Teoria das filas

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Teoria das filas
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Teoria das filas

• Em duas horas????

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ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS

• Clientes
• Servidores
• Intervalo entre chegadas (continuo)
• Duração do serviço (continuo)
• POR QUE NÃO SIMULAR????
• São fórmulas
  relevantes???

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ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS

• Clientes
• Servidores
• Intervalo entre chegadas
• Duração do serviço
• Sofisticações sobre o tema
• fila limitada,desistência,priorid
  ades....

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ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS

• Clientes
• Servidores
• Intervalo entre chegadas
• Duração do serviço
• Sofisticações sobre o tema
• fila limitada,desistência,prioridades.
  ...
• Ignorâncias heterogeneidade,sistemas de
  filas,...

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O resultado mais aceito é simples

• Teorema de Little
• Eclientes no sistema NE ,
• Taxa média de chegadas?,
• Tempo médio gasto no sistema T,
• Então qualquer que seja fila ergódica, temos
• NE ?T (e NqE W) .
• .

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Littles theorem

• Nt médio em (0,t),
• ?(t) acumulado de clientes-segundos até t,
• Nt ?(t)/t
• a(t) chegadas em (0,t),
• Tt tempo de sistema/cliente até t (a-1 .? )
• ?t taxa média de chegada em (0,t) (a-1/t)
• Ergodicidade ? NE?T

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MODELÃO

• Processos de nascimento e morte

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MODELÃO

• Processos de nascimento e morte
• Qual o vetor de estado???
• Primeiro chute de clientes na fila/sistema por
  categoria
• Segundo...em filas de diferentes servidores
• Terceiro memória

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MODELÃO

• Processos de nascimento e morte (pràticamente)
  sem memória
• São os ditos Markovianos (M)

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MODELÃO

• Processos de nascimento e morte
• Mais fácil população eterna ou nascimento puro
• Intuição tempo discreto
• P(XT1 k)(1-p)P(XT k) p P(XT k-1) para kgt1
• Note p independe de k e de T ....
• (se quiséssemos poderíamos ter pT pK pT,k )

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Modelo de nascimento contínuo

• Nascimentos independentes (sem memória)
• P (exatamente 1 nascimento entre t e
  t?/população é k)
• ?k ? o(?), onde o(.)....
• o(.) e diferenciabilidade
• Então se Pk(t)PX(t)k, temos (com Plt0(.)0)
• Pk(t?)Pk(t) 1- (?k ?) -o(?) Pk-1(t) ?k ?
  o(?)
• Ou, para ??0, P.k(t) Pk(t) - (?k) Pk-1(t)
  ?k

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Modelo M de nascimento contínuo

• Nascimentos independentes (sem memória)
• Poisson
• Taxa fixa de nascimentos
• P.k(t) Pk(t) -? Pk-1(t) ? (com Plt0(.)0)
  .
• Com Po(0) 1, temos Po(t) e-?t,
• P1(t) ?t
  e-?t
• 
  Pk(t) (k!)-1 (?t)k e-?t
• 
  
• (note que a cada instante as probabilidades
  somam 1)

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Modelo M contínuo de morte

• Inverso de Poisson
• Tempos exponenciais
• Intervalos entre chegadas são exponenciais
• se e só se
• O processo de chegada é Poisson.
• Se chegadas Poisson,
• P(tempo da 1ª chegadagtt) 1- P0Poisson(t)1-
  e-?t,

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Exponencial é sem memória

• Tempos exponenciais
• P(tempo da 1ª chegadagtt) 1- P0Poisson(t)1-
  e-?t,
• Sabendo que até o instante T não ocorreram
  chegadas,
• Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (Tt)??

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Exponencial é sem memória

• Tempos exponenciais
• P(tempo da 1ª chegadagtt) 1- P0Poisson(t)1-
  e-?t,
• Sabendo que até o instante T não ocorreram
  chegadas,
• Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (Tt)??
• P(t1Tt/t1gtT) 1-P(t1T)-1 P(t1Tt) -
  P(t1T) 1- e-?t !!!!!

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M/M/1 é fácil

• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são
  Poisson de razão ? e os tempos de serviço
  exponenciais de média µ .
• Quais as estatísticas do sistema e qual a relação
  entre saída e entrada ???

