Tema 4. C

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Tema 4. Cálculo deductivo en lógica proposicional

• b) Deducibilidad, teorema, interdeducibilidad

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Deducible

• Una fórmula ? es deducible de una fórmula ? si es
  posible obtener ? desde ? aplicando una serie de
  reglas de inferencia.
• Ejemplos
• q es deducible de (p ? q) (Eliminación de
  conyuntor)
• (r ? s) es deducible de r (Introducción de
  disyuntor)
• p no es deducible de (p ? q)
• r no es deducible de (q ? r)

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Deducible

• En general, una fórmula ? es deducible de un
  conjunto de fórmulas?1... ?n si es posible
  obtener ? desde ?1... ?n aplicando una serie de
  reglas de inferencia.
• Ejemplos
• q es deducible de (p ? q), p (Modus ponens)
• r es deducible de (r ? p), (q ? p)
  (Eliminación de conyuntor, Eliminación de
  disyuntor por negación)

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Teorema

• Las reglas de Reducción al Absurdo e Introducción
  del Condicional permiten empezar una deducción
  sin utilizar ninguna premisa.
• Si podemos cerrar la RA o la ICd con la que hemos
  comenzado, la fórmula así obtenida será una que
  no requiere de premisa alguna para su
  demostración.
• Ejemplo
• ? 1. p (hipótesis)
• ? 2. q ? p ID 1
• 3. q ? p DCD 2
• 4. p ? (q ? p) ICd 1-3

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Teorema

• Este tipo de fórmula demostrable sin premisas se
  llama TEOREMA.
• Dado que un teorema es demostrable sin premisa
  alguna, eso significa que un teorema es deducible
  desde cualquier otra fórmula. El papel de esta
  fórmula es en realidad irrelevante
• 1. r premisa
• 2. (p ? (q ? p)) (hipótesis)
• ? 3. p ? (q ? p) NCC 1 Como se ve, la
• 4. (q ? p) EC 2 fórmula de la
• 5. q ? p NCC 3 premisa no desempeña
• 6. p EC 2 papel alguno.
• 7. p EC 4
• 8. p ? p IC 5,6
• 9. (p ? (q ? p)) RA 1-7
• 10. p ? (q ? p) DN 8

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Teorema

• Los teoremas no tienen por qué ser más difíciles
  de demostrar que las derivaciones con premisas.
  La dificultad depende de la complejidad de la
  fórmula a obtener, no del hecho de que empleemos
  premisas o no.
• De hecho, demostrar un teorema plantea una
  restricción en relación al modo de comenzar el
  ejercicio necesariamente debe empezar con la
  introducción de un supuesto, bien con vistas a
  una Reducción o a una Introducción de Condicional.

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Teorema

• Cualquier fórmula demostrable desde un teorema,
  debe ser a su vez un teorema.
• Supongamos que ? es un teorema y que ? es
  demostrable desde ?. Entonces existe la secuencia
  siguiente de pasos
• Demostramos ? sin premisas
• Aplicamos reglas de inferencia
• Obtenemos ?
• Como se ve, ? ha sido obtenida sin utilizar
  tampoco premisa alguna por tanto, ? es también
  un teorema

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Interdeducibilidad

• Si una fórmula ? es deducible desde ? y ? a su
  vez es deducible desde ?, decimos de ellas que
  son INTERDEDUCIBLES.
• Por ejemplo, (p ? (q ? r)) y ((q ?p) ? r) lo
  son
• 1. (p ? (q ? r)) Pr 10. (q ? p) ? r IC 8,9
• 2. p ? (q ? r) NCC1 11. ((q ? p) ? r) NDC
  10
• 3. p EC 2
• 4. p DN 4
• 5. (q ? r) EC 2
• 6. q ? r NDC 5
• 7. q ? p IC 6, 4
• 8. (q ? p) NCC 7
• 9. r EC 6

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Interdeducibilidad

• Si una fórmula ? es deducible desde ? y ? a su
  vez es deducible desde ?, decimos de ellas que
  son INTERDEDUCIBLES.
• Por ejemplo, (p ? (q ? r)) y ((q ?p) ? r) lo
  son
• ((q ?p) ? r) Pr ? 12. p ? p IC 10,11
• ? 2. p ? (q ? r) hip 13. (p ? (q ? r)) RA
  2-12
• ? 3. (q ?p) ? r NDC 1
• ? 4. (q ?p) EC 3
• ? 5. q ? p NCC 4
• ? 6. q EC 5
• ? 7. r EC 3
• ?8. q ? r IC 6,7
• ?9. (q ? r) NDC 8
• ?10. p EDN 2, 9
• ?11. p EC 5

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Paralelismo sintáctico-semántico

• Hay un paralelismo entre la tríada de propiedades
  que acabamos de ver y las nociones semánticas
  estudiadas el tema anterior
• SEMÁNTICO SINTÁCTICO
• Consecuencia lógica Deducibilidad
• Verdad lógica Teorema
• Equivalencia Interdeducibilidad

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Paralelismo sintáctico-semántico

• En otras palabras, da la impresión de que
• a) Las consecuencias lógicas de ? son deducibles
  desde ? y, a la inversa, lo que es deducible
  desde ? es consecuencia lógica de ?.
• b) Toda verdad lógica constituye un teorema y, a
  la inversa, todo teorema es una verdad lógica
• c) Dos fórmulas ? y ? equivalentes son
  interdeducibles y, a la inversa, dos fórmulas
  interdeducibles son equivalentes

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Paralelismo sintáctico-semántico

• Esta impresión es correcta (a), (b) y (c) se
  cumplen. Pero decir que da la impresión no es
  suficiente demostrar que (a), (b) y (c) se
  cumplen es tarea de la METALÓGICA.
• Esta disciplina se encarga de investigar qué
  propiedades tienen los sistemas lógicos.
• En virtud de cumplir (a), por ejemplo, diremos
  que el cálculo de la lógica proposicional es
  COMPLETO y CORRECTO
• No todo sistema lógico tiene estas propiedades.