Geometria descrittiva dinamica

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Geometria descrittiva dinamica
Al sommario

• Indagine insiemistica sulla doppia proiezione
  ortogonale di Monge

DEFINIZIONE INSIEMISTICA, DINAMICA E DESCRITTIVA
DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI PUNTO, RETTA, PIANO
Il disegno di copertina è stato eseguito
nella.s. 1992/93 da Vanina Facciolà della
classe 5A dellIstituto Statale dArte G.
Mazara di Sulmona per la materia Teoria ed
applicazioni di Geometria Descrittiva
La revisione delle formalizzazioni è stata curata
dalla dott.ssa Gabriella Mostacci
Autore Prof. Elio Fragassi
IL materiale può essere riprodotto citando la
fonte
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Sommario
Copertina
Sfogliare Titolo dellargomento
Gli elementi geometrici fondamentalipunto, retta, piano-Introduzione
Aspetto dinamico degli elementi fondamentali della geometria descrittiva
Codifica e decodifica degli elementi geometrici
Dall'analisi degli elementi alla sintesi della forma
Il punto caratteristiche geometriche e descrittive
Caratteristiche topologiche punto reale e punto improprio
Conclusioni
La lineacaratteristiche geometriche e descrittive
La linea retta caratteristiche geometriche e descrittive
La semirettacaratteristiche geometriche e descrittive
Il segmento caratteristiche geometriche e descrittive
La superficie rigata piana o piano geometrico
Il semipiano caratteristiche geometriche e descrittive
Tipologia piano geometrico
Caratterizzazione dimensionale e formale del piano geometrico
Abaco delle formalizzazioni

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Vai a
Vai a
Vai a
Vai a
Vai a
Vai a
Vai a
(omesso)
Vai a
(omesso)
Vai a
(omesso)
Vai a
(omesso)
Vai a
(omesso)
Vai a
(omesso)
Vai a
(omesso in parte)
Vai a
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Gli elementi geometrici fondamentali punto,
retta, piano - Introduzione (1)
Sommario
Lambiente in cui viviamo, sia esso naturale che
artificiale, è costituito da elementi e forme
fisiche che hanno consistenza bidimensionale e/o
tridimensionale esse possono essere ricondotte,
comunque, a forme geometriche elementari sia
solide che piane. Per fare questo è necessario
scomporre ogni elemento negli enti fondamentali
punto, retta e piano.
Ambiente
Scomposizione
Le foto sono state estratte da Ville e Giardini
nn 269 280 Editore Elemond s.p.a. Milano
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Gli elementi geometrici fondamentaliPunto,Retta,P
iano - Introduzione (2)

• Le forme geometriche fondamentali si compongono
  ed articolano nello spazio in modo vario e
  diverso dando vita ad elementi più o meno
  complessi che costituiscono l'ambiente e
  caratterizzano il luogo ove si collocano, sia per
  generazione naturale che per produzione manuale
  ed artificiale .

• Riveste perciò particolare importanza acquisire
  la capacità di leggere ed analizzare gli
  elementi che ci circondano per ricondurli a
  figure geometriche piane e/o forme geometriche
  solide .

• Operata questa prima lettura è possibile
  analizzare le forme individuate scomponendole
  negli elementi geometrici primari.

• Questa operazione di scomposizione ci dà
  l'opportunità di individuare le leggi e le
  strutture elementari, ma fondamentali, delle
  figure e delle forme geometriche che, poi,
  trattate sulla superficie definiscono l'ambiente
  e caratterizzano il luogo fisico ove si collocano.

