Tema 6. C

1
Tema 6. Cálculo deductivo en lógica de primer
orden

• a. Conceptos básicos

2

• En un tribunal inglés, un hombre llamado Home,
  que acusaba a un vecino de asesinato, fue
  procesado por calumnias. Sus palabras exactas
  fueron "Sir Thomas Holt tomó un hacha y golpeó a
  su cocinero en la cabeza, de modo que una parte
  de la cabeza cayó sobre un hombro, y la otra
  parte sobre el otro hombro".
• Home fue absuelto, a indicación del tribunal los
  doctos jueces declararon que sus palabras no
  constituían una acusación de asesinato, ya que no
  afirmaban que el cocinero hubiese muerto esto
  era una simple inferencia.
• (Ambrose Bierce, Diccionario del diablo)

3
La deducción de primer orden

• Las nociones básicas de deducción en L1 son
  idénticas a las de L0 la idea es progresar desde
  ciertas premisas (o, a veces, ninguna) hasta
  cierta conclusión aplicando determinadas reglas
  de inferencia.
• La diferencia es que, al tener fórmulas más
  complejas, con nuevos símbolos, necesitaremos
  nuevas reglas que los involucren esto se aplica
  especialmente a los cuantificadores y la
  identidad.

4
La deducción de primer orden

• Es decir, el cálculo de predicados hereda todas
  las reglas de inferencia que empleábamos en el
  proposicional, y añade unas cuantas más.
• Al igual que teníamos reglas de introducción y
  eliminación para cada conectiva, necesitaremos
  reglas de introducción y eliminación de los dos
  tipos de cuantificador.
• La eliminación del cuantificador consiste en una
  ejemplificación.
• La introducción del cuantificador es la inversa
  consiste en generalizar desde un ejemplar

5
Ejemplificación (o particularización)

• Una idea crucial en la deducción de primer orden
  es la de ejemplificación.
• Ejemplificar es presentar un caso particular de
  una expresión cuantificada
• Universal 1. Todo el mundo es culpable
• ? 1. Gutiérrez es culpable
• Existencial 2. Alguno es culpable
• ? 2. Gutiérrez es culpable
• Nótese la diferencia Si 1 es verdad, 1 también
  lo es, pero si 2 es verdad, 2 no tiene por qué
  serlo.

6
Ejemplificación

• En términos formales, ejemplificar un
  cuantificador consiste en eliminar dicho
  cuantificador, sustituyendo todas las ocurrencias
  de la variable que liga, por una determinada
  constante individual
• ?xPx gt Pa
• ?x(Px ? Qx) gt Pa ? Qa
• ?x(Px ? Qx) gt (Pa ? Qa)
• OJO! ?xy(Px ? Qy) gt ?y(Pa ? Qy)
• ?xPx gt Pa
• ?xRxx gt Raa
• OJO! ?xyRxy gt ?yRay

7
Ejemplificación

• Un universal es como una conyunción gigante (tal
  vez infinita). Si afirmo
• Todo número par es divisible por 2
• es equivalente a afirmar
• 2 es divisible por 2 y 4 es divisible por 2 y 6
  es divisible por 2 y ... y 234738 es divisible
  por 2 y ...
• Un existencial es como una disyunción gigante
• Algún número par es primo
• equivale a
• 2 es primo o 4 es primo o 6 es primo o... o 76 es
  primo o

8
Ejemplificación

• Esto muestra por qué la ejemplificación de un
  enunciado universal se sigue siempre de dicho
  enunciado, mientras que la ejemplificación de un
  enunciado existencial no se sigue de él, es
  decir, no es su consecuencia lógica
• De (? ? ? ? ?) se siguen tanto ? como ? como ?
• De (? ? ? ? ?) no podemos decir que se sigue ? ni
  tampoco que se sigue ? ni ?, lo único que sabemos
  es que si aquella disyunción es verdadera, debe
  darse al menos uno de los tres, pero no sabemos
  cuál.
• Por tanto debemos tener mucho cuidado al
  ejemplificar un existencial

9
Introducir un cuantificador

• Introducir un cuantificador es la operación
  inversa de la ejemplificación desde un enunciado
  particular obtenemos uno más general, bien porque
  lo extendemos a la totalidad (universal), a una
  parte indeterminada de ella (existencial)
• 1. Gutiérrez es panameño
• ? 1 Todo el mundo es panameño
• 2. Gutiérrez es panameño
• ? 2 Alguien es panameño
• Ahora es 2 la que se sigue de 2, mientras que 1
  no se sigue de 1.

