Crit

1
Critérios de divisibilidade e Congruência
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO
SUL Fundamentos de Matemática B

• Professores Alvino e Luísa

Andréa Ritter, Belissa Schönardie Camila
Rodrigues
Porto Alegre, 05 de outubro de 2009.
2
Definição

• Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b,
• denotando por ab, se existir um inteiro c tal
• que b ac.
• Se a não divide b escrevemos a b.

3
Proposições

• 1.1) Se a, b e c são inteiros, ab e bc, então
• ac.
• Como ab e bc, existem inteiros k1 e
• com b k1a e ck2b. Substituindo o valor
• de b na equação ck2b teremos ck2 k1a o que
• implica que ac.

4

• 1.2) Se a, b, c, m e n são inteiros, ca e cb
  então c(ma nb).
• Se ca e cb então a k1c e b k2c.
  Multiplicando-se estas duas equações
  respectivamente por m e n teremos
• ma m k1c e nb n k2c. Somando-se membro a
  membro obtemos manb(mk1cnk2c), o que nos diz
  que
• c(ma nb).

5
Divisibilidade por 9

• Vamos considerar um número N com 5 dígitos
  abcde, na base 10.
• Sendo assim, podemos reescrevê-lo na forma
• n a x 104 b x 103 c x 10² d x 10
  e
• Façamos as seguintes substituições

6

• 1091
• 100991
• 10009991
• 1000099991
• Obtemos então
• N a(99991) b(9991) c(991) d(91) e
• (9999a 999b 99c 9d) (abcde)
• 9(1111a 111b 11c d) (a b c d e).

7

• Disto concluímos que se 9n, como
• 99(1111a 111b 11c d), então 9 deve
• dividir (a b c d e) pela proposição
• 1.2 . Reciprocamente se
• 9 (a b c d e) , então 9n, uma vez que
  99(1111a 111b 11c d).

8

• Provamos desta maneira o critério de
• divisibilidade por 9
• Um número é divisível por 9 se, e somente
• se, a soma de seus algarismos é divisível por
• 9.

9

• Outra forma de demonstrarmos a divisibilidade
• por 9 é fazendo a utilização do critério de
• congruência.
• Dados os naturais a, b e c, dizemos que a é
• congruente a b módulo c, que denotamos por
• a ? b (mod c), se e somente se b a é divisível
  
• por c. No nosso caso,a ? b (mod 9)?b-a é
• divisível por 9.

10
Seja x?N/xanan-1...a1a0 Podemos
também escrever x como xan.10n an-1.10n-1
... a1.101 a0.100 Como
10n?1(mod9),temos, xan.1(mod9),an-1.1(mod9),
...a1.1(mod9)a0.1(mod9) ?
xanan-1...a1a0(mod9) Desta forma, 9x
? anan-1...a1a00,ou seja, 9x ?
9(anan-1...a1a0)
11
Divisibilidade por 11

• Para obter um critério de divisibilidade por
  11, vamos analisar o valor posicional dos
  algarismos.
• 1 para cada unidade, haverá SOBRA de uma unidade
  ao dividirmos por 11
• 10 para cada dezena, haverá FALTA de uma unidade
  para completar 11 (pois 10111)
• 100 para cada centena, haverá SOBRA de uma
  unidade ao dividirmos por 11 (pois 100-19911x9)
• 1000 para cada milhar haverá FALTA de uma
  unidade para completar 11 (pois 100011001
  11x91)
• e assim por diante...

12
Ou seja, 102n?1(mod11) e 102n1?-1(mod11),
n?N Antes de generalizar, vamos ver um exemplo
)

• O número 58322 é divisível por 11?
• 58322 5x104 8x103 3x102 2x101 2x100
• 5(104-1) 8 (1031) 3(102-1) 2(1011) 2
  (100-1)5-83-22

É divisível por 11
Portanto, é preciso que este número também seja
divisível por 11
13

• Assim, para saber se um número é divisível por
  11, somamos os algarismos de ordem par e
  subtraímos os algarismos de ordem ímpar. Se o
  resultado for múltiplo de 11, o número original
  será múltiplo de 11.
• Lembrete a ordem das unidades é zero, das
  dezenas é 1, etc.
• Logo, como 5-83-22 0 e
  este é
• múltiplo de 11, 58322 é divisível
  por 11.

