discreto el CM
  es un punto cuya posición, velocidad y
  aceleración vienen dadas por

• Se puede colocar un sistema de referencia en el
  CM llamado sistema C (SC), distinto del sistema
  inercial donde se encuentra el observador que se
  llama sistema laboratorio o sistema L (SL).

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4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de
masas de un sistema de partículas.

• Para un sistema de partículas continuo la
  posición, velocidad y aceleración del CM vienen
  dadas por

Centro de masa de algunos sistemas de partículas
continuos
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4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de
masas de un sistema de partículas.

• Momento lineal de un sistema de partículas
• Para un sistema de partículas discreto se
  define el momento lineal del sistema como

• Para un sistema de referencia colocado en el CM
  del sistema de partículas (sistema C) el CM está
  en reposo (su velocidad es nula). Por tanto en
  relación con el sistema C el momento lineal del
  sistema es nulo.

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4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de
masas de un sistema de partículas.

• Fuerzas internas y fuerzas externas

• Sistema S

• Fuerza externa resultante que actúa sobre el
  sistema S

• Para el sistema S se puede demostrar que

• Si el sistema S se encuentra aislado

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4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de
masas de un sistema de partículas.
Trayectoria del CM de un sistema de partículas
aislado
Trayectoria del CM de sistemas de partículas
sometido a fuerzas externas
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4.3 Momento angular de un sistema de partículas.

• Para un sistema de dos partículas el momento
  angular del sistema respecto de un punto O se
  define como

• Y el momento de las fuerzas externas respecto de
  un punto O se define como

• Para el sistema de partículas se puede demostrar
  que

• Si no hay fuerzas externas, o la suma de sus
  momentos respecto al punto O es nula, entonces

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4.4 Momento angular interno y orbital.

• Se define el momento angular interno de un
  sistema de partículas como el momento angular
  total calculado con respecto al CM o sistema C

• Se define el momento angular orbital de un
  sistema de partículas como el momento angular del
  CM calculado con respecto a O o sistema L

• Para el sistema de partículas se puede demostrar
  que

• También se puede demostrar que

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4.4 Momento angular interno y orbital.
Momentos angulares interno y orbital de algunos
sistemas de partículas
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4.5 Cinemática del sólido rígido.

• Un sólido rígido puede presentar los siguientes
  movimientos

• Movimiento de traslación

Todas las partículas describen trayectorias
paralelas. En un instante dado todos los puntos
del sólido poseen la misma velocidad y
aceleración.

• Movimiento de rotación (alrededor de un eje)

Todas las partículas describen trayectorias
circulares alrededor de una línea llamada eje de
rotación. En un instante dado todos los puntos
del sólido poseen la misma velocidad y
aceleración angular.
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4.5 Cinemática del sólido rígido.

• Movimiento general

Rotación
Este movimiento siempre puede considerarse como
una combinación de una traslación y una rotación.
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4.6 Movimiento de traslación de un sólido
rígido.

• Ecuación del movimiento para la traslación de un
  sólido rígido.

• Como todas las partículas del sólido se mueven
  con la misma velocidad y aceleración, el estudio
  del movimiento de traslación del sólido se puede
  llevar a cabo analizando el movimiento de su CM.
• El movimiento del CM viene dado por

• Por tanto, tomando el CM y usando los métodos
  explicados en el tema anterior para la dinámica
  de la partícula, se puede analizar el movimiento
  de traslación del sólido rígido.

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4.7 Movimiento de rotación en torno a un eje
fijo de un sólido rígido.

• Momento angular y momento de inercia.

• Considérese una placa delgada sólida que rota
  alrededor de un eje de rotación fijo.

• El momento angular del elemento Ai de la placa
  respecto O es

• El momento angular de toda la placa respecto al
  punto O es

• Definiendo el momento de inercia para el eje ZZ
  que pasa por O como

Ecuación vectorial. El momento angular tiene la
misma dirección que la velocidad angular para un
sólido plano.
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4.7 Movimiento de rotación en torno a un eje
fijo de un sólido rígido.

• Considérese ahora un sólido rígido de forma
  arbitraria rotando alrededor de un eje fijo.

• El momento angular del punto Ai del sólido
  respecto a O es

• El momento angular total del sólido respecto al
  punto O es

• No obstante se cumple siempre que la componente
  del momento angular a lo largo del eje de
  rotación Z es

Ecuación escalar. Válida independientemente de la
forma del cuerpo.

• Sin embargo para cada cuerpo independientemente
  de su forma se verifica que existen al menos tres
  direcciones mutuamente perpendiculares para las
  que el momento angular es paralelo al eje de
  rotación.
• Estos son los tres ejes principales de inercia
  (XO, YO, ZO) y sus correspondientes momentos de
  inercia se conocen como momentos principales de
  inercia (I1, I2, I3). Si el eje de giro coincide
  con una de estas direcciones se cumple

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4.7 Movimiento de rotación en torno a un eje
fijo de un sólido rígido.