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Aspetto dinamico degli elementi fondamentali
della geometria descrittiva
Sommario

• Se pensiamo alle forme ed alle figurazioni
  geometriche non come oggetti ed elementi finiti,
  definiti e conclusi, ma come risultanti di
  articolazioni spaziali in divenire degli elementi
  fondamentali, è necessario immaginare una
  descrizione dinamica della geometria e delle
  relative forme e figurazioni che si definiscono
  in una elaborazione dinamica e rispondono a
  precise e definite leggi ed operazioni
  geometrico-descrittive. Per questo, gli appunti
  che seguono, definiscono anzitutto gli elementi
  della geometria descrittiva nel loro aspetto
  dinamico con origine dall'ente principale il
  "punto" per passare, poi, allinsieme "retta" ed
  ai suoi sottoinsiemi per arrivare alla
  definizione degli insiemi "piano e semipiano,
  ciascuno con le specifiche caratteristiche
  insiemistiche-dinamico- descrittive (fig.01).

Pertanto
PUNTO RETTA PIANO
costituiscono, in sintesi, gli elementi di base
di tutte le forme geometriche che definiscono
l'ambiente in cui viviamo.
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Codifica e decodifica degli elementi geometrici
Sommario
Per questo, volendo descrivere graficamente, con
linguaggio geometrico, gli elementi che
determinano l'ambiente è necessario acquisire
capacità di lettura delle immagini per conoscere,
bene, (Fig.02, Fig.03, Fig. 04) sia gli
elementi geometrici singoli che gli insiemi
costituitisi, che le leggi mediante le quali
gli stessi si articolano e si compongono in
insiemi di figure e forme geometriche (codifica)
che le operazioni grafiche per mezzo delle quali
è possibile la lettura e la descrizione
(decodifica) dinamica degli stessi.
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Dallanalisi degli elementi alla
sintesi della forma
Sommario
Su quanto considerato si innesta la necessità di
definire alcune considerazioni per ragionare di
dinamicità nella rappresentazione geometrica in
modo da poter passare da una descrizione
geometrica statica ad una elaborazione
descrittiva dinamica mediante la ricerca, lo
studio, l'applicazione, la lettura, la
composizione e la definizione di processi
creativi fondati su elementi geometrici che si
compongono, nel tempo e nello spazio, sulla base
di leggi insiemistiche-geometrico-descrittive che
fanno riferimento ai concetti di una  
GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA 
Loggetto rappresentato (Fig.05) è stato
ottenuto componendo, nello spazio e nel tempo ,
mediante un processo elaborativo mentale e
pratico, gli elementi geometrici analizzati
nella pagina precedente un pentagono, un rombo
e un rettangolo. Queste sono figure piane
delimitate da un perimetro chiuso costituito da
lati che, geometricamente, sono segmenti di rette
complanari mentre le rette, intersecandosi,
generano i vertici che, dal punto di vista
geometrico, sono punti. Questa immagine, pur se
complessa, può essere scomposta negli elementi
geometrici primari delle precedenti figure 02,
03, 04 Punto, Retta, Piano.
Infatti I VERTICI possono essere riguardati come
PUNTI. Gli SPIGOLI possono essere riguardati come
segmenti di RETTE. Le FACCE possono essere
riguardate come porzioni di PIANI.
Così operando la figurazione risultante
rappresenta la sintesi di un processo elaborativo
e descrittivo che integra, in continuo, nel suo
divenire, concetti teorici geometrici ed
insiemistici, acquisizioni metodologiche ed
elaborazioni grafiche tra elementi aventi
caratteristiche comuni.
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Il punto geometrico
Sommario
ENTE GEOMETRICO
ADIMENSIONALE
Perché deve essere inteso come qualcosa che
esiste concettualmente
Perché riferito, in modo specifico al campo della
geometria
Perché privo di ogni dimensione altezza, peso
lunghezza, larghezza,, ecc.
Alcuni esempi di punto geometrico
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Caratteristiche topologiche punto reale e punto
improprio
Ampliando l'ambito operativo dello spazio
geometrico-descrittivo con il concetto di
infinito () il punto può caratterizzarsi come
"ente reale" o "ente improprio" a seconda che la
sua ubicazione spaziale sia riconducibile
all'interno di un luogo geometrico finito e
reale, oppure in un luogo geometrico dello spazio
infinito
Contraddistinguiamo, pertanto, il "punto reale"
(Fig.14) come l'elemento geometrico primario
collocato nello spazio finito di un determinato
luogo geometrico e lo indichiamo, sia nei disegni
e nelle figure, che nello scritto di questi
appunti, con le lettere maiuscole
dell'alfabeto A, B, C, D
Punto reale Ente geometrico collocato nello
spazio finito
Caratterizziamo, invece, il "punto improprio"
(Fig.15) come l'ente geometrico primario
collocato in un luogo dello spazio infinito, e
lo indichiamo, sia nei disegni che nelle figure,
che nello scritto di questi appunti con le
annotazioni, come di seguito A, B, C, D ,....
Punto improprio Ente geometrico collocato nello
spazio infinito
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Conclusioni (1)
Sommario
Il punto così definito e caratterizzato
rappresenta lelemento primigenio e fondamentale
della Geometria descrittiva dinamica di cui, in
particolare si tratta nei seguenti appunti
Quanto di seguito si basa, infatti, su uno
stretto rapporto tra Geometria descrittiva ed
Insiemistica con i relativi scopi e le specifiche
caratteristiche di seguito enunciate
Per quanto attiene la Geometria descrittiva
trattasi dello studio ... Dei metodi di
rappresentazione e quindi implicitamente,di tutti
quei metodi che consentono di costruire immagini
di figure e quindi di tradurre i problemi
geometrici in termini puramente
rappresentativi... (1) il cui scopo ...è la
rappresentazione delle figure dello spazio sopra
un piano...in modo che dalla rappresentazione si
possa risalire alloggetto rappresentato,
determinando così ogni elemento di esso in forma
e grandezza (2) (1) Dante Nannoni, Il mondo
delle proiezioni, vol.I, Cappelli, Bologna,
1980 (2) E. Bompiani C. Longo, Geometria
descrittiva, Eredi Virgilio Veschi, Roma 1968
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Conclusioni (2)

