Teoria das filas

1
Teoria das filas

2
Introdução

• Por que aparecem as filas?
• Não é eficiente, nem racional, que cada um
  disponha de todos os recursos individualmente.
  Por exemplo
• que cada pessoa disponha do uso exclusivo de uma
  rua para se movimentar
• que cada pessoa tenha um supermercado para o seu
  abastecimento exclusivo
• Recursos limitados devem ser compartilhados.

3
Introdução

• Ao compartilhar recursos, pode acontecer que no
  momento em que se queira fazer uso de um recurso,
  este esteja ocupado,
• necessidade de esperar
• aparecem as filas
• Exemplo nos sistemas de fluxo pode acontecer a
  formação de filas

4
Sistemas de fluxo

• Um fluxo é o movimento de alguma entidade através
  de um ou mais canais de capacidade finita para ir
  de um ponto a outro.
• Capacidade finita significa que o canal só pode
  satisfazer a demanda a uma taxa finita.
• Exemplos
• fluxo de automóveis (entidades) através de uma
  rede de caminhos (canais)
• transmissão de mensagens telefônicas (entidades)
  através da rede (canal)

5
Sistemas de fluxo

• Se dividem em duas classes
• Determinísticos sistemas no qual o comportamento
  da demanda de serviço é totalmente previsível,
  isto é, a quantidade de demanda é exatamente
  conhecida sobre o intervalo de interesse.
• Aleatório não é possível predizer como vai se
  comportar a demanda de serviço, por exemplo, o
  instante de chegada de uma demanda é imprevisível.

6
Sistemas de fluxo

• Exemplo de fluxo determinístico
• Seja r a taxa de chegada (constante) de pacotes
  em uma rede de comutação a um buffer.
• Seja c a taxa (constante) com que esses pacotes
  são processados em cada nó.
• Se r gt c, o buffer do nó é inundado com pacotes,
  já que o número de pacotes em espera de serviço
  crescerá indefinidamente.
• Se r lt c, se tem um fluxo estável, o número de
  pacotes em espera de serviço é finito.

7
Sistemas de fluxo

• Exemplo de fluxo aleatório
• Um centro de computação em que as solicitações de
  impressão podem chegar em instantes
  imprevisíveis.
• Quando um trabalho de impressão chega, pode ser
  que o servidor esteja atendendo outro e seja
  necessário esperar.
• Se está desocupado, pode atender imediatamente à
  nova solicitação de impressão até que esta fique
  completa.

8
Teoria das filas

• Representação de uma fila

9
Teoria das filas

• Notação de Kendall para descrever uma fila
• A/B/C/K/m/Z

10
Teoria das filas

• Notação de Kendall para descrever uma fila
• A/B/C/K/m/Z

distribuição do tempo entre chegadas

• Alguns valores de A mais comuns
• M denota distribuição exponencial equivalente
  (M provém de Markoviano)
• G distribuição geral
• D representa um tempo fixo (determinístico)

11
Teoria das filas

• Notação de Kendall para descrever uma fila
• A/B/C/K/m/Z

distribuição do tempo entre chegadas

• Alguns valores de B mais comuns
• M denota distribuição exponencial equivalente (M
  provém de Markoviano)
• G distribuição geral
• D representa um tempo fixo (determinístico)

distribuição do tempo de serviço
12
Teoria das filas

• Notação de Kendall para descrever uma fila
• A/B/C/K/m/Z

distribuição do tempo entre chegadas
número de servidores
distribuição do tempo de serviço
13
Teoria das filas

• Notação de Kendall para descrever uma fila
• A/B/C/K/m/Z

distribuição do tempo entre chegadas

• K é omitido quando
• K ?

número de servidores
distribuição do tempo de serviço
número máximo de clientes permitidos no sistema
14
Teoria das filas

• Notação de Kendall para descrever uma fila
• A/B/C/K/m/Z

• m se omite quando
• m ?

distribuição do tempo entre chegadas
número de servidores
tamanho da população
distribuição do tempo de serviço
número máximo de clientes permitidos no sistema
15
Teoria das filas

• Notação de Kendall para descrever uma fila
• A/B/C/K/m/Z

disciplina de serviço
distribuição do tempo entre chegadas
número de servidores
tamanho da população
distribuição do tempo de serviço
número máximo de clientes permitidos no sistema

