Natureza - caos ou ordem?

1
Natureza - caos ou ordem?
2
Nos primeiros tempos o mundo era visto como
algo completamente imprevisível, governado por
divindades caprichosas. A revolução newtoniana
veio depois trazer a ideia de que é possível
prever quase tudo().
Mas podemos estar hoje no inicio de uma nova
oscilação do pêndulo, com o reconhecimento de que
muitas das regras deterministas mais simples
provocam, afinal, comportamentos dinâmicos
caóticos e imprevisíveis. In Deus
joga aos dados? Ian Stewart
3
Na Ciência que herdámos dos nossos professores e
de outros estudiosos o desejo de compreender
fixava-se na busca do simples, do regular, do
equilíbrio estável, do periódico.
No entanto, a Natureza deixou-nos uma herança que
exibe tanto de perfeito, como de irregular,
instável e não periódico.
4
Muitos foram necessários para que a ciência se
emancipasse e admitisse um novo percurso
Façamos uma analepse
5
Kepler, Galileu, Newton, Leibniz (séculos XVII e
XVIII)
Kepler e Galileu iniciam o estudo do
comportamento dos sistemas dinâmicos, com a
investigação do movimento dos planetas.
6
Newton e Leibniz
Estudando as regularidades dos movimentos
criam o cálculo diferencial e integral, com base
na ideia de infinitésimo e de limite.
Não só descrevem leis do mundo físico e natural,
como as formalizam em teoremas.
7
Muitos outros foram motivados a desenvolver os
seus estudos e a interpretar fenómenos, tudo no
paradigma do regular, do estável e do periódico.
Depois de árduo estudo com sucesso, a Natureza
aparecia simples, espantosamente compreensível
8
Final do séc. XIX e inicio do séc. XX
Surgem os casos conhecidos como patológicos
Curva de Weierstrass
Conjunto de Cantor.
Curva de Peano
9
Como se constrói a Curva de Peano?
Passo 0 Constroi-se um segmento de recta.
Passo 1 Divide-se esse segmento em três partes
iguais.
Passo 2 Sobre o segmento médio, constrói-se um
rectângulo bissectado pelo segmento, formando
dois quadrados com lado igual ao segmento que
lhes deu origem.
Passo 3 Em cada segmento dos nove restantes,
repetem-se os passos 1 e 2, e assim
sucessivamente, até ao infinito.

• No limite a curva de Peano, não é mais
  do que uma superfície completamente
  preenchida.

10
Em 1904 Helge von Koch (matemático sueco) exibe
mais uma curva que oculta uma propriedade
surpreendente
o perímetro infinito delimita uma área finita
11
Como se constrói da Curva de Von Koch?
Passo 0 Constroi-se um segmento de recta.
Passo 1 Divide-se o segmento em três partes
iguais.
Passo 2 Substitui-se o segmento médio por dois
segmentos iguais, de modo a que, o segmento médio
e os dois novos segmentos formem um triângulo
equilátero.
Passo 3 Repete-se os passos 1 e 2 para cada um
dos segmentos obtidos
Passo 4 Repete-se este processo ad infinitum.

• A curva de Von Koch tem
• Comprimento infinito
• Não tem derivada em nenhum dos pontos.