10
Introducir un cuantificador

• Podemos verlo de nuevo en términos de
  conyunciones y disyunciones
• De ? se sigue (? ? ?) y por tanto también se
  sigue
• (? ? ? ? ? ? ...), que viene a equivaler a un ?.
  
• De ? no se sigue (? ? ? ? ? ? ...), que viene a
  equivaler a un ?.
• Por tanto en este caso hay que tener cuidado con
  la introducción del universal

11
Resumen

• Tendremos 4 casos
• ELIMINACIÓN DEL UNIVERSAL
• INTRODUCCIÓN DEL EXISTENCIAL
• INTRODUCCIÓN DEL UNIVERSAL
• ELIMINACIÓN DEL EXISTENCIAL
• Los casos problemáticos son 3 y 4, de manera que
  comenzaremos por los menos problemáticos.
• Lo haremos primero de manera informal y luego
  formal.

12
1. Eliminación del universal

• Consideremos esta deducción
• A. Todo mayordomo es un criminal
• B. Adams es mayordomo
• Por tanto C. Adams es un criminal
• cómo llegamos de A a C?
• Un modo informal de verlo es
• (A) nos dice que si uno es mayordomo, es un
  criminal, así que si Adams es mayordomo, Adams es
  criminal
• (B) nos da el antecedente del condicional
  anterior
• Por tanto, (C) resulta de aplicar un modus ponens
  sobre ese condicional.

13
1. Eliminación del universal

• Lo que hemos hecho es ejemplificar (A),
  eliminando el universal, para aplicar aquello que
  afirma (A) a un individuo cualquiera (dentro del
  dominio sobre el que hablamos)
• En términos formales
• ?x(Mx ? Cx) Premisa
• Ma Premisa
• Ma ? Ca Eliminación del Universal 1
• 4. Ca MP 2, 3

14
1. Eliminación del universal

• Consideremos otro ejemplo
• A. Todo mayordomo odia a los cocineros
• B. Bert es mayordomo
• C. Carl es cocinero
• Por tanto, D. Bert odia a Carl
• En este razonamiento seguimos la misma pauta que
  en el anterior, pero teniendo en cuenta que, como
  estamos relacionando dos grupos, necesitamos
  particularizar en un individuo para cada grupo.
  Lo que (A) dice es si uno es mayordomo y otro es
  cocinero, el primero odia al segundo.

15
1. Eliminación del universal

• Veámoslo de manera formal
• ?xy((Mx ? Cy)? Oxy) Premisa
• Mb Premisa
• Cc Premisa
• ?y((Mb ? Cy)? Oby) EU 1
• (Mb ? Cc)? Obc EU 4
• Mb ? Cc IC 2, 3
• Obc MP 5, 6

16
1. Eliminación del universal

• Todo cuantificador lleva una variable. Al
  eliminar el cuantificador universal, miramos la
  fórmula que cae bajo su alcance y sustituimos las
  ocurrencias de la variable por una constante
  individual cualquiera.
• Sólo es factible eliminar el universal cuando el
  cuantificador es el símbolo dominante de la
  fórmula, i.e., cuando el cuantificador no se
  aplica sólo a una parte de la fórmula.
• ?x(Px ? Qx) gt Pa ? Qa
• ?x(Px ? ?yQy) gt Pa ? ?yQy
• ?xPx ? ?xQx gt Pa ? ?xQx INCORRECTO
• gt Pa ? Qa INCORRECTO
• ?y(Pb ? Qy) gt Pb ? Qa
• ?y(Pb ? Qy) gt Pb ? Qb

