Notas sobre REDES COMPLEJAS

1
Notas sobre REDES COMPLEJAS
Famaf, Noviembre 2, 2005
2

• ? Motivación y elementos de redes
• ? Ejemplos de redes complejas
• ? Conceptos básicos
• ? Análisis de algunas Redes Reales

3
Introducción Motivación (1)

• Expresiones Populares de Small Worlds
• A cuántos saludos estás tú de Bill Clinton?
• Six degrees of separation
• Los números de Kevin Bacon y de Paul Erdös
• Los seis grados de M. Lewinski

1
PE-0
1
1
2
2
3
4
Introducción Motivación (2)

• Motivación para Redes Complejas
• Incapacidad de las redes aleatorias de capturar
  algunas características básicas de las redes
  complejas y generar principios de organización no
  triviales.
• Sumado a la gran cantidad de información
  disponible en diferentes sistemas complejos por
  los avances en Computacion y obtencion de datos
  de sistemas reales.

5
Introducción Elementos de Redes (1)

• Describen amplia variedad de sistemas naturales,
  tecnológicos y sociales.
• Se representan por medio de grafos dirigidos o
  no-dirigidos.
• Tenemos nodos y enlaces. Un enlace (i,j) conecta
  los nodos i y j
• Cada nodo tiene un número entero no-negativo de
  enlaces conectados (grado del nodo).

6
Introducción Elementos de Redes (2)
A complex network often is the skeleton of a
complex system

Satellite View
Conmuter View
NY City Area
NY City Area
7
Introducción Elementos de Redes (1)
The way in which nodes connect each other is
relevant in many aspects

8
Introducción Elementos de Redes (1)
More often networks in Nature are non homogeneous

In random nets most nodes are linked by about the
same number of links (k), while in scale-free
nets a few are extremely well connected.
9
Introducción Elementos de Redes (1)
A few numbers to pay attention
Scale-free
Homogeneous

The few well connected
Random
Small word

• Is small-world if
• C gtgt Crand
• L Lrand

• Average minimal length L (shortest distance
  between any two nodes)
• Clustering C(k) (how many of your links are
  also mutually linked)

10
Introducción Elementos de Redes (1)
Example

The highway system is homogeneous
The consequence of deleting a node (city or
airport) is dramatically different in these two
cases.
The airline network is Scale-Free
Scale-free nets, in terms of resistance to damage
are Robust (to random) but Fragile (to targeted
attack).
1. Introduction 2. Complex Networks 3.
Catalogue 4. fMRI nets 5. Ever New? 6.
Cortical Cultures 7. Conclusion
11
Redes Complejas Ejemplos

• Internet es una red compleja donde los nodos
  son computadores y routers y las aristas
  comunican computadores.
• También se puede definir la red a nivel de
  inter-dominio (o sistema autónomo), donde cada
  dominio, compuesto de cientos de routers y
  computadores, se representa por un único nodo, y
  un enlace conecta dos dominios si existe a lo
  menos una ruta que los conecte.

12
Internet
13
Ejemplos de Redes Complejas (2)

• WWW es una red compleja (virtual) los nodos son
  las páginas web y las enlaces son los hyperlinks.
• Se pueden establecer a nivel de dominios y de
  páginas.

www.chialvo.net
www.ucla.edu/dchialvo/
14
Ejemplos de Redes Complejas (3)

• Redes Celulares es una red compleja donde los
  nodos son substratos tales como ATP, ADP y H2O y
  los enlaces representan reacciones químicas
  (dirigidas) entre los substratos.
• Interacciones entre proteínas donde los nodos
  son proteínas y los enlaces conectan proteínas
  que a través de experimentos se demuestra que
  interactúan.

15
Nodes chemicals (substrates) Links bio-chemical
reactions
Metabolic Network
16
P53
One way to understand the p53 network is to
compare it to the Internet.The cell, like the
Internet, appears to be a scale-free network.
17
Ejemplos de Redes Complejas (4)

• Redes Lingüísticas las palabras son nodos y los
  enlaces conectan palabras consecutivas (no
  trivialmente) o casi consecutivas en un texto.
• Otra red lingüística mantiene los nodos como
  palabras pero las enlaces son palabras que son
  sinónimos, antonimos, etc.