12
No princípio do século XX, Poincaré apoiado em
exemplos da física e da astronomia verifica que o
comportamento, mesmo sistemas simples, pode ser
muito complexo, instável, não-linear.
Nasce a topologia como novo campo de visão para a
física e para a matemática
13
Embora seguissem isoladamente, todas estas
descobertas caminhavam no mesmo sentido
O pensamento determinista mostrou-se falível e
inadaptado a muitas situações reais.
14
Gaston Julia e Pierre Fatou apresentaram, em
1918, um trabalho sobre processos iterativos
envolvendo números complexos que mais tarde
viriam a ser conhecidos como Conjuntos de Julia
15
Todos estes objectos
se inserem hoje numa classe mais ampla de
objectos denominados fractais.
16
O que é um fractal?
Termo criado por Benoît Mandelbrot na década de 70
Do adjectivo latino fractus e do verbo frangere,
que significa quebrar
Para designar objectos geométricos que nunca
perdem a sua estrutura qualquer que seja a
distância de visão.
Objectos auto-semelhantes
17
Mandelbrot classificou-os desta forma por estes
possuírem dimensão fraccionária ou mesmo
irracional.
Estamos perante um conceito geométrico para o
qual não existe, até à data uma definição formal.
18
Um fractal é um objecto gerado a partir de uma
fórmula matemática envolvendo funções reais ou
complexas, muitas vezes simples (como é o caso da
quadrática)
mas que quando aplicadas de forma iterativa,
produzem formas geométricas abstractas, com
padrões complexos que se repetem infinitamente.
19
Mas quem é então Mandelbrot?
Matemático polaco de origem judaico- -lituana
acolhido pela secção de investigação pura da IBM
Ao contrário de outros matemáticos, ele
enfrentava os problemas com a ajuda da sua
intuição para formas e padrões.
20
Ao estudar os preços do algodão e ao passar os
dados para os computadores da IBM, deparou com o
resultado incrível
21
(No Transcript)
22
Cada variação de preços era casual e imprevisível.
No entanto a sequência das variações era
independente das escalas as curvas das variações
diárias e das variações mensais combinavam
perfeitamente.
Este facto esteve na origem do interesse de
Mandelbrot por objectos auto-semelhantes.
23
No entanto a maior parte dos objectos com que
lidamos no nosso dia-a-dia não são rectas, nem
esferas, nem cones.
Há alguma razão para a geometria não descrever o
formato das nuvens, das montanhas, das árvores ou
da sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas,
montanhas não são cones, troncos de árvores não
são hexágonos e rios não desenham espirais.
Benoît
Mandelbrot
24
"As imagens que calculei com a minha teoria
matemática assemelhavam-se curiosamente à
realidade e se eu podia imitar a natureza, era
porque provavelmente teria descoberto um dos seus
segredos..." Benoît Mandelbrot
25
As imagens fractais inserem-se essencialmente em
duas categorias
Fractais geométricos
Fractais aleatórios
26
Fractais geométricos derivam da geometria
tradicional e constroem-se de forma iterativa a
partir de uma figura inicial.
27
Fractais aleatórios são gerados por computador e
resultam de iterações operadas em funções não
lineares reais, complexas (o tipo mais comum) ou
quaterniónicas.
Fractais obtidos através da iteração de números
complexos.
28
Fractais obtidos por computador através da
iteração de quaterniões.
29
Estes possibilitam imagens de uma beleza
impressionante, bem como um vasto leque de
aplicações no domínio das artes
na indústria cinematográfica, tornaram-se um
meio de conceber cenários naturais
30
na escultura
31
na arquitectura
32
Música baseada no Conjunto de Julia
na música
33
CARACTERÍSTICAS DE UM FRACTAL
Um fractal distingue-se por três características
fundamentais
a sua auto-semelhança
a sua complexidade infinita
a sua dimensão
34
A auto-semelhança de um fractal baseia-se no
facto de o conjunto ser constituído por pequenas
cópias de si mesmo.
No entanto verificamos que esta afirmação tem
limites quando abandonamos os modelos matemáticos
e consideramos objectos naturais.
Distinguem-se, assim, dois tipos de
auto-semelhança a exacta e a aproximada (ou
estatística).
35
A auto-semelhança exacta só existe, portanto, no
seio da matemática.
Formalmente, uma figura F, possui auto-semelhança
exacta se, para qualquer dos seus pontos, existe
uma vizinhança que contém uma parte da figura
semelhante à totalidade de F.
36
Relativamente à auto-semelhança aproximada,
embora não seja também real, pois estamos
limitados à escala visível, encontram-se boas
aproximações em formas da natureza.
37
A complexidade infinita advém do facto de o
processo gerador dos fractais ser recursivo,
tendo um número infinito de iterações.
38
Contudo, os objectos da Natureza não são
verdadeiramente fractais, pois eles não possuem
auto-semelhança exacta nem são infinitamente
complexos.
39
Como calcular a dimensão de um fractal?
Considere-se um segmento de recta e divida-se 4
(41) partes iguais.
Efectuando um processo semelhante para cada um do
lados de um quadrado obtêm-se 16 ( 42) partes
iguais.
Procedendo-se de igual modo para o cubo, obtêm-se
64 (43) partes iguais.
40
Sejam
R a razão na qual dividimos cada segmento da
figura (coeficiente de redução) N - o número de
partes resultante d - a dimensão
41