14
Generalizando...

• 11?a se a soma alternada de todos os algarismos
  de a é divisível por 11.
• 102n?1(mod11) e 102n1?-1(mod11), n?N. Podemos
  reescrever assim
• 10k?(-1)k (mod11) ? será 1 ou -1 dependendo da
  paridade de k.
• Logo,
• a ? (-1) k ak (-1) k-1 ak-1 ...a2a1 a0 (mod
  11)

15
Exemplos a) 11 divide 21428, pois Soma dos
algarismos de ordem par 8 4 2 14 Soma dos
algarismos de ordem ímpar 2 1 3 Diferença
14 3 11 De fato, 2142811 1948 b) 11 não
divide 75893482, pois Soma dos algarismos de
ordem par 2495 20 Soma dos algarismos de
ordem ímpar 838726 Diferença 20 26 -6
Como o resultado foi negativo,
isso mostra que faltam 6
unidades para o número ser
divisível por 11. Ou seja, o resto da divisão
de 75398482 por 11 é 11-6
5.
16
Divisibilidade por 7

• Um número é múltiplo de 7 se, e somente se,
• o número obtido ao calcular a diferença
• entre o dobro do último algarismo e o
• restante do número original também o for.
• Exemplo 1757 é um múltiplo de 7, pois
• 175 - 2 7 161 16 2 14, que é divisível
• por 7.Por outro lado, 9178 não é divisível por
• 7, pois 917 -2 8 901 90-2 88.

17

• Demonstração
• Seja i o dígito das unidades do número n, que
  pode ser escrito como 10k i.
• No procedimento anterior obtivemos um número r
  do tipo k 2i.
• Será suficiente provar que os números
• 10k i e K - 2i são tais que, se um deles é
  múltiplo de 7, o outro também é.
• 10k i é múltiplo de 7 ? k 2i é múltiplo de
  7.

18

• ( ) Se 10k i é múltiplo de 7, então existe
• um inteiro m tal que 10k 1 7m e, portanto,
• k 2i k 2(7m - 10k)
• k 14m 20k 21k 14m 7(3k-2m) o que
• implica k 2i ser múltiplo de 7.
• ( ) Se k -2i é múltiplo de 7, então existe um
• inteiro n, tal que k 2i 7n e portanto,
• 10k i 10(7n 2i) i 70n 20i i
• 70n 21i 7(10n 3i)
• o que implica 10k i ser múltiplo de 7,
• concluindo a prova.

19

• Através de congruências temos
• 10 73 10²7 3x3 72 10³73x276
• 104 72x274 105 72x675 10676x671
• e, para as demais potências de 10, os
• resultados se repetem
• 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ...
• Ex. 21861 72x 1041x10³8x10²6x101
• 72x41x68x26x31 716241 7140 ou
• ainda 21861 7 21000861 7 700161
• 714021700 70

20

• Seja N 3 045 258 329 506 e consideremos
• n1 506, n2329, n3258, n4045 e n53,
• obtidos pela separação dos algarismos de N,
• em grupos de três algarismos da direita para
• a esquerda.
• Sejam r1, r2 , r3 , r4 e r5 os restos das
• divisões desses números por sete,
• respectivamente. Observa-se que esses restos
• são facilmente determinados sem efetuar as
• divisões, pela subtração de múltiplos de 70 ou 7,
  
• do seguinte modo

21

• 506-49016, 16-142, logo r12
• 329-28049, 49-490, logo r20
• 258-21048, 48-426, logo r36
• 45-423, logo r43 e r53
• Seja agora N r1- r2 r3- r4 r5
  .
• A regra é N é divisível por 7 se e somente se
  N é divisível por 7. No nosso caso, N 2 0
  6 3 3 8, que não é divisível por 7. Logo, N
  também não é divisível por 7.

22

• Demonstração da regra para um número natural
  qualquer
• Para isso, usaremos, para os naturais a e b, o
  conceito de congruência dizemos que a é
  congruente a b módulo 7, que denotamos por a ? b
  (mod 7), se e somente se b a é divisível por 7.
  Logo,
• a ? b (mod 7) b-a é divisível por 7.