17
2. Introducción del existencial

• Consideremos esta deducción
• A. Adams es mayordomo
• Por tanto, B. Alguien es mayordomo
• Es decir, si decimos de un individuo particular
  que tiene cierta propiedad P, podemos decir que
  hay al menos un individuo que tiene dicha
  propiedad
• Ma Premisa
• ?xMx Introducción del Existencial 1

18
2. Introducción del existencial

• Para introducir el existencial en una fórmula,
  hay que sustituir cada ocurrencia de la misma
  constante en dicha fórmula por una misma
  variable, y colocar la fórmula bajo el alcance
  del existencial, con la variable en cuestión
• A. Bert envenena a Claire
• Por tanto, B. Alguien envenena a alguien
• Ebc Premisa
• ?xExc IE 1
• ?xyExy IE 2

• Podemos hacerlo en otro orden
• 1 Ebc Premisa
• 2 ?xEbx IE 1
• 3 ?yxEyx IE 2
• 3 y 3 expresan lo mismo

19
2. Introducción del existencial

• Al introducir cuantificador existencial,
  sustituimos por una variable cada aparición de la
  misma constante. Para constante diferente,
  introducimos un nuevo existencial, con una nueva
  variable
• Pa ? Qa gt ?xPx ? Qx INCORRECTO
• Pa ? ?xQx gt ?y(Py ? ?xQx)
• Pa ? ?xQx gt ?yPy ? ?xQx INCORRECTO
• Pa ? Qb gt ?x(Px ? Qb)
• Pa ? Qb gt ?x(Pa ? Qx)
• Pa ? Qb gt ?x(Px ? Qx) INCORRECTO
• ?x(Px ? Qb) gt ?y?x(Px ? Qy)
• ?x(Px ? Qb) gt ?x?x(Px ? Qx) INCORRECTO

20
3. Introducción del universal

• Consideremos esta deducción
• A. Las amas de llaves son psicópatas
• B. Los psicópatas juegan bien al mus
• Llamemos Ann al ama de llaves
• Por (A) sabemos que Si Ann es ama de llaves, Ann
  es psicópata. Concluimos que nuestra Ann es
  psicópata.
• Por (B) sabemos que si Ann es psicópata, juega
  bien al mus. Concluimos que Ann juega bien al
  mus.
• Por tanto, Si Ann es ama de llaves, Ann juega
  bien al mus. Pero lo que vale para Ann, vale para
  cualquier otro nombre que le hubiésemos dado. Por
  tanto
• C. Las amas de llaves juegan bien al mus

21
3. Introducción del universal
Nótese que esta deducción funciona igual sea
cual sea la constante individual por la que
sustituimos la x. Si en vez de a, usamos b o c
nuestra conclusión no varía. Es decir, la
conclusión se cumple para todo individuo del
dominio.

• En términos formales
• ?x (Ax ? Px) premisa
• ?x (Px ? Jx) premisa
• 3. Aa hipótesis
• ? 4. Aa ? Pa EU 1
• ? 5. Pa ? Ja EU 2
• ? 6. Pa MP 3, 4
• 7. Ja MP 5, 6
• 8. Aa ? Ja ICd 3-7
• 9. ?x (Ax ? Jx) IU 8

22
3. Introducción del universal

• Consideremos esta otra deducción
• Antonoff es un estrangulador búlgaro
• Por tanto,
• B. Todo el mundo es un estrangulador búlgaro ????
• (B) es a todas luces una conclusión absurda. Sin
  embargo, puede ocurrir que lleguemos a ella si
  aplicamos mal la Introducción del Universal
• Ea ? Ba Premisa
• ?x(Ex ? Bx) Introd. del Universal 1 ????