18
Ejemplos de Redes Complejas (5)

• Red Social Es un conjunto de personas, cada una
  de ellas conocida para un subconjunto de las
  restantes. Se puede definir en diferentes
  contextos particulares, como por ejemplo, la
  Universidad de Cordoba, y también generales por
  ejemplo, el mundo entero.
• Una motivación para su estudio es conocer los
  patrones de interacción humana, y otra puede ser
  investigar implicaciones para la difusión de
  información y contagio.

19
Red Social
20
Sex-web
Nodes people (Females Males) Links sexual
relationships
4781 Swedes 18-74 59 response rate.
Liljeros et al. Nature 2001
21
Ejemplo de Redes Complejas (6)

• Collaborativas (co-autoría de papers) donde los
  nodos son científicos y los enlaces representan
  co-autoría en un paper.
• El ejemplo más famoso de este tipo de red
  es en torno al matemático Paul Erdös (número de
  Erdös).
• más detalle esta red

22
Ejemplos de Redes Complejas (7)

• Citaciones en artículos científicos donde los
  nodos son artículos publicados y un enlace apunta
  a una referencia de un artículo publicado. (no
  debería tener ciclos dirigidos)
• (Physical Review Letters 1975-94, ISI)
• Actores de cine (y/o TV) donde los nodos son los
  actores y una enlace representa una participación
  conjunta de actores en una película.

23
Ejemplos de Redes Complejas (8)

• Llamadas Telefónicas (larga distancia). Los nodos
  son números telefónicos y las aristas son arcos
  dirigidos del nodo origen al nodo destino de la
  llamada.(duró el experimento un día - USA)
• Redes Ecológicas en las cuales los nodos son
  especies y Los enlaces representan relaciones
  tipo predador-presa entre las especies. se
  estudiaron 7 webs de comida
• Contactos sexuales humanos. Los nodos son
  personas y las enlaces conectan dos personas que
  se han relacionado sexualmente.
• (Experimento conducido en Suecia 1996)

24
Food Web (red troficas)
Nodes trophic species Links trophic
interactions
R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000)
R. Sole (cond-mat/0011195)
25
Ejemplos de Redes Complejas (9)

• Redes Neuronales en las cuales los nodos son
  neuronas y los enlaces son sinapsis o
  correlaciones entre (grupos de) neuronas.
• C elegans, Corteza Cerebral, Fmri
• Redes de Potencia donde los nodos son
  generadores, transformadores y subestaciones, y
  los enlaces son líneas de transmisión de alto
  voltaje. Western USA
• Otras Redes
• Circuitos Electrónicos
• Evolución Viral

26
Mapa del sistema nervioso del C. Elegans
27
Degree k, degree distribution P(k)

• Degree total number of connections (edges) from
  a node
• In- and out-degrees for directed graphs
• Average degree ltkgt
• Degree distribution P(k) function expressing
  the probability that a node has degree k
• Log distribution (log P(k) as function of log k)
  is also often used

28
Between1999 2001, researchers found out that
most real world networks have the same internal
structure
Scale-free networks ie P(k) k-r r constant
Why?
What does it mean?
29
Scale-free complex networks
30
Nature July 27, 2000
31
Halting Viruses in Scale-Free Networks

• Classical Epidemiology epidemic threshold T
  exists, such that transmission probability lt T
  implies disease will die out
• Recent Results
• T 0 in scale free networks (Pastor-Satorras
  Vespigniani 01)
• Network of sexual contacts is scale-free
  (Liljeros et al 01)
• ? spread of AIDS will not be stopped by
  traditional methods
• Solution immunizing hubs (with degree gt k0)
  restores positive T )

32
BA model
Barabasi-Albert Scale-free model
(1) GROWTH
At every timestep we
add a new node with m edges (connected to the
nodes already present in the system). (2)
PREFERENTIAL ATTACHMENT
The probability ? that a new node will be
connected to node i depends on the connectivity
ki of that node
A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)
33
Hierarchical structures