• Para a recta (dimensão 1) N 1/R1
• Para o quadrado (dimensão 2) N 1/R2
• Para o cubo (dimensão 3) N 1/R3

Generalizando para qualquer dimensão
N 1/Rd
42
Ou seja,
Logo,
Isto é,
Este processo válido para todas as figuras com
auto-semelhança exacta, fractais ou não e
43
confirma o valor da dimensão atribuída pela
geometria euclidiana
Por exemplo, para o cubo temos
44
Geometria Euclidiana versus geometria fractal 
Dois graus de ordem no caos a ordem euclidiana
e a ordem fractal() entre o domínio do caos
desregulado e a ordem excessiva de Euclides
existe agora uma nova zona da ordem fractal.
Mandelbrot
Geometria Euclidiana Geometria fractal
Mais de 2000 anos Últimos trinta anos
Baseada em tamanho ou escala pré-definida Tamanho ou escala específica
Adequada a objectos abstractos Adequada também a formas naturais
Dimensão inteira 0,1,2,3 Dimensão real no intervalo 0,3
Descrita por fórmulas e equações Uso de algoritmos recursivos
45
Estudo de alguns fractais
Floco de Neve de Koch
O triângulo de Sierpinski
Conjunto de Mandelbrot
46
Como se constrói o Floco de Neve de koch?
Passo 0 Constrói-se um triângulo equilátero.
Passo 1 Divide-se em três partes iguais cada um
dos lados do triângulo, construindo-se sobre cada
um dos segmentos médios um novo triângulo
equilátero.
Passo 2 Repete-se o processo de construção
sobre cada um dos lados da figura obtida
anteriormente. E assim sucessivamente.
47
Obtém-se assim a seguinte sequência de figuras
48
Como varia o número de lados da curva com as
transformações?
Passos Número de lados
Figura de partida 3 3 x 40
1º Transformação 3x4 12 3 x 41
2º Transformação 12x4 48 3 x 42
3º Transformação 48x4 192 3 x 43
4º Transformação 192x4 768 3 x 44
... .

• O número de lados de cada figura em função do
  número de transformações é dado por

• O Floco de Neve tem um número infinito de lados.

49
Como é que varia o comprimento dos lados da curva
com as transformações?
Suponhamos que o lado do triângulo inicial vale
uma unidade.
Passos Medida de cada lado
Figura de partida 1
1º Transformação 1/3 1/3 3-1
2º Transformação 1/9 1/32 3-2
3º Transformação 1/27 1/33 3-3
4º Transformação 1/81 1/34 3-4
... .

• A medida dos lados de cada figura em função do
  número de transformações é dado por

• A medida de cada lado da curva tende para zero.

50
Como varia o perímetro da curva em função do
número de transformações?
Sabemos que
e
Definindo a sucessão dos perímetros Pn à custa
das duas sucessões anteriores, obtemos

• O perímetro do floco de neve é infinito.

51
Qual é a área do floco de neve de Koch?

• Considerando que a área do triângulo inicial que
  serve de ponto de partida para a construção da
  curva de Koch tem uma unidade de medida.