• Il concetto di insieme si è venuto a delineare,
  con le sue caratteristiche scientifiche, alla
  fine del secolo XIX. Per quanto attiene
  lInsiemistica si ricorda che Nel 1897, Georg
  Cantor, creatore della teoria degli insiemi,
  definiva un insieme come lunione in un tutto
  di oggetti del nostro intuito o del nostro
  pensiero, ben determinati e differenziabili gli
  uni dagli altri (1)
• A seguito di studi approfonditi e discussioni,
  questa definizione iniziale ha subito modifiche e
  precisazioni allinizio del secolo XX, ma non per
  questo ha perso di validità ed importanza.
• Negli appunti che seguono essa va intesa come
  studio e ricerca di rapporti geometrici
  connettivi ed applicazione di processi
  logico-descrittivi tra elementi e ...classi di
  elementi che vengono indicati per una loro
  caratteristica comune (2)
• R. Faure A. Kaufmann M.Denis-Papin, Manuale
  di matematica, ISEDI, Milano, 1976
• Remo Sandron, Dizionario fondamentale della
  lingua italiana, De Agostini, Novara, 1994

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La linea caratteristiche
geometriche e descrittive
considerazioni introduttive e presentazione
Sommario
Tra le forme geometriche di terza specie, di
norma, vi si colloca il cosiddetto "spazio di
punti" o "spazio punteggiato, intendendo con
esso il luogo geometrico costituito da tutti i
punti dello spazio fisico tridimensionale.
Se immaginiamo questo "spazio di punti" non
statico ma dinamico, allora vuol dire che ogni
punto può muoversi liberamente, occupando,
istante per istante, posizioni diverse
all'interno di un luogo o di un ambito definito.
Sulla base di questa presupposizione, un punto in
movimento nello spazio descrive, con il suo
spostarsi, una linea l.
Linea curva(fig.16)
Linea spezzata (fig.17)
Le linee curva, spezzata e mista possono essere,
a loro volta, aperte, chiuse, semplici o
intrecciate
Linea mista (fig.18)
Linea retta (fig.19)
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La linea caratterizzazione dinamica ed
insiemistica
Pertanto è possibile sostenere, che ad ogni
punto in movimento nello spazio si può associare
una linea, che assume, a seconda del percorso che
descrive una specifica caratterizzazione con
relativa denominazione (Fig.20). Dal punto di
vista geometrico e dinamico-descrittivo possiamo
riassumere il concetto di cui sopra con la
seguente espressione insiemistica