• Problem scale free model did not explain recent
  discovery of Dorogovtsev et al (in the
  deterministic scale-free case, 12/01) that
• C(k) k -1
• A new hierarchical model in recent papers by
  Ravascz, Barabasi et al (Science Sep 02, Phys Rev
  E in press) integrates modularity and
  scale-freedom

34
Hierarchical growth
35
Hierarchical vs. classical scale-free models
36
Measurements for some networks
37
CONCEPTOS BÁSICOS

• Small Worlds (Mundos Pequeños) o el fenómeno de
  los seis grados de separación
• En algunas redes (pudiendo tener millones de
  nodos), el camino más corto (CMC) entre dos nodos
  cualesquiera (en promedio), medido como la
  cantidad de aristas en el camino, es un número
  pequeño.(típicamente menor a 7)

38
Conceptos Básicos Small Worlds (2)

• Esta propiedad es aplicable a muchas redes
  complejas, como redes de actores de cine, donde
  el promedio CMC es aprox. 3, o los substratos en
  una célula están separados por 3 reacciones.
• Ejemplo hecho a mano

39
Conceptos Básicos Small Worlds (3)

• El psicólogo S. Milgram (Yale U.) 67 realizó un
  experimento que partía seleccionando 300 personas
  al azar en USA (Boston y Omaha), debidamente
  instruídos para enviar una carta a única persona
  objetivo en Boston.
• Estos diseminadores disponían de ciertas
  guías acerca de la persona objetivo, tal como su
  localización geográfica y ocupación.
• Con base en esta información, los
  diseminadores debieron mandar una carta a una
  persona que ellos conocían y que se ajustaba lo
  mejor posible a esta información.
• Este proceso se repitió hasta que las cartas
  eventualmente llegaron finalmente a la persona
  objetivo.

40
Conceptos Básicos Small Worlds (4)

• Milgram publicó los resultados de su
  investigación (Psychology Today) diciendo que 60
  de las 300 cartas llegaron a la persona correcta
  y que pasaron, en promedio, por seis conjuntos de
  manos hasta llegar a la persona correcta. (note
  que solo el 1/5 llego)
• La conclusión de Milgram fue que las personas
  están mucho más cercanas entre si de lo que uno
  puede imaginar. La realidad es un poco
  diferente...
• Esta experiencia generó un hito en lo que ahora
  se conoce como propiedad de mundos pequeños o los
  seis grados de separación o los seis grados de
  Kevin Bacon y, posiblemente, otros nombres.

41
Conceptos Básicos Small Worlds (5)

• Después del experimento de Milgram, pasaron
  muchos años antes de continuar con ese tipo de
  trabajos, principalmente por las limitaciones en
  cuanto al manejo de grandes cantidades de
  información.
• En todo caso, en el año 1993, se hizo una
  película Six Degrees of Separation (adaptación de
  una obra de teatro inspirada en el fenómeno).
• A partir de finales de los años 90, el tema se ha
  desarrollado fuertemente con gran ayuda de las
  tecnologías de información y con nuevas teorías.

42
Conceptos Básicos Small Worlds (6)

• Tres estudiantes inventaron el juego Los seis
  grados de Kevin Bacon y es posible jugarlo
  on-line en una página de CS-D de Virginia U. (o
  los 4 grados de KB)
• ( http//oracleofbacon.org/)
• El grafo para el oráculo de Bacon es provisto por
  la base de datos de películas de Virginia U.

43
El oracle

• The Oracle says alfredo alcon has a Bacon number
  of 3.
• Alfredo Alcon was in Jandro (1965) with Luis
  Induni
• Luis Induni was in Bianco, il giallo, il nero, Il
  (1975) with Eli Wallach
• Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin
  Bacon
• The Oracle says Palito Ortega has a Bacon number
  of 3.
• Palito Ortega was in Amor en el aire (1967) with
  Cris Huerta
• Cris Huerta was in Bianco, il giallo, il nero, Il
  (1975) with Eli Wallach
• Eli Wallach was in Mystic River (2003) with Kevin
  Bacon

44
Conceptos Básicos Small Worlds (7)

• Bajo ciertas condiciones puede ser importante
  para nosotros saber algunas cosas de los amigos
  de los amigos de nuestras amigas (os). Por
  ejemplo, al momento de relacionarse sexualmente
  con alguien.
• Lo anterior podría ocurrir para otros efectos,
  como por ejemplo, para la búsqueda de un buen
  trabajo.
• En definitiva, ya sea en la vida profesional o en
  la privada, las redes y sus complejas estructuras
  nos pueden ayudar a comprender mejor el mundo.