• Z se omite quando
• ????? FIFO

16
Teoria das filas

• Notações usadas nos sistemas de filas
• Ci i-ésimo usuário que entra ao sistema.
• ri tempo de chegada de Ci
• ti tempo entre as chegadas de Ci-1 e Ci (ti ri
  - ri-1)
• A(t) distribuição do tempo entre chegadas
  Pti?t
• xi tempo de serviço para Ci
• B(x) distribuição do tempo de serviço Pxi ?x
• wi tempo de espera na fila de Ci
• se tempo no sistema (fila mais serviço) de Ci
  (se wi xi)

17
Teoria das filas

• Notação de filas em diagrama temporal

Servidor
Fila
Ci Ci1
Ci2
18
Teoria das filas

• Notações usadas nos sistemas de filas (cont.)
• Ek estado do sistema (normalmente corresponde ao
  número de usuários no sistema)
• ?k?taxa média de chegada dos usuários ao sistema,
  quando este se encontra no estado k
• ?k taxa média de serviço quando o sistema se
  encontra no estado k

19
Teoria das filas

• Outros parâmetros de uma fila
• N(t) número de usuários no sistema no instante t
• L Ek número médio de usuários no sistema
  (em estado estacionário)
• LQ número médio de usuários na fila (em estado
  estacionário).
• T Es tempo médio de permanência de um
  usuário no sistema Ek/? (fórmula de Little)

20
Cadeias de Markov discretas

21
Cadeias de Markov discretas

• Markov estabeleceu uma simples e útil relação
  entre as variáveis aleatórias que forman
  processos estocásticos

22
Definições

• Estado se Xn i diz-se que o processo está no
  estado i no instante n, onde Xn, n0,1,2... é
  um processo estocástico que passa por um número
  finito ou contável de possíveis estados.
• Transição a transição de um estado a outro
  depende somente do estado atual, e não da
  história do processo

23
Observações

• No caso das cadeias discretas de Markov, os
  instantes de tempo nos quais a transição entre um
  estado e outro acontecem podem asumir apenas
  valores inteiros 0, 1, 2..., n. Em outras
  palavras, o tempo é discretizado.
• Os processos devem permanecer num estado
  determinado durante um tempo que deve estar
  geométricamente distribuído.

24
Observações

• Propriedade Markoviana
• PXn1 j Xn i, Xn-1 in-1,... X0 i0
• PXn1 j Xn i Pij ? 0
• Interpretação (sistema sem memória)
• A transição de um estado para outro só depende
  do estado atual, e não da história do processo.

25
Cadeias de Markov discretas
Xn denota a cidade na qual encontra-se o turista
ao meio-dia no dia n
X1
X2
X3
X4
X5
Curicó
Rancagua
Santiago
Valparaíso
Serena
1
2
3
4
5
...
Me leva?
t
26
Cadeias de Markov discretas
Curicó
Rancagua
Santiago
Valparaíso
Serena
1
2
3
4
5
...
Me leva?
t
27
Cadeias de Markov discretas
Curicó
Rancagua
Santiago
Valparaíso
Serena
1
2
3
4
5
...
Me leva?
t
28
Cadeias de Markov discretas
Curicó
Rancagua
Santiago
Valparaíso
Serena
1
2
3
4
5
...
Me leva?
t
29
Cadeias de Markov discretas
Curicó
Rancagua
Santiago
Valparaíso
Serena
...
1
2
3
4
5
Continuarei mais ao Norte?
t
30
Cadeias de Markov discretas

• Da minha viagem,n posso lhes dizer que
• Nos processos de Markov, o estado atual do
  sistema e as probabilidades de transição entre os
  diversos estados caracterizam o comportamento
  futuro do sistema.
• Já que um processo de Markov está num estado
  determinado, seu comportamento futuro não depende
  de sua história antes de chegar a esse estado.

31
Definições

• Cadeias de Markov são processos estocásticos
  X(t) que satisfazem
• pij probabilidade de transição do estado i para
  o estado j depende somente do estado i
• Ppij matriz de probabilidade de transição
• tempo em que o processo permanece no
  estado i, sem memória

32
Exemplo

• Considerando-se apenas o trajeto
  Santiago-Valparaíso-Serena, tem-se graficamente

(1)
Valpo
1/4
3/4
3/4
1/4
1/4
Santiago
(0)
Serena
1/2
(2)
1/4
33
(1)
Valpo
1/4
3/4
3/4
1/4
1/4
Santiago
(0)
Serena
1/2
(2)
1/4

• Números nos arcos dão a probabilidade pij do
  viajante ser recolhido por um carro
• Probabilidade do viajante permanecer em Serena
  até o dia seguinte é 1/2
• Números entre parênteses usados posteriormente

34
(1)
Valpo
1/4
3/4
3/4
1/4
1/4
Santiago
(0)
Serena
1/2
(2)
1/4

• Matriz de probabilidades de transição

35
Definições

• Num processo de Markov, se diz que um estado Sj é
  transiente se, de algum estado Sk que pode ser
  alcançado desde Sj, o sistema não pode voltar a
  Sj. A probabilidade de não voltar a si mesmo
  existe.