23
3. Introducción del universal

• El problema es que hemos generalizado desde un
  caso particular. Esto nos muestra una restricción
  en la aplicación de la Introducción del
  Universal
• NO DEBEMOS INTRODUCIR EL UNIVERSAL SOBRE
  CONSTANTES QUE APARECEN EN LAS PREMISAS
• De otro modo podríamos llegar a conclusiones que
  no se siguen de las premisas

24
3. Introducción del universal

• Veamos otro ejemplo
• Los búlgaros son inquietantes
• Llamemos B. Antonoff a un búlgaro.
• Por (A) sabemos que si Antonoff es búlgaro, es
  inquietante. Así que Antonoff es inquietante.
• Y lo que vale para Antonoff, vale para cualquier
  otro individuo, por ejemplo, Bertoff. Así que
• Si Antonoff es búlgaro, Bertoff es
  inquietante????
• De nuevo hemos llegado a una conclusión absurda
  que Bertoff sea o no inquietante no parece tener
  que ver con el que Antonoff sea búlgaro

25
3. Introducción del universal

• Veamos cómo llegar formalmente
• a ese absurdo
• ?x(Bx ? Ix) premisa
• 2. Ba hipótesis
• 3. Ba ? Ia EU 1
• ? 4. Ia MP 2, 3
• ? 5. ?xIx IU ????
• ? 6. Ib EU 5
• 7. Ba ? Ib ICd 2-7

El problema reside únicamente en el paso 5,
donde hemos universalizado sobre un individuo
que habíamos introducido en un supuesto (línea
2), y dicho supuesto aún no se ha cerrado.
26
3. Introducción del universal

• Esto nos muestra una segunda restricción en la
  aplicación de la Introducción del Universal
• NO DEBEMOS INTRODUCIR EL UNIVERSAL SOBRE
  CONSTANTES QUE APARECEN EN SUPUESTOS QUE AÚN NO
  HAYAMOS CERRADO
• Recuérdese que un supuesto sólo se puede cerrar
  por una Reducción al Absurdo o una Introducción
  del Condicional.

27
3. Introducción del universal

• Si no podemos introducir el universal sobre
  constantes procedentes de premisas o de supuestos
  no cancelados
• de dónde proceden las constantes sobre las que
  lo introducimos?

• De universales anteriores que hemos
  particularizado por la regla de Eliminación del
  Universal.
• La idea general es las conclusiones universales
  se obtienen desde enunciados universales

28
3. Introducción del universal

• Veamos otro ejemplo de una deducción bien hecha
• Los mayordomos son lacónicos
• Ningún lacónico es de fiar
• Por tanto C. Ningún mayordomo es de fiar
• 1. ?x(Mx ? Lx) prem. ?6. La ? Fa
  EU 2
• 2. ?x(Lx ? Fx) prem. ?7. Fa
  MP 5, 6
• ? 3. Ma hip. 8. Ma ? Fa ICd 3-7
• ? 4. Ma ? La EU 1 9. ?x(Mx ? Fx) IU 8
• ? 5. La MP 3, 4
• ...

29
4. Eliminación del existencial

• Consideremos esta deducción
• A. Hay un matemático psicópata
• B. Los psicópatas son buenos bailarines
• Por tanto C. Hay un matemático que es buen
  bailarín
• Un modo de razonar es el siguiente
• Por (A) sabemos de la existencia de un cierto
  individuo que es matemático y psicópata.
  Llamémosle Archie.
• Por (B) sabemos que si Archie es psicópata, es
  buen bailarín. Así que Archie es un matemático
  buen bailarín. Es decir, concluimos la existencia
  de un cierto individuo con estas dos propiedades.

30
4. Eliminación del existencial

• Formalmente
• ?x(Mx ? Px)
• ?x(Px ? Bx)
• ?3. Ma ? Pa (EE 1)
• ?4. Pa ? Ba EU 2
• ?5. Pa EC 3
• ?6. Ba MP 4, 5
• ?7. Ma EC 3
• ?8. Ma ? Ba IC 6, 7
• ?9. ?x(Mx ? Bx) IE 8
• 10. ?x(Mx ? Bx) EE 1, 3-9

31
4. Eliminación del existencial

• La idea general de la eliminación del ? es
• Ejemplificamos el ? en un individuo esto es muy
  similar a introducir un supuesto o a los casos en
  que damos un nombre arbitrario a alguien que
  desconocemos llamemos Smith al asesino...
• Derivamos usando nuestras reglas de inferencia.
• Llegamos a cierta conclusión podemos ahora
  sacarla fuera del supuesto (fuera de la barra),
  siempre y cuando no dependa de la elección de
  individuo que hagamos en el paso (i)