45
Highly clustered small worlds
Nature June 4, 1998
August 1999
http//smallworld.sociology.columbia.edu
46
Conceptos Básicos Small Worlds (8)

• Una ilustración de la topología de las redes
  dependiendo del nivel de aleatoriedad.
• Redes regulares, redes small-worlds y redes
  aleatorias.

47
Clustering (Agrupamiento)

• El clustering se refiere a la conectividad entre
  los nodos que conforman la red.
• En un caso extremo tenemos un(a) clique (clan) en
  el cual cada par de nodos está conectado.
• Denotemos por ki el grado del nodo i. Si el nodo
  i fuese parte de un clique entonces este clique
  tiene ki (ki -1)/2 enlaces.
• Ei número de enlaces que hay entre los ki nodos.

48
Clustering (2)

• Coeficiente de clustering del nodo i, Ci, se
  define por la fracción entre el número de enlaces
  en los ki nodos, Ei, y el máximo posible.
  
• Ci 2Ei /ki(ki-1)
• C(G) es el promedio de los Ci.
• En un grafo aleatorio tenemos
• Ei p ? Ci Ei / p.
• En la mayoría de las redes reales, C(G) es mucho
  mayor que en redes aleatorias del mismo tamaño.

49
Clustering (3)

• Ejemplo
• n 1000 ? m 500.000
• En redes reales, m ßn si ß 3 ? m 3.000
• Aplicamos la propiedad que ? gr(k) 2m
• y luego (para redes aleatorias)
• m n ltkgt/2 ? ltkgt 2m/n.
• Además, para redes aleatorias p ltkgt/n.
• ? p 2m/n2 ? p 6.000/1.000000 0.006,
• un valor típico para redes aleatorias.

50
Distribución de Grado

• Salvo redes regulares, no todos los nodos de una
  red tienen el mismo grado pudiendo, incluso,
  tener todos los grados diferentes.
• P(k) función de distribución para la
  probabilidad que un nodo seleccionado tenga
  exactamente k enlaces.
• Para un grafo aleatorio, P(k) se distribuye
  Poisson con un pico en ltkgt, el grado promedio de
  la red.

51
Distribución de Grado (2)

• Para la mayoría de las redes grandes, P(k) se
  distribuye de una forma bien diferente a una
  distribución de Poisson.
• Para las redes WWW, Internet y redes metabólicas,
  la distribución sigue una ley de potencias esto
  es,
• P(k) ßk-?

52
Modelos de Redes

• Existen tres paradigmas de modelos
• - Modelos de Grafos aleatorios se usan en
  varios
• campos y sirven como benchmarks para
• modelación y estudios empíricos.
• - Modelos Small Worlds se sitúan entre redes
  regulares
• altamente clustered y grafos aleatorios.
• - Modelos con Distribución de grado de ley de
• potencias se enfocan sobre redes dinámicas,
  
• buscando ofrecer una teoría universal de
  evolución en
• redes.

53
La Topología de Redes Reales

• 3 medidas robustas de la topología de redes
  longitud de camino promedio, coeficiente de
  clustering, y distribución de grado.
• Mostraremos dos tablas, una para las propiedades
  generales de las bases de datos estudiadas y la
  otra para los exponentes obtenidos.
• N número de nodos en la red.
• ltkgt grado promedio de la red.
• l longitud de camino promedio.
• C Coeficiente de clustering.

