Sistemas de Numera

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Sistemas de Numeração e Conversão de Base

• No estudo de sistemas digitais recorre-se a
  diferentes sistemas de numeração.
• Sistema Decimal
• É o nosso sistema natural.
• Dígitos 0,1,2,....,9.
• Números superiores a 9 convencionamos o
  significado da posição de cada dígito em relação
  a uma potência de 10.

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• Por exemplo, o número 7986 traduz um valor
  numérico calculado por
• 7986 7x1039x1028x1016x100
• Conforme observa-se, um número é expresso pela
  soma de potências da base 10 multiplicadas pelos
  dígitos correspondentes.

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• Sistema de Numeração Binário
• Em sistemas descritos por variáveis lógicas
  recorremos ao sistema de numeração de base 2.
• A vantagem desta utilização resulta da
  correspondência direta entre os dígitos 0 e 1 e
  os valores lógicos 0 e 1.
• Neste sistema, os dígitos binários representam os
  coeficientes das potências de base 2.

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• Por exemplo, o número 1910 (o subscrito indica a
  base) é representado pela seqüência de dígitos
  binários
• 100112 1x240x230x221x211x20
• 100112 16 0 0 2 1 1910
• Na prática, cada dígito binário recebe a
  denominação de bit (binary digital digit),
  conjuntos de 4 bits são chamados nibble e de 8
  bits denominam-se byte.

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• Conversão binário para decimal
• Notamos, que de maneira geral, a regra básica de
  formação de um número consiste no somatório de
  cada dígito multiplicado por uma potência da base
  relacionada à posição daquele dígito.
• O algarismo menos significativo ( base elevada a
  zero 1) localiza-se à direita, ao passo que os
  mais significativos(maiores potências da base)
  ficam à esquerda.

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• Abaixo temos algumas potências de 2
• 210 29 28 27 26
  25 24 23 22 21 20
• 1024 512 256 128 64 32 16 8 4
  2 1

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• Exemplo Converter o número 0011102 em decimal.
• Lembrando que 0 zero à esquerda de um número é um
  algarismo não significativo, temos
• 0011102 11102
• 11102 1x231x221x210x20
• 11102 8 4 2 0 1410
• Exemplo Converter o número 1010102 em decimal.
• 1010102 1x250x241x230x22 1x21 0x20
• 1010102 32 0 8 0 2
  0 4210

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• Conversão decimal para binário
• Considere-se a divisão inteira de N por 2. Dado
  que cada divisão desloca o ponto decimal uma
  posição para a esquerda temos
• O dígito menos significativo x1 corresponde ao
  resto da divisão inteira e o quociente
  corresponde a um novo número N ...x8x4x2 ,
  onde x2 passa a ser o algarismo menos
  significativo.

9

• Aplicando divisões sucessivas e considerando o
  resto, obtém-se a seqüência de digitos binários
  que representam o número N no sistema binário.
• Vejamos o exemplo
• 19 2
• 1 92
• 1 42
• 0 22
• 0 12
• 1 0 1910 100112

10

• Vejamos outro exemplo
• 302
• 0 152
• 1 72
• 1 32
• 1 12
• 1 0 3010 111102

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• Sistema de Numeração Octal
• Neste sistema a base é 8, e os dígitos são
  0,1,2,...7
• Há uma relação especial entre o sistema octal e o
  sistema binário que reside no fato de que três
  dígitos binários representarem oito (23) números
  distintos.
• Esta relação permite efetuar conversões entre
  estes sistemas de forma quase imediata como
  veremos adiante.

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• Conversão do sistema Octal para o decimal
• Utilizamos o conceito básico de formação de um
  número já explicado.
• Observemos o exemplo Converter 3458 em decimal.
• 3458 3x82 4x81 5x80
• 3458 192 32 5 22910

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• Vejamos outro exemplo
• Converter 4778 em decimal.
• 4778 4x82 7x81 7x80
• 4778 256 56 7 31910
• Conversão do sistema Decimal para o Octal
• O processo é análogo ao da conversão decimal para
  binário, ou seja, empregar divisões sucessivas
  pela base.