• A área do Floco de Neve de Koch é

• inferior à área do hexágono

• está compreendida entre 1 e 2.

52
Qual o valor exacto da área do Floco de Neve?

• A área do polígono, em cada passo, obtém-se
  adicionando à área do polígono do passo anterior
  a área de um triângulo equilátero, cujo lado é
  1/3 do anterior, multiplicada tantas vezes
  quantas o número de lados do polígono anterior.

.......
53
Então An1 1 Sn com
Calculando o limite de Sn quando n tende para
infinito tem-se
A área do Floco de Neve de Koch é
54
Qual é a dimensão do Floco de Neve de Koch?

• O coeficiente de redução é 1/3.

• O número de partes iguais obtidas em cada
  segmento de recta é 4.

Então,a dimensão do Floco de Neve é dada por
55

• Em suma
• À medida que se vão fazendo transformações o
  número de lados da curva aumenta, mas o
  comprimento de cada um deles diminui.
• A curva vai ter um número infinito de lados.
• A medida de cada lado da figura tende para zero.
• O perímetro é infinito.
• A área é limitada é 1,26.
• Dimensão do floco de neve.
• O Floco de Neve de Koch possui auto-semelhança
  exacta.

56
Como se constrói o triângulo de Sierpinski?
Passo 0 Constrói-se um triângulo equilátero
(sólido)
Passo 1 Determina-se os pontos médios de cada um
dos lados de um triângulo e unem-se por segmentos
esses pontos médios. Considera-se os 4 triângulos
resultantes e retira-se o triângulo central.
Ficamos assim com 3 triângulos sólidos
Passo 2 Aplica-se o procedimento anterior a
cada um dos 3 triângulos resultantes. Obtemos 9
triângulos sólidos
...
Passo N Aplica-se o procedimento descrito no
passo 2 a cada um dos triângulos sólidos obtidos
no passo N-1, até ao infinito. Obtém-se assim o
Triângulo de Sierpinski.
57
O triângulo de Sierpinski é a figura limite do
processo
58
Qual a área do Triângulo de Sierpinski?
Passo 0
Passo 1
Passo 2
Passo 3
...
Passo n

• A área do Triângulo de Sierpinski tende para
  zero.

59
Como varia o perímetro da figura com as
transformações?
O número de triângulos sólidos em cada passo da
construção é dado por
Passo 0
Passo 1
Passo 2
Passo 3

• O perímetro do Triângulo de Sierpinski tende
  para infinito.

60
Qual a dimensão do Triângulo de Sierpinski?

• O coeficiente de redução é 1/2.

• O número de triângulos obtidos é o triplo do
  passo anterior.

Então, a dimensão do Triângulo de Sierpinski é
dada por

• O Triângulo de Sierpinski possui auto-semelhança
  exacta.

61
Triângulo de Sierpinskie o Triângulo de Pascal
62
Em suma

• A área do Triângulo de Sierpinski tende para
  zero.

• O perímetro tende para infinito.

• A dimensão é 1,59.

• Possui auto-semelhança exacta.

63
Como se constrói o conjunto de Mandelbrot?

• É obtido quando submetemos os números complexos (
  abi, a,b reais, i constante imaginária ) a um
  processo iterativo.

• A nossa construção começa com um número complexo
  (um ponto do plano) a partir do qual criamos uma
  sequência infinita de números (pontos) que
  dependem do número inicial

• Esta sequência de números chama-se SEQUÊNCIA DE
  MANDELBROT.

64
,w nº complexo constante

• Atribuímos a cor a um número complexo Z aib,
  qualquer, que vai ser desenhado como um ponto
  (a,b) do plano.

Comecemos o processo iterativo

• Observando o comportamento de Zn1, ou seja,
  do seu módulo Zn1 , temos as
  seguintes possibilidades
• Zn mantém-se sempre finito - Atribui-se a cor
  preta a z.
• Zn tende para infinito - Atribuem-se
  diferentes cores a z, dependendo do comportamento
  de Zn. A classificação é definida por quem
  desenha o fractal.