54
La Topología de Redes Reales varios casos (2)
Red n ltkgt l lrand C Crand
WWW 153127 35.21 3.1 3.35 0.1078 0.00023
Internet domain 3015-6209 3.52-4.11 3.7-3.76 6.36-6.18 0.18-0.3 0.001
Actores 225226 61 3.65 2.99 0.79 0.00027
Medline coautoría 1520251 18.1 4.6 4.91 0.066 1.110-5
NCSTRL coautoría 11994 3.59 9.7 7.34 0.496 310-4
Neurosc. coautoría 209293 11.5 6 5.01 0.76 5.510-5
E. Coli grafo sub 282 7.35 2.9 3.04 0.32 0.026
Co-ocurr. palabras 460902 70.13 2.67 3.03 0.437 0.0001
55
La Topología de Redes Reales varios casos (3)
Net n ltkgt ?out ?in lreal lrand
WWW 2108 7.5 2.72 2.1 16 8.85
WWW site 26000 1.94
Internet domain 3015- 4389 3.42- 3.76 2.1-2.2 2.1-2.2 4 6.3
Internet router 3888 2.57 2.48 2.48 12.15 9.75
Coauth. Math. 70975 3.9 2.5 2.5 9.5 8.2
Phone Call 53106 3.16 2.1 2.1
Co-ocur words 460902 70.13 2.7 2.7
56
La Topología de Redes Reales varios casos
(4)

• Algunas Conclusiones de Redes Reales
• Web
• - Cumple mundos pequeños. l 16 para una red
  grande
• (n 108).
• - Para una red con aprox. 153.000 sitios,
  Adamic encontró C 0.1078, comparado con Crand
  0.00023, para un grafo aleatorio del mismo
  tamaño y grado promedio. Esto es, una fracción
  muy pequeña. (versión red no-dirigida)
• - Para la distribución de grado analizamos la
  distribución de los grados internos y los
  externos. En varios estudios se encontró que
  ambos valores siguen una ley de potencias con
  valores de ? entre 2 y 3.

57
La Topología de Redes Reales Internet (10)

• Internet
• Diversos estudios llegaron a resultados
  similares respecto a que la distribución de grado
  sigue una ley de potencias. La longitud de camino
  promedio también fue pequeña y el coeficiente de
  clustering fue mucho mayor que para el caso de
  redes aleatorias.
• Resultados similares se encontraron para las
  otras redes estudiadas.

58
La Topología de Redes Reales Red de colaboración
(Math.) (11)

• Red de Colaboración y Número de Erdös
• (Estadísticas de la Red)
• Información 2004 es dada por la bases de datos
  de Mathematical Reviews (MR) de la American
  Mathematical Society.
• 1.9 millones de artículos para 401.000 autores
  diferentes.
• 62.4 escritos por un único autor, 27.4 por dos
  autores, 8 por tres autores y 2.2 por más
  autores.
• En los años 40, los artículos escritos por un
  único autor correspondían al 90 y ahora están
  bajo el 50.

59
La Topología de Redes Reales Red de colaboración
(Math.) (12)

• Sea B un grafo bipartito cuyos nodos son
  artículos y autores. B tiene 2.9 millones de
  enlaces.
• Promedio de autores por artículo 1.51.
• Promedio de artículos por autor 7.21 y la
  mediana es 2. 42 en la bases de datos tiene un
  único artículo.
• Cuatro autores tienen más de 700 artículos (Erdös
  tiene 1416) y ocho con más de 500 y menos de 700.

60
La Topología de Redes Reales Red de colaboración
(Math.) (13)

• La Red de Colaboración C tiene 401.000 autores
  como nodos y dos autores están conectados si
  participan en un mismo artículo (existan o no
  otros co-autores).
• C tiene 676.000 aristas y el número promedio de
  colaboradores por autor es 3.36.
• En C existe una componente grande con 268.000
  nodos. De los restantes 133.000, 84.000 no han
  colaborado, y luego, son nodos aislados en C.
• El número promedio de colaboradores por autores
  que han colaborado es 4.25, que sube a 4.73 para
  los que están en la componente grande, y cae a
  1.65 para aquellos que no están en la componente
  grande pero que han colaborado.

61
La Topología de Redes Reales Red de colaboración
(Math.) (14)

• Para la clase de autores que han colaborado, la
  mediana es 1, la media es 4.25. Si despreciamos
  los nodos aislados entonces la mediana sube a 2 y
  la media sube a 5.37.
• Grados no nulos se ajustan a una ley de
  potencias
• número de nodos con grado x ßxk, k entre
  -2 y -3.
• Existen 5 autores con más de 200 co-autores y
  Erdös es uno de ellos.