1
3
2
Estados 1 e 2 são transientes
36
Definições

• Se diz que um estado é recorrente se de cada
  estado Sk alcançável a partir de Sj, o sistema
  pode voltar a Sj.

1
3
2
Estados 1, 2 e 3 são recorrentes
37
Cadeias de Markov discretas

• Exemplo 1 predição do tempo
• Dois estados possíveis
• 0 chuva
• 1 não chuva
• Hipótese o tempo amanhã só depende de hoje
  (processo sem memória)
• Chove hoje ? probabilidade de chover amanhã ?
• Não chove hoje ? probabilidade de chover amanhã
  ?

38
Cadeias de Markov discretas

• Cadeia de Markov fica definida por

0
1
0
1
Graficamente
1
0
39
Cadeias de Markov discretas

• Exemplo 2 transformar um processo não-
  Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)
• Considere-se um elevador em um prédio de três
  andares

Estados
Andar 3
Andar 2
Andar 1
40
Cadeias de Markov discretas

• Processo não-Markoviano, porque no estado 2 é
  necessária a informação do estado anterior (1 ou
  3) para saber qual será a direção do elevador.
• Para que o processo seja Markoviano, se faz
  necessária uma redefinição dos estados.

41
Cadeias de Markov discretas

• Exemplo 2 transformar um processo
  não-Markoviano em Markoviano (às vezes é
  possível)

Redefinição dos estados
3 Andar 2, sentido abaixo
2 Andar 3, sentido abaixo
1 Andar 2, sentido acima
0 Andar 1, sentido acima
42
Cadeias de Markov discretas

• Da redefinição obtém-se o novo diagrama de
  estados

1
1
1
0
1
2
3
1
0 andar 1, sentido acima 1 andar 2,
sentido acima 2 andar 3, sentido abaixo
3 andar 2, sentido abaixo
43
Cadeias de Markov discretas

• Exemplo 2.1 transformar um processo
  não-Markoviano em Markoviano (às vezes é
  possível)
• Choveu, choveu ? amanhã choverá p0,7
• Não-choveu, choveu ? amanhã choverá p0,5
• Choveu, não choveu ? amanhã choverá p0,4
• Não choveu, não choveu ? amanhã choverá p0,2
• Usando a definição anterior NÃO é processo de
  Markov

44
Cadeias de Markov discretas

• Exemplo 2.1 transformar um processo não-
  Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)
• Motivo há contradição precisa-se de informação
  não só do dia presente, mas também do anterior.
• Redefinição de estados se o estado depende do
  tempo de ontem e hoje então SIM, pode ser
  Markoviano
• Para transformar um processo não-Markoviano em
  Markoviano (se possível), devem ser redefinidos
  os estados de maneira adequada.

45
Cadeias de Markov discretas

• Exemplo 2.1 transformar um processo não-
  Markoviano em Markoviano (às vezes é possível)
• Portanto, se são redefinidos os seguintes
  estados
• 0 Choveu, choveu
• 1 Não choveu, choveu
• 2 Choveu, não choveu
• 3 Não choveu, não choveu

46
Cadeias de Markov discretas
Estados
0 Choveu, choveu 1 Não choveu, choveu
2 Choveu, não choveu 3 Não choveu, não
choveu
Cadeia de Markov definida pela matriz de
probabilidade de transição
47
Definições

• ?i probabilidade estacionária de estar no
  estado i
• ?i(n) probabilidade de estar no estado I no
  instante n
• ?i(0) probabilidade inicial de estar no
  estado i
• ?(?0, ?1, ?2, , ?n)
• Por definição

48
Definições

• Exemplo
• Aplicando recursivamente
• ou

49
Definições

• Se a cadeia de Markov é irredutível e ergódica,
  então
• existe e ? é denominada a probabilidade límite
  de P, ou autovetor esquerdo de P.
• Obtenção de ?