65
Um possível critério
Cores quentes se divergir lentamente
Pontos de Divergência
Cores frias se divergir rapidamente
Pontos de Periodicidade
Ponto negro
Pontos de Convergência
66
Como resultado de um processo iterativo obtemos
67
Sucessivas ampliações do conjunto de Mandelbrot
68
(No Transcript)
69
Feedback

• O que foi feito uma vez pode sempre ser repetido
  , Louise B.Young.
• Em termos gerais o feedback surge quando uma
  porção do output retorna ao input.

70
Exemplos

• Rock, Medicina, Psicologia, Bioquímica
• No mundo matemático, feedback está geralmente
  associado ao resultado de uma iteração ou
  recursão

71
Exemplificando...

• Se numa calculadora digitarmos 0.5 e
  pressionarmos repetidamente x2, aparecer-nos-ão
  os seguintes números

• 0.5 0.25 0.0625 0.00390625 ...

• Que correspondem a, respectivamente
• x0 f(x0) f(f(x0)) f(f(f(x0))) ...

72
Mas o feedback pode produzir resultados bem mais
interessantes...

• Conjunto de Julia z z2c
  ( c-10i )

73
Pontos Periódicos

• O conceito de ponto peródico bastante comum no
  nosso vocabulário.
• Por exemplo todos nós já ouvimos falar que o
  cometa Halley tem um período de aproximadamente
  76 anos.

74
O que é matematicamente, um ponto periódico?

• Definição
• Seja x0 um ponto do domínio de f. Então x0 é n-
  periódico se
• f(x0) x0
• e ,
• x0, f(1)(x0), f(2)(x0), ... , f(n)(x0)
• são distintos.
• Se x0 tem período n, então a
  órbita
• x0, f(1)(x0), f(2)(x0), ... , f(n)(x0)
• é uma orbita periódica e é chamada de n- ciclo.

75
Exemplo

• Seja T definida por
• 2x para 0 ? x ? 1/2
• T(x)
• 2-2x para 1/2? x ? 1
• para mostrar que 2/7, 4/7, 6/7 é um 3- ciclo
  para T basta ver que
• T(2/7) 4/7, T(4/7) 6/7 e T(6/7) 2/7.

76
Três padrões distintos de comportamento
iterativo, no batimento cardíaco.
77
Exemplo ilustrativo do comportamento cardíaco e
cerebral de um gato.
ECG antes da dose de cocaína
ECG depois da dose de cocaína
EEG antes da dose de cocaína
EEG depois da dose de cocaína
78
CAOS

• O que é?

79
Dependência das condições iniciais

• O estudo da Teoria do caos assenta basicamente no
  estudo dos fenómenos de dependência sensível das
  condições iniciais .
• Isto significa que se mudarmos ligeiramente um
  parâmetro podemos obter um resultado /
  comportamento muito diferente do esperado.

80
Definição

• Seja J um intervalo , f J ? J uma aplicação .
  Então f
• tem dependência sensível nas condições iniciais
  em x ,
• ou apenas dependência sensível em x se existir
  um ?gt0 tal que para cada ?gt0 , existe um y?
  J e n?N tal que
• x-ylt ? e f(n)(x) - f(n)(y)gt ? .

81
EFEITO BORBOLETA

• Muito da teoria do caos se deve à tentativa de
  compreender o comportamento da atmosfera
  terrestre.
• Actualmente, os meteorologistas estão a usar o
  caos para avaliar e prever as alterações
  climáticas e estados do tempo com alguma
  segurança.

82

• A pesquisa matemática está a desenvolver
  modelos que ajudarão fazer previsões cada vez
  mais longas e precisas.
• Exemplo previsões sazonais das chuvas das
  monções, mudanças no clima como resultado das
  actividades humanas, tais como o efeito de estufa.