• Cuando el cuerpo posee algún tipo de simetría,
  los ejes principales coinciden con los ejes de
  simetría.

• Dos teoremas importantes relacionados con el
  cálculo del momento de inercia son

Teorema de Steiner
Teorema de los ejes paralelos
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4.7 Movimiento de rotación en torno a un eje
fijo de un sólido rígido.

• Hemos visto que el momento de inercia para un
  sistema de partículas discreto se define

• Para un objeto continuo el sumatorio anterior se
  reemplaza por una integral

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4.7 Movimiento de rotación en torno a un eje
fijo de un sólido rígido.

• Ecuación del movimiento para la rotación de un
  sólido rígido que gira en torno a un eje fijo
  (que es principal de inercia).

• El momento de las fuerzas exteriores para un
  sólido rígido que gira alrededor de un eje
  principal de inercia que pasa por O se expresa

Rotación en torno a un eje
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4.8 Movimiento de traslación y rotación
combinados. Movimiento de rodadura.

• Ecuaciones del movimiento de traslación y
  rotación combinados de un sólido rígido.

• Para un sólido rígido que se traslada y que gira
  alrededor de un eje que pasa por su CM, las
  ecuaciones del movimiento son

Traslación
Rotación en torno a un eje

• Tipos de movimientos de un sólido rígido de forma
  cilíndrica que se mueve sobre una superficie plana

• El cilindro desliza

• El mismo punto del sólido permanece en todo
  momento en contacto con la superficie.

• El cilindro tiene un movimiento de traslación.

• Todos los puntos del sólido tienen la misma
  velocidad para cualquier instante de tiempo.

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4.8 Movimiento de traslación y rotación
combinados. Movimiento de rodadura.

• El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de
  rodadura.

• Un punto distinto del sólido en cada instante
  permanece en contacto con la superficie
  verificándose.

R

• El cilindro tiene un movimiento de traslación y
  rotación combinados.

Traslación
Rotación

• La velocidad del punto de contacto con la
  superficie es nula.
• Si existe fuerza de rozamiento ésta es estática.

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4.8 Movimiento de traslación y rotación
combinados. Movimiento de rodadura.

• El cilindro rueda y desliza.

• Al rodar y deslizar en este caso se tiene que

• El cilindro tiene un movimiento de traslación y
  rotación combinados, pero la velocidad del punto
  de contacto no es nula.
• Si existe fuerza de rozamiento ésta es dinámica.

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4.9 Movimiento giroscópico.

• Un giroscopio (o giróscopo) es un dispositivo en
  el que el eje de rotación puede cambiar
  libremente de dirección. Un ejemplo se ilustra en
  la siguiente figura.

• Si la rueda gira libremente alrededor del eje de
  simetría AB de forma que respecto a O el momento
  de fuerzas es nulo, entonces,

• Si se mueve el giroscopio alrededor de una
  habitación el eje de simetría AB apuntará siempre
  en la misma dirección.

• Si el eje del giroscopio se coloca de modo que AB
  sea horizontal y apunte en la dirección
  este-oeste, debido a la rotación terrestre el eje
  se inclinará y después de seis horas está en
  posición vertical.

• Esta característica de los giroscopios a mantener
  su eje de rotación fijo, hace que tenga una gran
  aplicación como sistema de nivelación y
  estabilizador (en aviones, barcos y sondas
  espaciales).

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4.9 Movimiento giroscópico.

• Si el giroscopio ahora se encuentra apoyado en un
  extremo O entonces el momento de las fuerzas
  respecto O no es nulo y se tiene

• Si en primer lugar el eje se mantiene horizontal
  con la rueda desprovista de giro y se deja en
  libertad, entonces la rueda caerá girando
  alrededor de un eje horizontal que pasa por O.

• Este giro se debe a que el momento de las fuerzas
  externas respecto a O no es nulo (debido al peso
  de la rueda), actuando en la dirección horizontal
  y.

• Inicialmente el momento angular es nulo al no
  haber rotación.
• Después de un cierto intervalo de tiempo se
  produce un cambio en éste que viene dado por

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4.9 Movimiento giroscópico.

• Si en segundo lugar el eje se mantiene horizontal
  con la rueda provista de giro y se deja en
  libertad, entonces la rueda no caerá sino que el
  eje de rotación de la rueda se desplazará en el
  plano horizontal en la dirección del eje y,
  describiendo un movimiento circular. A este
  movimiento se le denomina precesión.

• En este caso el momento angular inicial no es
  nulo, y tiene un valor igual a

• La variación del momento angular (en la dirección
  del momento de fuerzas) será en la dirección
  perpendicular a la del momento angular.
• Esto da lugar a que el momento angular cambie en
  dirección y no en módulo describiendo un
  movimiento circular.

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4.9 Movimiento giroscópico.

