Title: Problemas Cl
1Problemas Clásicos y Paradojas en laTeoría de
Probabilidades
2- El Rig Veda, entre 1400 y 1100 años A.C.
menciona el juego de dados. - La mitología griega atribuye su invención a
Palamedes, para entretenimiento de los soldados
durante el sitio de Troya, en el siglo X u XI
A.C.
3OBJETO
- La teoría de probabilidad estudia los fenómenos
llamados aleatorios (similares al juego de dados)
en los que el conocimiento de las condiciones
iniciales no permite predecir con exactitud la
evolución y el resultado final del fenómeno. - Sólo estudia aquellos fenómenos que pueden
repetirse ilimitadamente en las mismas
condiciones iniciales.
4LOS PIONEROS
- Galileo, Considerazione sopra il giuoco dei dadi,
1612 - Pierre Fermat, correspondencia con Pascal, 1654
- Blas Pascal, Traité du triangle arithmétique,
1654 - Huygens, Libellus de ratiocinii in ludo aleae,
1656 - Jakob Bernouilli, Ars conjectandi, 1705 y 1718
- Nikolau Bernouilli, De usu artis conjectandi in
jure, 1709 - Pierre Rémond de Montmort, Essay danalyse sur
les jeux de hazard, 1708 y 1713 - Abraham De Moivre, Doctrine of chances, 1718
- P.S. Laplace, Théorie analytique des
probabilités, 1812
5- Galileo (1564-1642)
- Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662)
Huygens (1629-1695) - Newton_________________________________
- 1642 1727
- Leibniz______________________
- 1646
1716 - Jakob Bernouilli_________
- 1654 1705
- Johan Bernouilli________________
__________ - 1667
1748 - Nikolaus I
Bernouilli___________________ - 1687
1759 - Montmort________________
6ESPACIO MUESTRAL DE 2 DADOS
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
A S 5 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)
7DEFINICIÓN CLÁSICA
Probabilidad de un suceso es la razón entre el
número de casos favorables y el número total de
casos posibles, siempre que nada obligue a creer
que alguno de estos casos debe ocurrir con
preferencia a los demás, lo que hace que todos
sean, para nosotros, igualmente
posibles. Pierre-Simon Laplace, Essai
philosophique sur les probabilités
8PROBLEMA DE GALILEOJuego del pasadiez
9CASOS FAVORABLES
Suma 9 Combinac. Casos Suma 10 Combinac. Casos Suma 11 Combinac. Casos Suma 12 Combinac. Casos
1-2-6 6 1-3-5 6 1-4-4 3 2-2-5 3 2-3-4 6 3-3-3 1 Total 25 1-3-6 6 1-4-5 6 2-2-6 3 2-3-5 6 2-4-4 3 3-3-4 3 Total 27 1-4-6 6 1-5-5 3 2-3-6 6 2-4-5 6 3-3-5 3 3-4-4 3 Total 27 1-5-6 6 2-4-6 6 2-5-5 3 3-3-6 3 3-4-5 6 4-4-4 1 Total 25
10LAS PROBABILIDADES EN EL PROBLEMA DE GALILEO
11CHEVALIER DE MÈRÈ1607-1684
- Antoine Gombaud -Caballero de Mèrè- fue un
escritor y matemático aficionado francés. Famoso
por haber planteado a Blas Pascal dos problemas
que dieron origen a la teoría de probabilidades.
12PROBLEMA I
- Probabilidad de obtener (al menos) un doble 6 en
24 lanzamientos de 2 dados - Cálculo de de Mèrè p 24(1/36) 2/3
- Cálculo de Pascal
13Problema II (de los puntos)
- AAAA AABB BBBA
- AAAB ABAB BBAB
- AABA BAAB BABB
- ABAA BABA ABBB
- BAAA BBAA BBBB
- ABBA
14GENERALIZACIÓN PROBABILIDADES DISTINTAS(DE
MONTMORT, 1708)
Problema de las coincidencias
15JEU DU TREIZE
Fórmula de inclusiones y exclusiones
16Pierre Rémond de Montmort (1678-1719)
- En correspondencia y amistad con Nicolás
Bernouilli y otras personalidades científicas de
su época. - Miembro de la Royal Society y de la Académie
Royal des Sciences. - Hizo reeditar la obra póstuma de Jacobo
Bernouilli Ars Conjectandi (1713). - Obra propia Essay danalyse sur les jeux de
hazard (1708) - Dueño del Château de Montmort.