83

• No entanto sabemos que a atmosfera é um sistema
  caótico que é em muitas situações imprevisível.
• Assim, são as tentativas de previsão do tempo a
  longa escala e da alteração do clima um
  desperdício do tempo?
• Devemos nós satisfazermo-nos com a previsão dada
  pela televisão ?

84
Ilustração do efeito borboleta
(a) - Condições iniciais para oito previsões
climatéricas.
(b) - Previões do estado do tempo, uma semana
depois das condições iniciais
85

• Em (a) reflecte-se as condições iniciais
  idênticas para a previsão do tempo .
• Em (b), uma semana depois, o modelo
  computacional mostra um mudança abrupta nas
  condições do tempo.
• Esta é uma ilustração realista da dependência das
  condições iniciais. A partir daqui podemos
  compreender a dificuldade que os meteorologistas
  têm em fazer longas previsões, e o porquê dos
  seus frequentes erros.

86

• O caos encontra-se num sistema dinâmico se dois
  pontos inicialmente próximos divergem
  exponencialmente ao longo das várias iterações.
• O seu comportamento futuro pode ser imprevisível.

87
Definição (Caos)

• Uma função f é caótica se satisfaz a condição
• f tem dependência sensível nas condições
  iniciais em
• todos os valores do seu domínio.

88
São fractais e caos sinónimos ?
Não.

• Fractais e caos determinístico são
  ferramentas matemáticas que modelam diferentes
  tipos de fenómenos.

Muitos fractais não são caóticos (triângulo de
Sierpinsky, curva de Koch,)
Mas existem factores comuns, pois muitos
fenómenos caóticos têm estruturas fractais.
89
Como por exemplo no gráfico
90
CAOS E LINGUAGEM DOS FRACTAIS NO ENSINO SECUNDÁRIO
91
A grande força da Matemática é a sua capacidade
para construir estruturas complexas, a partir de
algumas ideias-chave simples. Assim que surge o
esqueleto de uma tal estrutura, cada novo bocado
pode ser acrescentado no lugar certo. Sem haver a
percepção do esqueleto, os bocados jazem
dispersos e indevidamente avaliados. Temos,
agora, o esqueleto de uma teoria dos Fractais. O
desafio para os matemáticos do próximo século
será moldar a carne para esses já fascinantes
ossos. Ian Stewart  
92
No ensino secundário, 11º ano e/ou 12º, os
tópicos caos e fractais são facultativos.
93
Porquê abordar fractais e caos no
secundário?

• O universo dos fractais e caos é uma nova e rica
  área interdisciplinar que proporciona uma maneira
  diferente de olhar para a natureza.

• Os Fractais poderão contribuir para despertar os
  alunos para a beleza e utilidade da Matemática.

• Quer a geometria fractal, quer a teoria do caos
  constituem um tema por excelência para invocar a
  importância da matemática nas tecnologias
  informáticas e vice-versa

94
Quando abordados, é de forma superficial, com o
objectivo de que o aluno tenha uma noção
intuitiva dos temas. Uma boa forma de o fazer é
através de
95
    exemplos na vida quotidiana
1. Suponhamos que temos alguns berlindes e
resolvemos atirá-los ao chão.
Depois de um algum tempo os berlindes param nas
suas posições.
Agora junte os berlindes e repita a experiência.
96
Será que os berlindes se irão posicionar
exactamente como na vez anterior?
É esperado que não.
Mesmo que tentemos atirá-los da mesma posição não
conseguiremos ter precisão suficiente para
posicioná-los correctamente.
97

• 2. O trânsito é outro exemplo. Mesmo assim, o
  número de variáveis é grande e o comportamento do
  sistema depende muito das condições iniciais.
  Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.