62
La Topología de Redes Reales Red de colaboración
(Math.) (15)

• Small Worlds
• 1. Longitud Promedio Se tomó una muestra de
  100 pares de nodos en la componente grande y se
  obtuvo el valor 7.64. La mediana de la muestra
  fue 7, la menor distancia fue 4 y la mayor fue
  11.
• 2. Coeficiente de Clustering Fracción de
  ternas ordenadas de nodos a,b,c en las cuales la
  arista ab y bc están presentes cuando ac lo está.
  En otras palabras, cuán frecuentemente son
  adyacentes dos vecinos de un nodo.
• C 1308045/9125801 0.14.
• Luego, C se ajusta a un modelo S-W.

63
La Topología de Redes Reales Números de Erdös
(16)

• Números de Erdös
• Erdös (1919-1996), el matemático actualmente
  con más publicaciones y con más co-autores es el
  origen de una red y tiene número de Erdös 0, sus
  co-autores tienen número 1, los co-autores de
  éstos tiene número 2, y así sucesivamente.
• Veamos la distribución de los números de
  Erdös considerando solamente aquellos autores que
  han colaborado y que además están a una distancia
  finita de Erdös. Existen (a la fecha del estudio)
  268.000 de estos autores.

64
La Topología de Redes Reales Números de Erdös
(17)
Número de Erdös Número de Autores
0 1
1 504
2 6593
3 33605
4 83642
5 87760
6 40014
7 11591
8 3146
9 819
10 244
11 68
12 23
13 5
Media4.65 Mediana 5
Dante Chialvo tiene número 4
65
La Topología de Redes Reales Números de Erdös
(18)

• Qué pasa si la raíz no es Erdös ?
• Si fuese Jerry Grossman, se tendría una mediana
  de 6 y una media de 5.71 y el rango crece a 15.
• Si fuese Arturo Robles, la mediana sería 15, y la
  media es 15.06.
• Se han estudiado también los números de Erdös de
  segunda clase, donde solamente se aceptan
  co-autorías entre 2 personas.
• Con ésto, por ejemplo, Yolanda Debose pierde
  su número de Erdös igual a 1 (Erdös, Hobbs,
  Debose), pero no Hobbs.

66
Modelos de Redes

• Existen tres paradigmas de modelos
• - Modelos de Grafos aleatorios se usan en
  varios campos y sirven como benchmarks para
  modelación y estudios empíricos.
• - Modelos Small Worlds se sitúan entre redes
  regulares altamente clustered y grafos
  aleatorios.
• - Modelos con Distribución de grado de ley
• de potencias se enfocan sobre redes
  dinámicas,
• buscando ofrecer una teoría universal de
• evolución en redes.

67
Análisis de algunos modelos

• Modelo de Watts-Strogatz (W-S)
• Un primer resultado exitoso corresponde al modelo
  de Watts-Strogatz. Se introduce un parámetro que
  interpola entre red regular y un grafo aleatorio,
  de modo de tener altos coeficientes de clustering
  y pequeños caminos más cortos.

68
Modelo de Watts-Strogatz (1)

• Procedimiento de diseño de la red
• (1) Comenzar con Orden comenzar con una red
  tipo anillo con n nodos en la cual cada nodo está
  conectado a sus primeros k vecinos (k/2 a cada
  lado). Para efectos de tener siempre una red
  esparsa y conexa, se supone que ngtgtkgtgtln(n)gtgt1.
• (2) Aleatorizar reconectar cada arista de la
  red con probabilidad p, y de modo de eliminar
  autoloops y aristas paralelas. Este proceso
  introduce pnk/2 aristas de largo alcance.
  Manipulando p estamos entre orden (p 0) y
  aleatoriedad (p 1).