• Ogni punto in movimento casuale nello spazio
  implica lesistenza di una ed una sola linea l

Legenda dei simboli
" Quantificatore insiemistico universale (Per
ogni). P Punto in movimento casuale. ?
Appartiene W Spazio Þ Implicazione logica.
! Quantificatore insiemistico esistenziale
(Esiste ed è unico). l Linea generata da un
punto dinamico. Quantificatore insiemistico
universale (tale che).
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La linea caratterizzazione spaziale e
descrittiva
 Dalle considerazioni dinamiche e dalle
esemplificazioni grafiche di cui sopra possiamo
dedurre quanto di seguito. Se il punto P si
muove, nello spazio, in modo casuale, si può
affermare che esso descrive una linea che può
caratterizzarsi come quella della fig. 21 e
configurarsi come "linea sghemba" (se il punto,
nel movimento, occupa un luogo geometrico
tridimensionale), o come "linea piana" (Fig.22)
(se il punto, nello spostarsi occupa un luogo
geometrico piano).Pertanto, nell'uno o nell'altro
caso, si può concludere, sintetizzando il
concetto con la seguente formalizzazione
dinamico-descrittiva della linea l.
l Linea l generata da un punto P in movimento
casuale. S Sommatoria delle posizioni di P in
movimento casuale. -? ? Estremi impropri della
sommatoria. P Insieme delle posizioni del
punto geometrico in movimento casuale.
La linea dinamico-geometrica- è costituita dalla
sommatoria infinita dellinsieme delle posizioni
di un punto P che si muove in modo casuale nello
spazio bidimensionale e/o tridimensionale
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La linea caratterizzazione spaziale e
descrittiva (2)
Volendo estendere la natura dinamico-descrittiva
del punto quale ente generatore fondamentale
della geometria in generale e della geometria
descrittiva in particolare, si può enunciare,
come di seguito, la proprietà principale
dell'elemento "linea" della "Geometria
descrittiva dinamica
In uno spazio geometrico punteggiato, per ogni
punto in movimento casuale, si genera un insieme,
non vuoto, chiamato "linea" costituito dalla
sommatoria, estesa da -? a ?, dellinsieme di
tutte le posizioni del punto P in movimento
casuale nella spazio bidimensionale e/o
tridimensionale.
La formalizzazione sintetica insiemistica-dinamico
-descrittiva assume, pertanto, il seguente
aspetto.
dove i simboli hanno il significato già
esplicitato e la formula si legge come di seguito
Ogni punto in movimento casuale implica
lesistenza di uno ed un solo insieme linea
costituito dalla sommatoria infinita dellinsieme
delle posizioni del punto P in movimento nello
spazio stesso
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La linea retta caratteristiche geometriche e
descrittive
Sommario
Se il punto P si muove nello spazio secondo una
direzione unica e definita, allora si dirà che il
punto è in "movimento orientato" (Fig.23).
In questo caso la linea l sarà contenuta da un
piano (fig.24) assumendo il nome di "linea
retta", che per facilità di esposizione si
indicherà semplicemente con il termine "retta".
Didascalicamente, verrà indicata, sia nei
disegni che nelle figure che negli scritti dei
seguenti appunti, con le lettere minuscole
dell'alfabeto esempio a, b, c, d,... La
caratterizzazione descrittiva ed insiemistica
verrà definita nelle pagine successive.Come il
punto, anche la retta può essere un elemento
geometrico reale oppure un elemento geometrico
improprio. La retta sarà un elemento reale
quando il suo campo di esistenza ricade in un
luogo geometrico reale viceversa sarà un
elemento geometrico improprio quando il suo campo
di esistenza ricade in un logo geometrico
improprio come ad esempio nel caso di retta
intersezione tra due piani paralleli.  Le
didascalie sono le seguenti rette reali a, b,
c, d, ...