32
4. Eliminación del existencial

• Hay 4 casos generales en los que la elección de
  individuo para ejemplificar es incorrecta
• I. Aparece en las premisas
• II. Aparece en la conclusión a la que hemos
  llegado tras ejemplificar el ?
• III. Aparece en el enunciado cuyo ? eliminamos
• Aparece en un supuesto, o una eliminación de ?
  que hemos iniciado, y que no hemos cancelado

33
4. Eliminación del existencial

• I. Aparece en las premisas
• Alguien odia a Adams
• Supongamos que B. es Adams quien odia a Adams ?
• Por tanto, C. Alguien se odia a sí mismo
• 1. ?xOxa premisa
• ? 2. Oaa (EE1) ????
• ? 3. ?xOxx IE 2
• 4. ?xOxx EE 1, 2-3

34
4. Eliminación del existencial

• Aparece en la conclusión a la que hemos llegado
  tras ejemplificar el ?
• Alguien es un asesino
• Supongamos que B. Adams es un asesino
• Por tanto, C. Adams es un asesino ?
• 1. ?xAx premisa
• ? 2. Aa (EE1)
• ? 3. Aa rep 2
• 4. Aa EE 1, 2-3 ????
• Y podríamos continuar 5. ?xAx Todos somos
  asesinos!

35
4. Eliminación del existencial

• Aparece en el enunciado cuyo ? eliminamos
• A. Alguien envenena a alguien
• Supongamos que B. Adams es el envenenador
• Supongamos que C. Adams es el envenenado ?
• Por tanto, D. Alguien se envenena a sí mismo
• 1. ?xyExy premisa
• ? 2. ?yEay (EE1)
• ?? 3. Eaa (EE2) ????
• ?? 4. ?xExx IE 3
• ? 5. ?xExx EE 2, 3-4
• 6. ?xExx EE 1, 2-5

36
4. Eliminación del existencial

• Aparece en un supuesto no cancelado
• a) una eliminación de ? que hemos iniciado, y
  que no hemos cancelado
• A. Alguien es presidente de EEUU
• B. Alguien es presidente de Rusia
• Sea C. Adams es presidente de EEUU
• Sea D. Adams es presidente de Rusia ?
• Entonces, E. Adams es presid. de EEUU y Rusia
• Por tanto, F. Alguien es presid. de EEUU y Rusia

37
4. Eliminación del existencial

• Aparece en una eliminación de ? que hemos
  iniciado, y que no hemos cancelado
• 1. ?xPx premisa
• 2. ?xRx premisa
• ?3. Pa (EE1)
• ?? 4. Ra (EE2) ????
• ?? 5. Pa ? Ra IC 3, 4
• ?? 6. ?x(Px ? Rx) IE 5
• ?7. ?x(Px ? Rx) EE 2, 4-6
• 8. ?x(Px ? Rx) EE 1, 3-7

38
4. Eliminación del existencial

• Aparece en un supuesto no cancelado
• b) otro supuesto sin cancelar
• A. Alguien es presidente de EEUU
• B. Todo búlgaro es europeo
• Supongamos que C. Adams es búlgaro
• Supongamos que D. Adams es presid. de EEUU ?
• Por B y C sabemos, E. Adams es europeo
• Por tanto, obtenemos F. Adams es presid. de EEUU
  y europeo
• Por tanto, G. Si Adams es búlgaro, alguien es
  presid. de EEUU y europeo

39
4. Eliminación del existencial

• Aparece en otro supuesto no cancelado
• 1. ?xPx premisa
• 2. ?x(Bx ? Ex) premisa
• ?3. Ba hipótesis
• ?? 4. Pa (EE1) ????
• ?? 5. Ba ? Ea EU 2
• ?? 6. Ea MP 3, 5
• ?? 7. Pa ? Ea IC 4, 6
• ?? 6. ?x(Px ? Ex) IE 5
• ?7. ?x(Px ? Ex) EE 1, 4-6
• 8. Ba ? ?x(Ex ? Rx) ICd 3-7

40
Elección de individuo

• La idea fundamental, tanto en la Introducción del
  Universal, como en la Eliminación del Existencial
  es QUE LA DEDUCCIÓN NO DEPENDA DE LA ELECCIÓN
  PARTICULAR DE INDIVIDUO QUE HEMOS EFECTUADO.
• El problema no es que generalicemos desde
  ejemplares individuales, sino que lo hagamos
  desde propiedades circunstanciales de tales
  ejemplares.