69
Modelo de Watts-Strogatz Figura W-S (2)
P0
P1
70
Modelo de Watts-Strogatz (3)

• El modelo de W-S tiene sus orígenes en sistemas
  sociales en los cuales la mayoría de la gente son
  conocidos con sus vecinos y colegas. Sin embargo,
  la gran mayoría de las personas tiene amigos
  lejanos, de otros tiempos, o que viven lejos.
• Notamos que para una red anillo, p 0
• l(0) ? n/2k gtgt1 y C(0) 3(k-2)/4(k-1) ? ¾.
• Luego, l(0) es función lineal de n y C es
  grande.
• En el otro extremo, para una red aleatoria
• p tiende a 1 ? l(1) ? ln(n)/ln(k) y C(1) ?
  k/n
• Ahora l es función logarítmica de n y C decae
  con n.

71
Modelo de Watts-Strogatz (4)

• Veamos que ocurre con la longitud de caminos
  promedio l(p), clustering C(p) y distribución de
  grado, en función de la probabilidad de conexión
  p.
• Longitud de Caminos
• La longitud de los caminos depende de la fracción
  p de aristas reasignadas.

72
Modelo de Watts-Strogatz l (5)

• p pequeño ? l es una función lineal del tamaño
  del sistema.
• p grande ? l es una función logarítmica del
  tamaño del sistema.
• La caída brusca de l se debe a la aparición de
  atajos. Basta solamente algunos para esta caída.
• El estudio del valor de l l (n,p) está bién
  estudiado aún cuando no es trivial. La relación
  obtenida se ha confirmado por varias simulaciones
  numéricas.
• Se confirma crecimiento lento de l.

73
Modelo de Watts-Strogatz C (6)

• Clustering
• Para p 0, C no depende de n, depende solamente
  de su topología.
• Cuando se aleatorizan las conexiones, C permanece
  cercano a C(0) aún para valores relativamente
  grandes de p.
• Se define un nueva fórmula para C, C, pero muy
  parecida a la anterior. Se obtiene
• C(p) C(0)(1-p)3

74
Modelo de Watts-Strogatz C (7)

• Watts y Strogatz encontraron que existe un
  intervalo amplio para el cual l(p) es cercano a
  l(1) aún cuando C(p)gtgtC(1).
• En este intervalo, coexisten l pequeño y C
  grande, de acuerdo a los datos reales sobre la
  mayoría de los tipos de redes comentadas.

75
Modelo de Watts-Strogatz C (9)

• El gráfico siguiente muestra la distribución de
  grados del modelo W-S para k 3 y varios valores
  de p. También se muestra la distribución de grado
  de un grafo aleatorio con los mismos parámetros.

• La topología de la red es relativamente homogénea
  con
• grados parecidos de los nodos.

76
Modelo Redes Libres de Escala

• Modelos aleatorio y W-S no pueden reproducir
  el hecho que la distribución de grados siga una
  ley de potencias.
• Problema cuál es el mecanismo responsable
  por la aparición de las redes libres de escala ?
• R. El dinamismo es fundamental y la topología
• es un subproducto.

77
Modelo Redes Libres de Escala (1)

• Modelo de Barabasi-Albert (B-A)
• ? Hasta ahora los modelos vistos asumen que la
  red se forma con un número fijo de nodos n y que
  después se altera la estructura de la red
  cambiando las conexiones.
• Sin embargo, las redes reales son sistemas
  abiertos que crecen a través de nuevos nodos y
  conexiones.

78
Modelo Redes Libres de Escala (2)

• ? También los modelos vistos asumen que p es
  independiente de los grados de los nodos. Esto
  es, las nuevas aristas se conectan al azar.
• ? La mayoría de las redes reales exhiben conexión
  preferencial, de modo que la probabilidad de
  conexión a un nodo en la red depende del grado
  del nodo.
• H. Simon 1950 el rico llega a ser más rico
• D. S. Price 1965 ventaja acumulada (red de
  citaciones)

79
Inmunidad en Redes

• Inmunidad en redes Tolerancia a Errores y
  Ataques
• Aspectos topológicos de la robustez asociados
  a remoción de arcos y/o nodos.
• Robustez está asociada a la topología de la
  red.
• Una red es robusta si contiene un cluster
  gigante conteniendo la mayoría de los nodos aún
  después de la eliminación de un cierto número de
  nodos.
• Se sabe que redes libres de escala son más
  robustas que redes aleatorias contra fallas
  aleatorias en los nodos, pero son más vulnerables
  cuando las fallas ocurren en los nodos más
  conectados.