rette improprie a?, b?, c?, d?, ...
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Formalizzazione delle caratteristiche
geometrico-descrittive
La retta r è costituita dalla sommatoria
orientata ed infinita dellinsieme delle
posizioni di un punto P che si muove nello spazio
secondo una direzione stabilita.
dove  r Linea retta Insieme
costituito dal punto in movimento definito ed
orientato. Sommatoria orientata di tutte
le posizioni del punto P in movimento definito
ed orientato nello spazio. -?? Estremi
impropri della sommatoria.
Quanto sopra può applicarsi ad ogni punto
riguardato in senso dinamico per cui, poiché
nello spazio i punti sono infiniti e le direzioni
sono anch'esse infinite, possiamo sintetizzare,
per la retta, la seguente espressione
insiemistica
?  Quantificatore insiemistico universale (Per
ogni). Punto in movimento definito ed
orientato. ? Appartiene W Spazio ?
Implicazione logica. ? ! Quantificatore
insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico). r
Linea retta Quantificatore insiemistico
universale (Tale che).
che si legge
Per ogni punto in movimento orientato nello
spazio esiste una ed una sola retta
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Formalizzazione delle caratteristiche
geometrico-descrittive (2)
Pertanto è possibile generalizzare la natura e
la caratterizzazione insiemistico-geometrico-descr
ittiva della retta come di seguito, la cui
formalizzazione sintetica assume la seguente
forma
dove i simboli hanno il significato già
esplicitato e la formula si legge come di
seguito.
Ogni punto in movimento orientato implica
lesistenza di una ed una sola linea che assume
il nome di retta ed è costituita dalla
sommatoria orientata, estesa da -? a ? ,
dell'insieme costituito dalle posizioni del punto
P in movimento orientato nello spazio
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Elementi necessari alla definizione della retta
Sulla base delle considerazioni sviluppate, dato
uno spazio, sia piano che solido, per definire,
univocamente, una retta possiamo utilizzare due
metodi, a seconda delle situazioni grafiche che
si presentano o delle necessità descrittive.
La definizione geometrica classica postula che
una retta è tale, ed univocamente definita,
quando coincide con la linea che passa per due
punti distinti con il minore sviluppo (Fig.25).
Per cui dati due punti A e B si possono tracciare
infinite linee che passano per essi ma una, ed
una sola linea retta. Se i due punti, pur
diversi, coincidono A º B siamo, fisicamente, in
presenza di un unico punto e pertanto per un
punto possono passare infinite rette complanari
determinando un fascio di rete , oppure infinite
rette dello spazio determinando una stella di
rete.
Se consideriamo laspetto dinamico della
geometria e quindi la retta come elemento
generato da un punto in movimento orientato, sarà
sufficiente definire un solo punto P ed una
direzione d per determinare univocamente una ed
una sola retta (Fig. 26) . Date infatti le
infinite direzioni esistenti nello spazio e/o
sul piano, se si assegna una determinata
direzione d di spostamento ad un punto P, ci
sarà solo una retta che con quella direzione
assegnata passerà per il punto P dato.
Concludendo, per definire descrittivamente una
retta possiamo utilizzare, a secondo dei casi,
uno dei seguenti metodi a) retta passante per
due punti distinti e non coincidenti. b) retta
passante per un punto secondo una direzione
assegnata.
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Abaco delle formalizzazioni (1)
Sommario
Formalizzazioni
Espressioni
Elementi geometrici
Insiemistica
Linea l punteggiata
Descrittiva
Insiemistico-descrittiva
Formalizzazioni
Espressioni
Elementi geometrici
Insiemistica
Retta r punteggiata
Descrittiva
Insiemistico-descrittiva