50
Cadeias de Markov discretas

• Exemplo 3 utilizando o exemplo 1, se a
  probabilidade de que choverá hoje é 0.2 e
• Qual é a probabilidade incondicional de que
  amanhã choverá?

51
Cadeias de Markov discretas

• Aplicando o teorema da probabilidade total
• seja ? a probabilidade incondicional de que
  choverá amanhã.
• ? P(amanhã choverá hoje choveu)
• P(amanhã choverá hoje não choveu)

52
Cadeias de Markov discretas

• Exemplo 4 utilizando o exemplo 1
• Se e então a
  probabilidade límite de que choverá é

53
Cadeias de Markov discretas

• Voltando ao exemplo do turista

Me leva?
(1)
Valpo
1/4
3/4
3/4
1/4
1/4
Santiago
(0)
Serena
1/2
(2)
1/4
54
Cadeias de Markov discretas

• Do diagrama de estados pode obter-se a matriz
  de probabilidades de transição
• definindo-se a matriz de probabilidade como

55
Cadeias de Markov discretas

• Considerando-se a relação
• obtém-se que
• com

56
Cadeias de Markov discretas

• Resolvendo-se as equações obtém-se as
  probabilidades em estado de equilíbrio

57
Cadeias de Markov de tempo contínuo

58
Cadeias de Markov detempo contínuo

• Definição uma cadeia de Markov de tempo contínuo
  é um processo aleatório em que, dado o estado
  presente, o valor do processo no futuro não
  depende do passado.
• É como uma cadeia de Markov discreta, com a
  diferença de que o tempo de permanência em um
  estado é uma variável aleatória com distribuição
  exponencial.

59
Cadeias de Markov detempo contínuo

• Evolução a partir de um estado

taxa média de saída do estado i para o
estado j taxa média de saída do estado i para
o estado k probabilidade de transitar do
estado i ao estado j, no momento da transição
Pij
60
Cadeias de Markov detempo contínuo

• Definição
• tij (tik) tempo de permanência no estado i antes
  de transitar para j (k), caso passe para j(k).
• tij e tik são variáveis aleatórias com
  distribuição exponencial de parâmetros?? ij e ?
  ik respectivamente.
• Seja t o tempo de
  permanência no estado i. Do anterior se deduz que
  

t min tij , tik
t se distribui exponencialmente com parâmetro (?
ij? ik)
61
Cadeias de Markov detempo contínuo

• Propriedades
• O tempo de permanência em um estado é Markoviano
  (processo sem memória)
• A escolha do próximo estado se efetua no instante
  da transição e só depende do estado atual e não
  do passado, portanto é Markoviano.

62
Cadeias de Markov detempo contínuo

• Dado que o tempo de permanência em qualquer
  estado e a escolha do próximo estado são
  Markovianos, então tem-se uma cadeia de Markov de
  parâmetro contínuo.
• As variáveis aleatórias tempo de permanência no
  estado i e próximo estado visitado são
  independentes.

63
Cadeias de Markov detempo contínuo

• Definição formal

Um processo aleatório X(t) é uma cadeia de Markov
de tempo contínuo se
64
Cadeias de Markov detempo contínuo

• Exemplo processo de Poisson

j-i chegadas

• N(t) estado no instante t
• N(t) número de chegadas até t

65
O que é resolver uma cadeia de Markov?

• É encontrar as probabilidades de transição de
  qualquer estado i a qualquer estado j em um dado
  instante.
• Para resolver este problema se utilizará o
  princípio do balanço global

66
Princípio de balanço global

• Definições

. . .
. . .
67
Princípio de balanço global
Definições

• ?k probabilidade em regime estacionário de
  estar no estado k
• Outra interpretação fração de tempo que o
  sistema fica no estado k.

Unidade de tempo
Unidade de tempo
68
Princípio de balanço global
Definições

• ?k(t) probabilidade de estar no estado k no
  instante t
• ?ki taxa média de transição do estado k para o
  estado i
• ?k ?ki número médio de transições do
  estado k ao estado i, por unidade de tempo.

