CONCEPTOS Y PROBLEMAS EN REDES COMPLEJAS

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Complejidad sin Matematicas
Dante R. Chialvo
Northwestern University. Chicago, IL,
USA. Email d-chialvo_at_northwestern.edu

www.chialvo.net
Psicologia, Universidad Complutense, Madrid, Mayo
22, 2007.
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Hemos visto que

• La suma de muchos procesos independientes
  lineales genera la campanita de Gauss.
• En cambio, la complejidad emerge de la
  interacción de muchos elementos no lineales.
• La estadística de lo complejo es no-uniforme
  muchos con poco y pocos con mucho. (sinónimos
  libre de escala ( scale-free) ley de potencia
  ( power law).

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Hoy

• Habrá algún mecanismo simple y único que genere
  la complejidad que observamos en la naturaleza?

Per Bak (1947-2002)
How Nature Works Oxford University Press.
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Que es Self-Organized Criticality? (SOC)

• La idea especificar un mecanismo simple que
  produzca una conducta tipica compartida por una
  gran cantidad de sistemas sin depender de los
  detalles específicos del sistema en particular.
• El sistema evoluciona en el tiempo bajo la
  influencia de fuerzas
• Externa
• Interacciones internas.

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Cual es la hipótesis de SOC?

• La hipótesis de Bak sugiere que una gran cantidad
  de clases de sistemas se comporta como sistemas
  thermodinámicos en el punto de transición de
  fase.
• Además, que esos sistemas se mueven
  espontaneamente hacia ese estado (a diferencia
  de los sistemas en equilibrio termodinámico para
  los cuales hace falta sintonizar algun parámetro).

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El modelo de juguete de pila de arena
Las reglas
Simplicidad Los granos interactúan y causan que
otros se muevan
Imágenes tomadas de R. Sole Sign of Life, (2000).
7
Las reglas
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Ejemplo simple en una dimension
Agregamos un grano aqui
Fin de la avalancha
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Illustración de una avalancha en dos dimensiones
a
b
c
Agregamos un grano aqui
e
d
f
aayer, bhoy, cmañana, ...etc
g
h
i
Fin de la avalancha
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Cada perturbación puede generar avalanchas de
tamaños muy desiguales
Enorme
Muy pequeña
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El sistema espontaneamente alcanza criticalidad
Muchas pequeñas
Pocas enormes
Imágenes tomadas de R. Sole Sign of Life, (2000).
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La distribución tanto de la duración como del
tamaño de las avalanchas es libre de escala.
Duración
Tamaño
Sólo limitado por el tamaño del sistema...
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• Las avalanchas son un fenómeno
• emergente
• complejo
• inevitable
• determinístico

• Criticalidad es el único estado en que al mismo
  tiempo
• Es el mas inestable (un solo granos basta...)
• Es el mas robusto (se vuelve siempre a el...)

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Modelo de pila de arena
Configuracion luego de depositar 40000 granos en
el centro de una grilla de 120 x 120 con Zc4
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Modelo de pila de arena (Version oficina)
Oficina típica adonde nuestro trámite ha entrado
y Dios solo sabe cuando saldrá.
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Que necesitamos para ver SOC?

• Muchos grados de libertad
• No-lineales
• Separacion de escalas de tiempo El proceso de
  forzado externo deber ser mas lento que los
  procesos de relajacion interna

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Aplicaciones Terremotos Ley de
Gutenberg-Ritcher

• La dinámica de los terremotos es equivalent a la
  de avalanchas en pilas de arena.

Muchos pequeños
Pocos enormes
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Aplicaciones Lluvia como terremotos en el cielo

• La dinámica de la lluvia es equivalent a la ley
  de Gutenberg-Richter de los terremotos y a la
  distribución scale-free de avalanchas en pilas de
  arena.

Figures de www.cmth.ph.ic.ac.uk/kim O. Peters,
C. Hertlein, and K. Christensen, A complexity
view of rainfall, Phys. Rev. Lett. (2002).
19
Aplicaciones
Incendios Forestales
Forest Fires An Example of Self-Organized
Critical Behavior Malamud, Morein, Turcotte,
Science, (1998).
20
Incendios Forestales
Forest Fires An Example of Self-Organized
Critical Behavior Malamud, Morein, Turcotte
(1998)
Pequeños
Enormes
Lo mismo, o peor, del otro lado de la frontera.
4 data sets
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AplicacionesEconomia, Linea de Producion
Pedidos
Envios
ayer
hoy
Example of a production avalanche in the BCSW
model caused by the production of one final good
at t 1 that leads to the total production of 22
units.
Bak, Chen, Scheinkman, Woodford, Aggregate
fluctuations from independent sectoral shocks
self-organized criticality in a model of
production and inventory dynamics.
22
SOC in modelos de bank bankruptcies
23
SOC en un modelo de bank bankruptcies
24
SOC en un modelo de bank bankruptcies
Apenas unos centavitos
Se fugaron los gerentes
25
Aplicaciones

• Modelos de predador-presa

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Parte II
Fases, puntos criticos y transiciones
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Les he mentido, en realidad la inspiración estaba
aqui
Per Bak se dio cuenta que
El mundo se parece mucho mas a esto
Subcritical
Critical
SuperCritical
Mas que a esto
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Fases
Liquido
Presión
Solido
Gas
Temperatura
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El Modelo de Ising
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El Modelo de Ising
En el punto critico

• Magnetization muestra fluctuationes temporales
  complejas
• (fractales en el tiempo)

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El Modelo de Ising
Diversidad de detalles a todas las escalas
...Islas en mares dentro de continentes flotando
en oceanos...

• Las distribucion del tamaño de las islas es una
  power law
• (fractales en el espacio)

TTC
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• Estas caracteristicas de las fluctuaciones en
  espacio y tiempo en la transision de fase no
  dependen del sistema.

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Transicion de fase, ejemplo simple
Cantidad de cuerdas critica
Fase conectada
Fase desconectada
Y si repitiesemos el expto aquí???
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La variabilidad es máxima en el punto crítico
Variabilidad (SD)
Cantidad de cuerdas
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Resumiendo
La suma de muchos procesos independientes
lineales genera la uniformidad de la campanita de
Gauss mientras que la complejidad emerge de la
interacción de muchos elementos no lineales. El
modelo de juguete de Per Bak evoluciona por si
solo (autoorganizadamente) al punto crítico de
una transición de fase. Un vez allí, exhibe
todas las propiedades de la complejidad Criticalid
ad Complejidad
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Cual puede ser la utilidad de estas defensas
contra avalanchas de nieve?