?
23

• Pelas propriedades das congruências temos

24

• Usando os resultados anteriores, vamos
  demonstrar a regra
• Seja N um número natural e n1, n2 , ..., nm
  os números obtidos pela separação dos algarismos
  de N, por pontos, em grupos de três algarismos da
  direita para a esquerda, como no exemplo. Sejam
  r1, r2, ..., rm os restos da divisão desses
  números por sete, respectivamente. Então,
• N n1 n2x1000 n3x1000²... nm x1000m-1.

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• No exemplo inicial temos
• N506 329x1000258x1000²45x1000³3x10004.
• Como 1000 ? -1(mod 7) , pois 1001 é divisível
  por 7, temos 1000k ? (-1)k (mod7), com
  k1,2,3,...
• Assim, dado um número natural a, se b é o resto
  da divisão de a por 7, temos
• a b (mod 7) , então
• ax1000k ax(-1)k(mod 7) ? bx (-1)k(mod 7).
  Logo,

?
?
26

• n1 n2x1000 n3x1000²... nm x1000m-1 ?
• r1 r2 (-1) r3(-1)²... rm(-1) m-1(mod
  7), ou
• N ? N(mod 7) .
• Portanto N ? 0(mod 7) N ? 0(mod 7)
• N 3 045 258 329 506 ?
• 2 0(-1) 6(-1)² 3(-1)³ 3(mod 7)
• 8(mod 7) ? 1(mod 7) e como 1 não é divisível
  por 7, N também não é.

?
27
Sugestão de atividade...

• Jogo Treinando os critérios...

Objetivos Que o aluno seja capaz de ?
reconhecer os critérios de divisibilidade ?
desenvolver a capacidade de fazer cálculos
mentais ? fixar conteúdos matemáticos ?
simplificar frações ? criar estratégias de
resolução Pré-requisitos - Simplificação
de frações - Critérios de divisibilidade.
N de jogadores 2 ou mais
jogadores/as.
28
Materiais - Tabuleiro - Peões - 50 Fichas
com números inteiros - 50 Fichas / perguntas
Modo de Jogar É decidido através de
sorteio o jogador que inicia a partida.
Este deve pegar uma carta do monte (perguntas) e
tentar respondê-la. Respondendo
corretamente, o jogador tem o direito de
resgatar uma carta do segundo monte, para saber
quantas casas irá deslocar-se no tabuleiro. O
número de casas a deslocar-se é regido pelo
número de divisores (apenas segundo os
critérios estudados. Deve ser lembrado ao aluno
que existem outros divisores além dos
trabalhados)da carta resgatada (ex. se o
jogador tirar a carta 10, poderá deslocar-se
3 casas, pois 10 pode ser dividido por 2, 5 ou
10, e estes critérios foram
estudados...). Vence o jogador
que primeiro chegar no final do tabuleiro.
29
Material utilizado para confecção do jogoO
baralho pode ser confeccionado em papel cartaz e
protegido com Papel Contact. O tamanho de cada
carta pode ser do tamanho do baralho normal ou,
aproximadamente, de 5cmx8cm. Modelo do
tabuleiro
30
Modelo das cartas
31
Congruência

• Uma congruência é a relação entre dois números
• que,divididos por um terceiro (módulo de
• congruência) deixam o mesmo resto. Por exemplo,
• o número 10 é congruente ao número 3, módulo 7,
• pois ambos deixam resto 3, ao serem divididos por
  7.
• Representamos essa congruência do exemplo por
• 103 ? (mod7).
• Diferentes códigos numéricos de identificação,
  como
• códigos de barras, números dos documentos de
• identidade, CPF, CNPJ, ISBN, ISSN, criptografia,
• calendários e diversos fenômenos periódicos estão
  
• diretamente ligados ao tema.

32

• Aplicação na escola básica
• Banco de questões da OBMEP
• A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio
  que uma aranha usa para construir sua teia,
  conforme mostra a figura. A aranha continua seu
  trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número
  118?