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• Exemplificando Converter 9010 para octal.
• 908
• 2 118
• 3 18
• 1 0 9010 1328
• Converter 12810 para octal.
• 1288
• 0 168
• 0 28
• 2 0 12810 2008

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• Conversão do sistema Octal para binário
• Para realizar a conversão basta converter cada
  dígito octal no seu correspondente binário. Isto
  se deve à relação anteriormente mencionada.
• Exemplificando. Converter 778 em binário.
• Converter 1238 em binário

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• Conversão do sistema Binário para o Octal
• Utiliza-se o processo inverso do anterior.
• Separamos o número binário em grupos de três bits
  à partir da direita.
• Depois, convertemos cada grupo de bits para o
  sistema octal.
• Exemplificando
• Converter 11100102 em octal

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• 11100102 1 110 010 1628
• Vejamos outro exemplo Converter 100012 em octal.
• 100012 10 001 218
• Converter 11101002 em octal.
• 11101002 1 110 100 1648

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• Sistema de Numeração Hexadecimal
• Este sistema tem base 16 e portanto possui 16
  dígitos.
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F são os dígitos
  deste sistema.
• O dígito A representa a quantidade 10, B
  representa 11, até o F que representa 15.

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• Este sistema é bastante utilizado em
  microcomputadores tanto em hardware como em
  software.
• Conversão do sistema hexadecimal para o decimal.
• Novamente usamos o conceito básico de formação de
  um número já explicado.

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• Exemplificando. Converter 2D16 em decimal.
• 2D16 2x161 13x160 32 13 45.
• Vejamos outro exemplo. Converter 1C316 em
  decimal.
• 1C316 1x162 12x161 3x160
• 256 192 3 45110.
• Conversão do sistema decimal para o hexadecimal.
• Novamente usamos divisões sucessivas.

21

• Exemplificando. Converter 100010 em hexadecimal.
• 100016
• 8 6216
• 14 316
• 3 0 100010 3E816

22

• Converter 12010 em hexadecimal
• 12016
• 8 716
• 7 0 12010 7816
• Conversão do sistema hexadecimal para o binário.
• É análoga à conversão do sistema octal para o
  binário. Desta vez, precisamos de quatro bits
  para representar cada dígito hexadecimal.

23

• Exemplificando. Converter AB316 em binário.
• Vejamos outro exemplo. Converter F8DD16 em
  binário.

24

• Conversão do sistema binário para o sistema
  hexadecimal.
• Novamente é análoga à conversão do sistema octal
  para o binário. Desta vez agrupamos os bits de 4
  em 4 à partir da direita.
• Exemplificando. Converter 10011102 em
  hexadecimal.
• 10011102 100 1110 4E16
• Converter 11000110112 em hexadecimal.
• 11000110112 11 0001 1011 31B16

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• Exercícios Propostos
• Efetue as conversões indicadas
• Converta para o sistema decimal
• a) 11000102 b) 01111002 c) 100001001102
• 1010110001102 e) 4318 f) 7528 g) 1778
• 5368 f) 20F16 g) 4BE16 h) 100A16 i)
  9F016
• Converta para o sistema binário
• 14410 b) 30110 c) 7210 d) 23110 e)
  1678
• 4448 g) 70118 h) 10108 i) 20216 j)
  F1616
• k) AA0B16 l) D99F16 m) C7916 n) 200B16

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• Converta para o sistema Octal
• 33110 b) 100010 c) 12810 d) 25510
• 11002 f) 10011102 g) 100011101112
• 1110111002 i) 76516 j) CBD16 k) FADA16
• Converta para o sistema Hexadecimal
• 125310 b) 81910 c) 301410 d) 160010
• 7508 f) 3478 g) 1178 h) 5128
• 0111001000110112 j) 100011101100012
• k) 1101110002 l) 11111101111102

27

• Realize as conversões
• 1022011023
• em decimal b) em binário c) em sistema base 9
• 16710
• a) em sistema ternário b) em sistema base 9
  c) em binário