41
Reglas de la identidad

• Introducción de la Identidad (reflexividad)
• En cualquier momento de una deducción podemos
  añadir como premisa que un individuo es igual a
  sí mismo
• Quien sea Jack el Destripador, es cruel
• Por tanto, B. Jack el Destripador es cruel
• 1. ?x(x a ? Cx) premisa
• 2. a a ? Ca EU 1
• 3. a a II
• 4. Ca MP 2, 3

42
Reglas de la identidad

• Sustitución de la Identidad
• Si dos individuos resultan ser el mismo, las
  propiedades de uno se extienden al otro
• A. Jack el Destripador es malvado
• B. Jack el Destripador es el médico del rey
• Por tanto, C. El médico del rey es malvado
• 1. Ma premisa
• 2. a b premisa
• 3. Mb SI 1, 2

43
Reglas de inferencia primitivas

• Eliminación del universal EU
• ?x ?
• ______
• ? x, c para cualquier constante individual c
• Introducción del existencial IE
• ? (c)
• _____
• ?x ?c, x siempre que x no ocurra en la fórmula
  ? (c)

44
Reglas de inferencia primitivas

• Introducción del universal IU
• ? (c)
• _____ siempre que c no esté en las premisas o en
  un
• ?x ?c, x supuesto no cancelado
• Eliminación del existencial EE
• ?x ?
• ? ? x, c
• ? ...
• ? ?
• ________ siempre que c no esté en ?, ni en ?, ni
  en
• ? las premisas, ni en un supuesto no cancelado

45
Reglas de inferencia primitivas

• Introducción de la identidad II
• _____
• t t para cualquier término individual
• Sustitución de la identidad SI
• c1 c2 c2 c1
• ? (c1) ? (c1)
• _______ _______
• ? c1, c2 ? c1, c2
• para cualquier ocurrencia de c1

46
Reglas de inferencia derivadas

• Tenemos ya las 6 reglas de inferencia primitivas
  para el cálculo deductivo de primer orden. Es
  decir, podemos realizar cualquier deducción con
  estas reglas, más todas las reglas heredadas del
  cálculo proposicional.
• Pero, como ocurría en aquel cálculo, hay una
  serie de reglas derivadas,que podemos obtener
  aplicando una secuencia de reglas primitivas y
  que nos permiten abreviar dicha secuencia.
• Veremos un ejemplo de demostración de cada regla
  derivada.

47
Eliminación del universal generalizada

• ?x1 ... xn ?(x1 ... xn)
• _________________
• ?x1 ... xn , c1 ... cn la constante puede ser
  la misma
• 1. ?xyz((Rxy ? Ryz) ? Rxz) premisa
• 2. ?yz((Ray ? Ryz) ? Raz) EU 1 x, a
• 3. ?z((Rab ? Rbz) ? Raz) EU 2 y, b
• 4. (Rab ? Rbb) ? Rab EU 3 z, b
• 1. ?xyz((Rxy ? Ryz) ? Rxz) premisa
• 2. (Rab ? Rbb) ? Rab EUG 1 x, a y/z, b

48
Introducción del existencial generalizada

• ? (c1 ... cn)
• _________________
• ?x1 ... xn ?(x1 ... xn) una variable distinta
  para cada
• constante distinta
• 1. (Pa ? Pb) ? Rab premisa
• 2. ?x((Px ? Pb) ? Rxb) IE 1a, x
• 3. ?yx((Px ? Py) ? Rxy) IE 2 b, y
• 1. (Pa ? Pb) ? Rab premisa
• 2. ?yx((Px ? Py) ? Rxy) IEG 1a, x b, y