69
Princípio de balanço global
. . .
. . .
Número médio de entradas de qualquer estado k ao
estado i em ?t
número médio de saídas do estado i a qualquer
estado j em ?t
70
Princípio de balanço global

• Número de entradas totais ao estado i em??t
• Número de saídas totais desde o estado i em ?t

71
Princípio de balanço global

• Balanço de fluxos

Entradas líquidas médias por unidade de tempo (EN)
número médio de entradas totais por unidade de
tempo
número médio de saídas totais por unidade de tempo
-

• Considerando-se o número de entradas líquidas em
  um intervalo ?t, se tem que

72
Princípio de balanço global

• O número de entradas líquidas em ?t pode ser
  interpretado como

Unidade de tempo
73
Princípio de balanço global

• Usando-se novamente o balanço de fluxos

número de entradas totais em ?t
número de saídas totais em ?t
Variação do tempo de permanência no estado i, por
unidade de tempo
-

• Esta variação pode expressar-se em forma da
  equação de diferenças

(1)
74
Princípio de balanço global

• Dividindo por ?t em (1)

(2)

• Tomando-se o limite em (2)

(3)
Equação de balanço global para o estado i
75
Princípio de balanço global

• Equação de balanço global para um estado i
  qualquer

• Pode-se reescrever em forma vetorial da seguinte
  maneira

76
Princípio de balanço global

• Definindo-se

77
Equações de balanço global

• O conjunto das equações de balanço global pode
  expressar-se em forma matricial como

Além disso, sempre
Equações de balanço global
78
Equações de balanço global

• Em estado estacionário se tem que

fluxo de entrada fluxo de saída
Equações de balanço global em estado
estacionário
79
Equações de balanço global

• Os conjuntos de equações anteriores servem para
  resolver tanto a situação transiente como
  estacionária da cadeia de Markov. Isto é, nos
  permite encontrar as probabilidades de transição
  de qualquer estado i a qualquer estado j num
  intervalo t qualquer (Pij(t)).

80
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados

• Uma máquina funciona uma quantidade de tempo
  exponencialmente distribuída com média
  1/???Quando falha??se repara com a mesma
  distribuição em um tempo médio 1/?. Inicialmente,
  a máquina encontra-se funcionando.
• Deseja-se determinar a probabilidade de que a
  máquina esteja funcionando em um instante t dado.
  Inicialmente a máquina se encontra operacional.

81
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados
Em reparo

• Se tem que

• Condições iniciais

82
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados

• Equações de balanço global estabelecem que

• Forma escalar da equação anterior é

83
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados

• Portanto

(4)
(5)
(6)
84
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados

• Resolvendo (4), (5) e (6), obtém-se

85
Exemplo Cadeia de Markov de dos estados

• Resolvendo em estado estacionário, obtém-se

(7)
(8)
(9)
86
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados

• Resolvendo (7), (8) e (9), obtém-se

• Observação

Também pode chegar-se a este resultado através
das equações em estado transiente, fazendo tender
o parâmetro t a infinito.
87
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados
Gráfico de ?0 com ?4
?0
?2
?5
?7
t
88
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados
Gráfico de ?0 com ?4
?0
?7
?5
?2
t
89
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados
Gráfico de ?1 com ?4
?1
?7
?5
?2
t
90
Exemplo Cadeia de Markov de dois estados
Gráfico de ?1 com ?4
?1
?2
?5
?7
t
91
Problema 1

• Seja uma cadeia de Markov de três estados como se
  ilustra na figura

?01
?10
?20
?02
Dado que acontece uma transição do estado 0,
determinar a probabilidade de que esta transição
seja para o estado 1.
92
Problema 1

• Define-se
• t01 tempo de permanência no estado 0 antes de
  transitar para o estado 1, caso transite para o
  estado 1
• t02 tempo de permanência no estado 0 antes de
  transitar para o estado 2, caso transite para
  o estado 2
• A probabilidade pedida é equivalente à
  probabilidade de que a transição para o estado 1
  ocorra antes da transição para o estado 2.

93
Problema 1

• Portanto

94
Problema 1

• Estendendo o resultado anterior, para qualquer
  número de estados, se tem que

• onde
• Pij probabilidade de transitar do estado i para
  o estado j, dado que acontece uma transição
• ?ik taxa média de saída do estado i para o
  estado k

95
Problema 2

• Dado que aconteceu uma transição do estado i,
  qual é a probabilidade de que o próximo estado
  seja i ?

Sabe-se que
Além disso
96
Problema 2

• Portanto

97
Problema 3

• Dado que no instante zero o sistema está no
  estado i, qual é a probabilidade de permanecer
  neste estado até o instante t?

Ppermanecer em estado i até t 1 - Psair do
estado i até t
Dado que o tempo de permanência é exponencial
Portanto
Psair do estado i até t
Ppermanecer no estado i até t