• La velocidad angular de precesión se puede
  calcular teniendo en cuenta que el cambio del
  momento angular en un tiempo infinitesimal es

• El ángulo barrido por el eje en su movimiento es

• Y la velocidad angular de precesión es por tanto

• Además del movimiento de precesión, el eje de la
  rueda realiza una pequeña oscilación hacia arriba
  y hacia abajo. Este movimiento se llama de
  nutación.

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4.9 Movimiento giroscópico.

• Otro ejemplo de movimiento giroscópico lo realiza
  un trompo o peonza.

• La Tierra también realiza un movimiento de
  precesión y nutación (precesión de los
  equinoccios).

• El plano del Ecuador forma un ángulo de 23º27
  con el plano de la órbita terrestre alrededor del
  Sol (eclíptica). La intersección de ambos se
  llama línea de equinoccios.

• Debido a esta inclinación y a que la Tierra no es
  una esfera (elipsoide), hay un momento de fuerzas
  (debido al Sol y la Luna), en la dirección
  perpendicular al eje de rotación de la Tierra
  (que pasa por los Polos), que hace que éste tenga
  un movimiento de precesión y nutación.

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4.10 Condiciones de equilibrio.

• Para el equilibrio de un sólido rígido es
  necesario considerar el equilibrio con respecto
  tanto a la traslación como a la rotación. Las
  condiciones han de ser

• Esta situación implica que

• Por tanto, para que un sólido rígido en
  equilibrio esté quieto, es necesario que en el
  instante inicial se encuentre en reposo.

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4.11 Energía cinética de un sistema de
partículas.

• La energía cinética de un sistema de partículas
  (respecto un SRI o sistema L) se define

Un término para cada partícula

• Teniendo en cuenta que el trabajo total lo
  podemos separar en el trabajo de las fuerzas
  externas y las internas, es posible expresar el
  trabajo total como

• Con lo cual el teorema del trabajo y la energía
  cinética para un sistema de partículas se expresa
  como

• Se define la energía cinética interna como la
  energía cinética referida a un sistema de
  referencia situado en el CM o sistema C.

• La relación entre la energía cinética referida a
  un sistema C y un sistema L viene dada por

Teorema de Koening
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4.12 Energía propia, energía interna y energía
total de un sistema de partículas.

• Si las fuerzas internas que actúan en un sistema
  de partículas son conservativas entonces hay
  definida una energía potencial interna y

• Hay definido un término de energía potencial
  interna para cada par de partículas

• La energía potencial interna depende de la
  posición relativa de las partículas y cambia
  según varía la posición relativa de las
  partículas durante el movimiento. Si las fuerzas
  son centrales la energía potencial interna sólo
  depende de la distancia que separa a cada par de
  partículas.

• Definiendo la energía propia como

• Si el sistema de partículas se encuentra aislado
  o el trabajo de las fuerzas externas es nulo

• Se define la energía interna como

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4.12 Energía propia, energía interna y energía
total de un sistema de partículas.

• Si las fuerzas externas que actúan sobre el
  sistema son conservativas entonces hay definida
  una energía potencial externa y

• Definiendo la energía total como

• Hay definido un término de energía potencial
  externa para cada partícula del sistema

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4.13 Energía cinética de un sólido rígido.

• Sea un sólido rígido que tiene un movimiento de
  traslación.
• Como todas las partículas del sólido se mueven
  con idéntica velocidad, que será igual a la de su
  CM y su energía cinética será

• Sea un sólido rígido que gira alrededor de un eje
  fijo.
• Como las partículas del sólido describen un
  movimiento circular alrededor del eje, su energía
  cinética será

Rotación en torno a un eje
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4.13 Energía cinética de un sólido rígido.

• Sea un sólido rígido que gira alrededor de un eje
  que pasa por su CM y al mismo tiempo tiene un
  movimiento de traslación respecto a un observador
  inercial.
• La energía cinética respecto a un observador
  inercial es

• Y como el único movimiento de las partículas
  respecto a un eje que pasa por el CM es de
  rotación, la energía cinética interna será de
  rotación y por tanto

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4.14 Energía total de un sólido rígido.

• Para un sólido rígido ya que es indeformable y la
  distancia relativa entre las partículas que lo
  constituyen no varía con el tiempo, se tiene que
  su energía potencial interna es constante y por
  tanto,

• De este modo, la energía total para un sólido
  rígido se reduce a

• Para un sólido rígido que rueda sin deslizar
  sobre una superficie, ya que si existe fuerza de
  rozamiento ésta es estática, se tiene que,

• Para un sólido rígido que rueda y desliza sobre
  una superficie, ya que si existe fuerza de
  rozamiento ésta es dinámica, se tiene que,

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4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de
masas de un sistema de partículas.

• Para un sistema de partículas continuo la
  posición, velocidad y aceleración del CM vienen
  dadas por

Centro de masa de algunos sistemas de partículas
continuos