49
Equivalencias entre cuantificadores

• Al hablar de formalización del lenguaje natural
  veíamos algunas equivalentes
• Nadie es perfecto
• ?xPx para cualquier x, x no es P
• es lo mismo que
• ?xPx no hay un x tal que x sea P
• Estas equivalencias no son sino instancias de la
  equivalencia general entre ? y ?
• ?x ? expresa lo mismo que ?x?
• Las 4 reglas derivadas siguientes se limitan a
  recoger esta equivalencia.

50
Definición del universal por el existencial

• ?x ? ?x?
• ______ ______
• ?x? ?x ?
• 1. ?x Px premisa
• ?2. ?xPx hipótesis
• ? ?3. Pa (EE 2)
• ? ?4. Pa EU 1
• ? ?5. Pa ? Pa IC 3,4
• ?6. Pa ? Pa EE 2, 3-5
• 7. ?xPx RA 2-6

Nótese que la EE en la línea 6 aparentemente
viola una restricción de la regla, dado que la
constante a aparece en la primera línea de
dicha EE. Pero nótese que, al obtenerse una
contradicción, podría obtenerse desde ella otra
contradicción cualquiera (o cualquier otra
fórmula).
51
Definición del universal por el existencial

• ?x ? ?x?
• ______ ______
• ?x? ?x ?
• 1. ?xPx premisa
• ? 2. Pa hipótesis
• ? 3. ?xPx IE 2
• ? 4. ?xPx ? ?xPx IC 1, 3
• 5. Pa RA 2-4
• 6. ?xPx IU 5

Nótese que la línea 2 abre una hipótesis, no una
eliminación del existencial. Dicha hipótesis se
cierra con una de las reglas apropiadas, en
este caso la Reducción al Absurdo
52
Definición del existencial por el universal

• ?x ? ?x?
• ______ ______
• ?x? ?x ?
• 1. ?xPx premisa
• ? 2. ?xPx hipótesis
• ? ? 3. Pa (EE 1)
• ? ? 4. Pa EU 2
• ? ? 5. Pa ? Pa IC 3, 4
• ? 6. Pa ? Pa EE 1, 3-5
• 6. ?xPx RA 2-6

Nótese que el juego entre la RA y la Eliminación
del Existencial es justamente el inverso a la
demostración de DUE ahora abrimos la EE dentro
de la hipótesis introducida con vistas a la
Reducción al Absurdo.
53
Definición del existencial por el universal

• ?x ? ?x?
• ______ ______
• ?x? ?x ?
• 1. ?xPx premisa 9. ?xPx RA 2-8
• ? 2. ?xPx hipótesis
• ? ? 3. Pa hipótesis
• ? ? 4. ?xPx IE 3
• ? ? 5. ?xPx ? ?xPx IC 2, 4
• ? 6. Pa RA 3-5
• ? 7. ?xPx IU 6
• ? 8. ?xPx ? ?xPx IC 1, 7

54
Negación del existencial al universal

• ?x ? ?x?
• ______ ______
• ?x? ?x ?

Negación del universal al existencial
?x ? ?x? ______ ______ ?x? ?x ?
En estas demostraciones se aplican estrategias
similares a las 4 anteriores. Quedan como
ejercicio.
55
Simetría de la identidad

• t1 t2
• ________
• t2 t1
• 1. a b premisa c1 c2
• 2. a a II ? (c1)
• 3. b a SI 1, 2
• Nótese que la regla de sustitución de la
  identidad no supone que sustituyamos todas las
  ocurrencias de la constante. En este caso nos
  limitamos a sustituir la a marcada en rojo.

56
Transitividad de la identidad

• t1 t2
• t2 t3
• ________
• t1 t3
• 1. a b premisa c2 c1
• 2. b c premisa ? (c1)
• 3. a c SI 1, 2
• La transitividad no es más que un caso especial
  de la sustitución de la identidad. Recuérdese que
  el igualador no es sino un predicado binario
  especial