Redes libres de escala

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Redes libres de escala
29/03/07
Lucas Lacasa Dpto. Matemática Aplicada ETSI
Aeronáuticos, UPM
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Redes libres de escala
Índice

• Ausencia de escala ley de potencias
• Redes libres de escala
• Dónde?
• Cómo?
• 3. Redes libres de escala Y qué?
• ? Aplicaciones prácticas

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CÚAL ES LA ALTURA DE UNA PERSONA?
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ESCALA CARACTERÍSTICA
Tamaño característico entre 50 cm y 272 cm La
media está alrededor de 180 cm.
LEY DE POISSON
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QUE TIENEN EN COMÚN ESTAS DOS FOTOGRAFIAS ?
NO PODEMOS ASEGURAR EL TAMAÑO !!!
...EXISTEN MUCHOS CUERPOS QUE NO TIENEN UN TAMAÑO
o ESCALA CARACTERÍSTICA...
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LEY DE POTENCIAS O LIBRE DE ESCALA
Distribución de tamaños de ciudades
Log-log plot
NO EXISTE UN TAMAÑO MEDIO DE CIUDAD BIEN
DEFINIDO hay muchas ciudades pequeñas pero
también hay ciudades muy grandes
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EXISTE ESCALA CARACTERÍSTICA
LEY POISSON
LEY GAUSS
NO EXISTE ESCALA CARACTERÍSTICA LEY DE POTENCIAS
LOG-LOG
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DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ?

• GEOMETRÍA FRACTAL
• UN FRACTAL ES UN OBJETO QUE TIENE EL MISMO
  ASPECTO VISTO DESDE
• CUALQUIER DISTANCIA. TIENE EL MISMO ASPECTO A
  TODAS LAS ESCALAS.

Zoom Cambio de escala

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DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ?
LA DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE TERREMOTOS EN
FUNCIÓN DE SU MAGNITUD SIGUE UNA LEY DE POTENCIAS
!

• GEOFÍSICA
• TERREMOTOS
• HURACANES

Ley de potencias
LEY DE GUTENBERG-RICHTER
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DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ?

• SOCIOLOGÍA DISTRIBUCIÓN DEL TAMAÑO DE CIUDADES
• ECONOMÍA DISTRIBUCION DE LA RIQUEZA, BOLSA
• FÍSICA, BIOLOGÍA, QUÍMICA, MATEMÁTICAS, ETC.
• ES UNA LEY QUE APARECE DE FORMA UBICUA

• DEBE RESPONDER A MECANISMOS MUY GENERALES

• AUSENCIA DE ESCALA (Fractales)
• SISTEMA CON MUCHOS COMPONENTES, CUANDO ESTOS
  COMPONENTES INTERACTÚAN ENTRE SÍ LOCALMENTE
  (Sociología)

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2) UNA RED LIBRE DE ESCALA ES AQUELLA QUE
POSEE UNA DISTRIBUCIÓN DE CONECTIVIDAD DE
TIPO LEY DE POTENCIAS.
QUÉ ES UNA RED LIBRE DE ESCALA?
1) UNA RED ES UN CONJUNTO DE NODOS Y
ENLACES. NODOS ? COMPONENTES DE UN
SISTEMA. ENLACES ? RELACIÓN ENTRE COMPONENTES.
HAY MUCHOS NODOS CON POCOS ENLACES. PERO
TAMBIÉN HAY ALGUNOS NODOS CON MUCHOS ENLACES
(HUBS).
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• WWW

Nodos WWW documents Links URL links
Autoorganizada
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Sociedad (redes sociales)
Autoorganizada

• Ejemplos
• Modelos de votación
• - Estudios de propagación de rumores

Nodos individuos Links interacciones entre
individuos
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REDES BIOLÓGICAS
Autoorganizada (evolución)
Red metabólica
Red trófica
Nodos metabolitos Links reacciones bioquímicas
Nodos especies Links interacciones tróficas
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Algunas redes de las que conocemos su topología
P(k) k- g
NO BIOLÓGICAS g gt 2 www g
2.1 actores g 2.3
citas g 3 eléctricas
g 4 BIOLÓGICAS g lt 2 De proteínas
g 1.5, 1.6, 1.7,
2.5 Metabólica de E. Coli
g 1.7, 2.2 Genética de
expresión (levadura) g
1.4-1.7 Genética de interacción funcional
g 1.6
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QUÉ TIENEN EN COMÚN TODOS ESTOS EJEMPLOS?

• REDES AUTOORGANIZADAS (Evolutivamente?)
• LA INTERACCIÓN ES LOCAL
• SON REDES MUY DIFERENTES ? UNIVERSALIDAD

DEBE EXISTIR MECANISMOS GENERALES / EVOLUTIVOS
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
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Enganche preferencial (preferential attachment)

• 1) POBLACIÓN INICIAL.
• 2) A CADA t, INTRODUCIMOS NUEVOS NODOS.
• 3) ESOS NUEVOS NODOS SE ENGANCHARÁN CON LOS
• EXISTENTES. DE TAL FORMA QUE, LO HARÁN CON
  MAYOR
• PROBABILIDAD, CON LOS NODOS MÁS RELEVANTES
• (MÁS FUERTES).

Población inicial
Tiempo (más nodos)
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APLICACIONES

• Epidemiología (propagación de virus).
• Robustez, tolerancia frente a ataques
  (deliberados).
• Procesos de optimización (publicidad).
• . . .

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Propagacion de epidemias RED DE CONTACTOS
SEXUALES
La red influye sobre la dinámica
Nodos individuos Links relaciones sexuales
RED LIBRE DE ESCALA
HAY UNOS POCOS NODOS CON MUCHA MAYOR
PROBABILIDAD DE CONTAGIAR QUE OTROS (HUBS)
ESTRATEGIAS DE PREVENCION DE EPIDEMIAS
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ROBUSTEZ FRENTE A FALLOS / ATAQUES RED ELÉCTRICA
SISTEMA ELÉCTRICO ESPAÑOL MODELO MATEMÁTICO (RED)
Generadores Nodos
Líneas eléctricas Enlaces
Calentamiento de un generador Desaparición de un nodo
Mal estado de un cable de tensión Desaparición de un enlace
Cortes en cadena Apagón general Desmembración de la red
Fallo aleatorio

Consecuencia
? PREVENCIÓN ESTUDIO MATEMÁTICO DE LA ROBUSTEZ
DE LA RED
(OTRO EJEMPLO REDES ECOLÓGICAS y EXTINCIONES)
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OPTIMIZACIÓN DEL FLUJO publicidad por Internet
RED (internet) ES LIBRE DE ESCALA
LA DIFUSIÓN DE INFORMACIÓN ENTRE NODOS NO ES
ALEATORIA, SINO QUE ESTÁ ESTRUCTURADA

• ESTRATEGIAS DE OPTIMIZACIÓN según QUÉ TIPO DE
  DIFUSIÓN QUEREMOS (RAPIDEZ, CONSTANCIA, ETC)
• Se aplican
• Teoría de grafos
• Difusión no lineal
• Física estadística (modelos de percolación)

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Redes libres de escala P(k) k- ?
CONCLUSIONES

• UBICUAS tanto en la naturaleza como a nivel
  social o tecnológico
• AUTO-ORGANIZADAS a partir de principios
  evolutivos.
• Estudio matemático
• - modelización (mecanismos generales)
• propagación frenarlo (virus)
• optimizarlo (publicidad)
• seguridad tolerancia frente a fallos
  (infraestructura)
• robustez
• ETCÉTERA