17(No Transcript)
18Regularidad EstadísticaEssai philosophique sur
les probabilités (Laplace, 1814)
- 1. Londres, S.Petersburgo, Berlin, toda
- Francia
19Ensayos de Bernouilli Ley binomial,Jakob
Bernouilli, sus investigaciones entre 1684 y 1689
- Probabilidad de k éxitos en n ensayos
independientes
20Experimento de W. F. R. Weldon 26306
lanzamiento de 12 dadoscontando 5 o 6 como
éxito(carta a Galton, 1894)Distribución teórica
(ley binomial)
21Weldons dice experiment (26306 lanzamientos de
doce dados)
- Número de Frecuencia
Frecuencia Desvío - éxitos observada
teórica - __________________________________________________
_____________ - 0 185
203
-18 - 1 1149
1216 -67 - 2 3265
3345 -80 - 3 5475
5576 -101 - 4 6114
6273 -159 - 5 5194
5018 176 - 6 3067
2927 140 - 7 1331
1255 76 - 8 403
392
11 - 9 105
87
18 - 10 14
13
1 - 11 4
1
3 - 12 0
0
0
22ESPACIO MUESTRAL
- Cada evento A está representado por un conjunto
de resultados posibles (el conjunto de los casos
favorables al evento). - El evento A ocurre si y sólo si el resultado e
pertenece al conjunto A. No ocurre en caso
contrario. - Evento imposible Ø Evento seguro O
23PROBABILIDAD
24REGLAS BÁSICAS
25LEY DE LOS GRANDES NÚMEROSJakob Bernouilli
(1654-1705)
- Obra póstuma Ars Conjectandi, 1713
26El teorema de De Moivre-Laplace
27PROBABILIDAD GEOMÉTRICA
O
F
28Paradoja de Bertrand (1)
29Una cuerda se determina por su punto medio
30Paradoja de Bertrand (2)
31Paradoja de Bertrand (3)
32Elección de un punto al azar (con densidad
uniforme) en el disco unitario z 1
33Joseph Louis Bertrand1822-1900
- Ingeniero en Minas, matemático y economista
francés profesor en la École Polytechnique y el
Collège de France - Obras
- Traité élémentaire dalgebre,1851
- Traité de calcul differentiel et de calcul
integral,1864-70 - Théorie des Richesses ,Journal des Savants,
1883 - Thermodinamique, 1887
- Leçons sur la théorie mathématique de
lélectricité, 1890
34Paradoja de Monty Hall
Uno de los gabinetes contiene Un automóvil
35Diagrama de árbol
36Probabilidad de A2 dado B3
37Persistencia de la mala suerte
38Cálculo del valor medio E(N)
39OBJECIONES
- Si buscara el primer usuario que tardó menos que
yo en recibir el servicio, hallaría el mismo
resultado. - Réplica en nuestra memoria registramos más
vivamente cuando nos va mal que cuando nos va
bien. - Cualquier otro cliente podría hacer el mismo
razona-miento. - Réplica no es frecuente ponerse en el lugar del
otro
40Joaquín María Bartrina
- Guarda bien esta máxima en tu mente,
- consuelo del mortal atribulado
- no hay mal como el propio y el presente
- no hay bien como el ajeno y el pasado.
41SUCESIONES DE DÍGITOS ALEATORIOSTESTS DE
ALEATORIEDADPROBLEMA DEL COLECCIONISTA
42PROBLEMA DEL COLECCIONISTA
- Una colección C de n figuritas
- Se realizan compras sucesivas hasta lograr la
colección completa
43Probabilidad de que sea N rValor medio de N
44Caso especial n 10
- C 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- E(N) 10(11/21/3 1/10)
- 29.29 (aprox.)
45UN EXPERIMENTO CON DÍGITOS AL AZAR
- 04433 80674 24520 18222 10610 05794 37515
- 60298 47829 72648 37414 75755 04717 29899
- 67884 59651 67533 68123 17730 95862 08034
- 89512 32155 51906 61662 64130 16688 37275
- .
- N 29, 22, 25, 32
46- 29, 22, 25, 32, 32, 20, 35, 22, 30, 27,
- 36, 27, 21, 47, 31, 39, 39, 14, 25, 21,
- 40, 57, 39, 41, 30, 24, 17, 15, 29, 23,
- 24, 42, 27, 14, 17, 36, 36, 30, 21, 30,
- 47, 16, 17, 48, 23, 19, 17, 28, 20, 28
47Evolución del promedio
n 10 20 30 40 50 60
An 27.6 28.8 29.7 29.2 28.62 28.75
48Problema de los diez cazadores y las diez palomas
- Cazadores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- Palomas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- 94620 27963
- Salvadas 1, 5, 8
49Primer dígito significativo de un número N
elegido al azar en un anuario demográfico o de
producción agraria, industrial o minera
50(No Transcript)
51Anomalous numbersBenfords first-digit law
52RADIOS ORBITALES EN EL SISTEMA SOLAR
53UN CASO REAL
- En los años 70 la fiebre hemorrágica, también
conocida como mal de los rastrojos o mal de
Junín afectaba al 1 de los peones rurales en la
provincia de Buenos Aires. - Un equipo de investigadores ensayó una vacuna en
200 peones escogidos al azar, ninguno de los
cuales contrajo la enfermedad. - Es evidencia en favor de la vacuna?
54Aplicación de la ley binomial
55Aproximación de Poisson
56Muchas gracias a todospor haber venido
y en especial al Ing. Fazzini, a quien
corresponde el mérito de la presentación