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M/M/1 é fácil

• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são
  Poisson de razão ? e os tempos de serviço
  exponenciais de média µ .
• Quais as estatísticas do sistema e qual a relação
  entre saída e entrada ???
• Fazer grafo de nascimento e morte com bolinhas
  que permitam ver que o sistema de equações
  diferenciais é
• P.k(t) Pk(t) - (?k) Pk-1(t) ?k Pk(t) -
  (µk) Pk1(t) µk
• Pk(t) - (?k µk) Pk-1(t) ?k
  Pk(t) - (µk) Pk1(t) µk
• com ?k? e µ µk .

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M/M/1 é fácil,mas não tanto

• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são
  Poisson de razão ? e os tempos de serviço
  exponenciais de média µ .
• P.k(t) Pk(t) - (?k) Pk-1(t) ?k Pk(t) -
  (µk) Pk1(t) µk
• - (? µ) Pk(t) ? Pk-1(t)
  µPk1(t)
• com ?k? e µ µk .
• Transitório
• Regime (se existir, ergodicidade) P.k(t) 0

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M/M/1 em regime é fácil

• Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são
  Poisson de razão ? e os tempos de serviço
  exponenciais de média µ .
• P.k(t) - (? µ) Pk(t) ? Pk-1(t) µPk1(t)
• - (? µ) pk ? pk-1 µpk1 0
• Definido ?(?/µ), e impondo ?lt1,
• pkp0 ?k
• normalizando para soma de probabilidades 1,
  temos p01-?
• a/(1-a)Sak.

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M/M/1 impacto do congestionamento

• EN?/(1-?)
• ET? EN (1/µ)/(1-?)
• Var(N) ?/(1-?)2

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M/M/1 em regime é fácil

• Uma fila M/M/1 com chegadas Poisson de razão ?
  e os tempos de serviço exponenciais de média µ
  (µlt?) tem muito pouco naturalmente saída
  Poisson de razão ?
• Redes de Jackson
• .

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Complicando a M/M/1

• M/M/1 com desencorajamento (?k cai com k/ pg 99)
• M/M/8 (µkkµ)
• M/M/m (µk (mink,m)µ)
• M/M/1/K (?k? para kK, 0 caso contrário)
• M/M/m/m (só cabem m)- bonzinho para nós
• M/M/1//M pop. Finita M (?k?/(M-k) para kM, 0
  caso contrário)
• M/M/8//M
• M/M/m/k/M

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Servidores não homogêneos

• Filas x controle estocástico
• servidores não homogêneos
• Filas sob custos de expansão um mínimo de
  capacidade de serviço é necessária.
• Controle já tendo dois servidores instalados,
  melhor política é a de risca no chão (limiar)

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Políticas de atendimento

• FCFS, LCFS até hipotética SCFS mudam os momentos
  de ordem maior que média mas não afetam
  estabilidade
• Redes de filas até FCFS pode ser instável
  (estações virtuais) no caso não acíclico
• Surpresa kan-ban é instável regime não é
  transitório.

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Complicando filas Markovianas

• Quanto tempo entre a chegada de um bundle de k
  clientes em chegada individual Poison??
  Telefonia
• Ou
• Quanto tempo para ser servido por k servidores de
  taxas kµ, correspondente a uma taxa média µ?
• Erlang de parâmetros R(taxa) e k(forma)
• pdf fRk(t) (k-1)!-1 R (Rt)k-1 e-Rt .
• com k1 R? exponencial (? e-?t)
• com k?8 tende para Dirac, mas média também
  explode
• (exceto se mantiver (k/R) média constante)

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Ferramental

• Devido à presença de produtos de convolução (pdf
  de soma de tempos, transferencia em sistemas
  lineares..) transformadas de Laplace ou z .
• Saída de M/M/1
• P(vazio). (tempo de chegada serviço)
• P(não vazio) (tempo de serviço)

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Mas, cuidadoparadoxo do tempo de espera

• Chegadas de ônibus no ponto dadas por exponencial
  média 60 min.
• Quanto tempo devo esperar por um onibus em
  média???
• Primeira vista a falta de memória da exponencial
  diz 60 minutos
• Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios
  de um intervalo entre chegadas, eu deveia esperar
  30 minutos!!!

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Mas, cuidadoparadoxo do tempo de espera

• - Mas, se pensarmos que em média chegamos no
  meios de um intervalo entre chegadas, eu deveria
  esperar 30 minutos!!!
• Errado supondo 2 choferes se alternando um com
  intervalos de 30 e 90 minutos (em média 60)
• Teremos ¾ de chance chegar chofer lento e ¼ de
  chance de chofer rápido, dando interarrival time
  de 75 minutos.
• Para exponencial tipico interval time é de 120
  minutos, o que dá 0s 60 do memoryless