Já observou que há dias em que o congestionamento
é maior?
É bem provável que o transtorno tenha sido
causado por um carro acidentado, ou operação
stop, ou uma via paralisada por um veículo ter
derramado combustível.
98

• O número de variáveis é grande e o comportamento
  do sistema depende muito das condições iniciais.

Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.
99
Outro exemplo que se pode referir é o Efeito
Borboleta  
O bater das asas de uma borboleta na China pode
causar um furacão no Texas
por ser de compreensão imediata.
100
O primeiro estudo do caos na ecologia foi sobre o
acompanhamento temporal de evoluções de abelhas,
borboletas, pássaros raros etc.
Esta é uma situação real e fundamental para os
ambientalistas.
As leis que governam tais populações são muito
variadas, e no conjunto delas, existe uma simples
equação logística, cuja expressão matemática é
101
A teoria do e a geometria fractal transcendeu a
ciência e mexeu com a imaginação popular. Alguns
exemplos disso são os filmes Butterfly Effect,
Cidade de Deus e Jurassic Park. Neste último a
teoria do caos é utilizada para explicar porque
os dinossauros poderiam fugir ao controle de seus
criadores. ou seja, sistemas aparentemente
simples e seguros, podem de repente apresentar um
comportamento caótico e imprevisível.
102
Mas, não é só em Hollywood que essa teoria é
aplicada. Podemos facilmente encontrar outros
exemplos na natureza, um rio calmo que se
transforma num remoinho de um minuto para outro
em nosso dia-a-dia, a fumaça do cigarro que se
eleva em linha recta, mas de repente aumenta de
velocidade e forma círculos no corpo humano, o
aparelho digestivo que apresenta ondulações
dentro de ondulações, os alvéolos pulmonares, o
sistema urinário e o sistema circulatório são
considerados fractais.
103
Actividades sugeridas
104
1. Construção um cartão fractal
a) Dobre uma folha A4 ao meio
b) Faça cortes de comprimento a/2 a um quarto de
cada lado
105
c) Dobremos ao longo do segmento produzido pelos
dois cortes
d) Repita o processo de cortar e dobrar enquanto
possível
e) Finalmente, abra as dobras e empurre o
fractal
106
Figura final
107
Exemplo de fractais tridimensionais
108
CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
SUCESSÕES

• Definição e diferentes formas de representação

• Estudo de propriedades monotonia e limitação

• Progressões aritméticas e geométricas termo
  geral e soma de n ternos consecutivos

109
LIMITES

• Infinitamente grandes e infinitamente pequenos

• Limites de sucessões e convergência

• A convergência das sucessões monótonas e
  limitadas

• Problemas de limites com progressões.

110
COMPETÊNCIAS DESENVOLVIDAS

• Aplicação de conteúdos a situações problemáticas
  reais

• Estabelecimento de conexões entre a matemática e
  outras disciplinas (economia, meteorologia,
  biologia e etc.)

• Uso da calculadora e do computador

111
Finalização

• A matemática é uma estrutura de conhecimentos
  inteligentes e dinâmicos

• Quando bem articulada, pode prever o futuro de
  certos comportamentos, o que torna, a nós
  matemáticos, especiais e diferenciados

• Não devemos continuar a insistir apenas em
  fórmulas nas nossas aulas. Não resolve.

112
Quanto à pergunta do aluno para que serve isto,
professor (a)?

• Serve para, foi desenvolvido em, pelo
  matemático, no ano de , tinha como finalidade,
  pois em sua época, enquanto hoje podemos aplicar
  em

Esta sequencia fascina o aluno, pois são
respostas, argumentos, de que ele precisa para
sacrificar sua juventude em cima dos livros.
Prof. Aguinaldo Prandini Ricieri.
113
Houve quem criticasse a matemática por falta de
contacto com a realidade.
A história do caos é apenas uma das muitas que se
desenrolam correntemente e que mostram que esta
crítica é descabida.
É como criticar um pulmão por não bombear sangue.
Deus joga aos dados? Ian Stewart
114
FIM