33
Fios A B C D E F G H
0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23
... ... ... ... ... ... ... ...
34

• Observando que os fios se repetem a cada
  oito números conclui-se que os números de cada
  fio formam uma sequência que aumenta de oito em
  oito. Sendo assim, cada fio pode ser representado
  a partir dos múltiplos de 8. O fio A corresponde
  aos números que são múltiplos de 8 (divididos por
  8 deixam resto zero 8.n, com n natural.). O fio
  B corresponde aos números que são múltiplos de 8,
  mais 1 (divididos por 8 deixam resto 1 8.n 1,
  com n natural). O fio C corresponde aos números
  que são múltiplos de 8, mais 2 (divididos por 8
  deixam resto 2 8.n 2, com n natural). Essa
  lógica se mantém até o fio H, definido pelos
  números que divididos por oito deixam resto 7.
• No caso do 118, temos 118 8 14. 8 6,
  pertence à família dos números que estão no fio G.

35
Aplicações

• Sistemas de identificação
• 1) ISBN -International Standard Book Number
• Código numérico onde as publicações são
  identificadas
• através de 10 algarismos, sendo que o último
  (dígito
• de controle) é calculado através da aritmética
• modular envolvendo operações matemáticas com os
• outros nove dígitos. Esses nove primeiros dígitos
  são
• subdivididos em 3 partes, de tamanho variável,
• separadas por hífen, que transmitem informações
• sobre o país, editora e sobre o livro em questão.
  
• Ex Língua inglesaalgarismo 0, Editora
  McGraw-Hill
• código de 2 algarismos -07-restam 6 algarismos
  para
• identificação de suas publicações, havendo pois a
  
• possibilidade de 1 000 000 de
  títulos.

36

• Vejamos como se processa o cálculo do dígito
• final do ISBN (controle).
• Representando por a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a
• sequência formada pelos 9 primeiros dígitos,
• devemos multiplica-los, nessa ordem, pela base
• 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 e somar os produtos
• obtidos. O dígito que está faltando, que vamos
• representar por a10 deve ser o menor valor
• possível, tal que ao ser acrescentado à soma
• obtida, deve gerar um múltiplo de 11, isto é, se
  a
• soma obtida é S, o número S a.10 deve ser
• múltiplo de 11, ou seja, Sa.10 ? 0 (mod11)

37

• Código do livro A Matemática do Ensino Médio,
• Volume 1, da Coleção Professor de Matemática
• ISBN 85-85818-10-7
• Cálculo do dígito de controle que, como estamos
• observando, é igual a 8.
• 8 5 8 5 8 1
  8 1 0
• 10 9 8 7 6 5 4
  3 2
• Efetuando as multiplicações correspondentes e
• somando os produtos obtidos, teremos
• 8x10 5x9 8x8 5x7 8x6 1x5 8x4 2x3
• 9x2 80 45 64 35 48 5 32 3 0
• 312. E 312 11 28.114, ou seja, apresenta
  
• resto 4.

38

• Para acrescentarmos o décimo algarismo
• deveremos encontrar um múltiplo de 11.
• O menor valor que atende a condição
• estabelecida, será o número 7, pois 1147.
• Assim, com o valor apresentado no código,
• temos 312 7 319 é um múltiplo de 11, ou
• ainda, que 319 ? 0 (mod 11).
• No ISBN, se o dígito for igual a 10 (resto da
• divisão por 11 ser igual a 1), é usada a
• representação do 10 em algarismos romanos, ou
• seja usa-se um X.

39

• A partir de janeiro de 2007 os códigos do ISBN
• estão sendo representados com 13 dígitos. No caso
  
• dos livros editados no Brasil há um acréscimo dos
  
• dígitos 978 antes do 85.
• 2) CÓDIGO DE BARRAS EAN-13
• Código de barras constituído de 13 algarismos
  sendo
• que o último é o dígito de controle. Nesse caso é
  
• usada a congruência módulo 10 e os fatores que
• compõem a base de multiplicação são os dígitos 1
  e 3,
• que vão se repetindo da esquerda para a direita.

40

• Se a1a2a3a4a5 a6a7a8a9a10a11a12 a seqüência
• formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos
• multiplicá-los, nessa ordem, pela base
• 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3 e somar os
• produtos obtidos. Vamos representar por S a
• soma obtida. O dígito que está faltando, que
• vamos representar por a13 deve ser tal que ao
• ser somado com S, deve gerar um múltiplo de
• 10, isto é, ou seja, Sa13 ? 0(mod 10).

41

• Numa embalagem de chá instantâneo, da Polônia,
• temos o seguinte código de barras
• Vamos efetuar os cálculos para a determinação do
• dígito de controle (que estamos vendo ser o
  dígito
• 4).
• 5 9 0 0 9 0 9 0 0 0
  0 2
• 1 3 1 3 1 3 1 3 1
  3 1 3
• (esta é a base de multiplicação,
  nesse caso)

42

• 5270090900006 5610 5.106, ou
• seja, apresenta resto 6.
• Para acrescentarmos o décimo terceiro algarismo,
• deveremos encontrar um múltiplo de 10.
• Logo, o dígito de controle será igual a 4 (10
  6).
• Note que 56 4 60 (múltiplo de 10).
• No código de barras com 13 algarismos, os três
• primeiros dígitos do código representam o país de
  
• registro do produto (produtos filiados no Brasil
• apresentam os dígitos 9, 8 e 7) os quatro
  dígitos
• seguintes identificam o fabricante os próximos
• cinco dígitos identificam o produto e o último é
  o
• dígito verificador ou de controle.

43

• 3) Cadastro das pessoas físicas na Receita
  Federal CPF
• O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é
• constituído de 11 dígitos, sendo um primeiro
  bloco
• com 9 algarismos e um segundo, com mais dois
• algarismos, que são os dígitos de controle ou de
• verificação . No CPF, o décimo dígito ( primeiro
• dígito verificador) é o resultado de uma
• congruência, módulo 11 de um número obtido por
  uma
• operação dos primeiros nove algarismos.

44

• Se a1a2a3a4a5 a6a7a8a9 é a seqüência formada
  pelos
• 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los,
  nessa
• ordem, pela base 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e
  somar os
• produtos obtidos. O dígito que está faltando, que
• vamos representar por a10 deve ser tal que ao ser
  
• subtraído da soma obtida S, deve gerar um
  múltiplo
• de 11 (o número S - a10 deve ser múltiplo de 11),
  
• S - a10 ? 0 (mod 11).Este número será o
• próprio resto da divisão por 11 da soma obtida.

45

• O CPF de uma pessoa tem os seguintes 9 primeiros
• dígitos 661 386 120 , o primeiro dígito de
  controle
• será obtido da seguinte maneira
• Escrevemos os nove primeiros e, abaixo deles, a
  base
• de multiplicação com os dígitos de 1 a 9.
• 6 6 1 3 8 6 1 2
  0
• 1 2 3 4 5 6 7 8
  9
• Efetuando as multiplicações correspondentes,
• teremos
• 6x1 6x2 1x3 3x4 8x5 6x6 1x7 2x8
  0x9
• 153. 15311 13x11 10

46

• Se o resto da divisão for 10 (número obtido é
• congruente a 10, módulo 11) utiliza-se, o dígito
  zero.
• Dessa forma, o primeiro dígito de controle será o
  
• algarismo zero.
• A obtenção do segundo dígito de controle é
  similar a
• anterior. Agora o décimo dígito é acrescentado e
• utiliza-se uma base de multiplicação de 0 a 9.
• 6 6 1 3 8 6 1 2
  0 0
• 0 1 2 3 4 5 6 7
  8 9
• 6x0 6x1 1x2 3x3 8x4 6x5 1x6 2x7
  0x8
• 0x9 99. 99119x11 0 .
• Sendo assim, o segundo dígito de controle é zero.
• O CPF será então 661 386 120 00.

47
Referências

• DANTE, Luiz R. Restos , congruências e
  divisibilidade, InRPM,
• n.10, 1º semestre de 1987.
• FREIRE,Benedito T. V. Congruência, divisibilidade
  e adivinhações,
• InRPM, n. 22, 1992.
• JURKIEWICZ, Samuel. Divisibilidade e Números
  Inteiros Introdução à
• Aritmética Modular. Iniciação Científica OBMEP
  2006. Rio de Janeiro
• Imprinta Express Gráfica e Editora Ltda, 2006.
• SÁ, Ilydio P. de. Aritmética modular e algumas de
  suas aplicações,
• p. 1 a 16. Disponível em
• http//www.magiadamatematica.com/diversos/eventos/
  20-congruencia.pdf
• Acesso em 24 set. 2009.
• SANTOS, José P. O. Introdução a teoria dos
  números. Rio de Janeiro
• IMPA, 2006.
• UMBELINO JR., Arnaldo.
  Divisibilidade por 7, In RPM, n.43, 2000.