LA RECTA DE REGRESI

1
LA RECTA DE REGRESIÓN

• CONTENIDOS
• Dependencia funcional y dependencia estadística
• Concepto de regresión
• Es buena la aproximación?
• Error cuadrático medio, varianza residual
• coeficiente de determinación lineal

2
Independencia - Dependencia

• Al estudiar dos características simultáneamente
  de una muestra
• están relacionadas? interdependencia? cómo lo
  hacen?
• altura vs peso. horas de estudio vs calificación
  en un examen.
• El objetivo principal es determinar el modo en
  que se relacionan.
• Dos variables pueden considerarse
• Independientes ? ninguna explica el
  comportamiento de la otra
• Dependencia funcional (exacta) ? Yf(x)
• Dependencia estadística ? está entre las dos
  anteriores

Dependencia funcional
Dependencia estadística
Independencia estadística
-

Grado de asociación entre dos variables
3
Estudio conjunto de dos variables

• A la derecha tenemos los datos obtenido
  observando dos variables estadísticas en varios
  individuos de una muestra.
• En cada fila tenemos los datos de un individuo
• Cada columna contiene los valores que toma una
  variable sobre los individuos.
• Las individuos no se muestran en ningún orden
  particular.
• Podemos representar las observaciones en un
  diagrama de dispersión (scatterplot). En él,
  cada individuo es un punto cuyas coordenadas son
  los valores de las variables.
• En primera instancia, pretendemos reconocer a
  partir del diagrama si hay relación entre las
  variables, de qué tipo y, si es posible predecir
  el valor de una de ellas en función de la otra.

Altura en cm. Peso en Kg.
162 61
154 60
180 78
158 62
171 66
169 60
166 54
176 84
163 68
... ...
4
Diagramas de dispersión o nube de puntos
Altura y peso de 30 individuos.
Pesa 76 kg.
Pesa 50 kg.
Mide 187 cm.
Mide 161 cm.
5
Relación entre variables.
Altura y peso de 30 individuos.
Parece que el peso aumenta con la altura
6
Relación entre variables.
Altura y peso de 30 individuos.
Parece que el peso aumenta con la altura
7
Relación entre variables.

• Qué recta explica mejor la relación
  peso-altura?
• mejor...en qué sentido?

Altura y peso de 30 individuos.
Parece que el peso aumenta con la altura
8
RECTA DE REGRESIÓN
Pendiente
yi
Ordenada en el origen
Error residuo
9
RECTA DE REGRESIÓN
Llamemos a u residuo, perturbación o error es
la diferencia que hay entre el valor observado de
la variable y y el valor que tendría (valor
estimado) si la relación fuera lineal, es decir,
través de la recta de regresión
IDEA hacer MÍNIMA la suma de los CUADRADOS de
los residuos.
10
EQUIVALE a buscar los coeficientes de la recta
hace MÍNIMA la suma de los CUADRADOS de los
residuos.
La recta de regresión de y sobre x es Es
decir, los valores de los coeficientes son
Covarianza
11
Es la recta de regresión una buena aproximación
de la nube de puntos?
Coeficiente de determinación
Diferencia entre el valor estimado y la media
observada Diferencia entre lo observado y la
media observada
Varianza residual ó error cuadrático medio Ayuda
a medir la dependencia.
VR
Coeficiente de correlación lineal de Pearson r
12
Covarianza de dos variables X e Y

• La pendiente de la recta de regresión es Sxy/ S2X
• El signo de la covarianza indica si la posible
  relación entre dos variables es directa o
  inversa.
• Directa Sxy gt0
• Inversa Sxy lt0
• Incorreladas Sxy 0
• La covarianza no dice nada sobre el grado de
  relación entre las variables.

13
Coef. de correlación lineal de Pearson

• La coeficiente de correlación lineal de Pearson
  de dos variables, r, nos indica si los puntos
  tienen una tendencia a disponerse alineadamente
  (excluyendo rectas horizontales y verticales).
• tiene el mismo signo que Sxy por tanto de su
  signo obtenemos el que la posible relación sea
  directa o inversa.
• r es útil para determinar si hay relación lineal
  entre dos variables

14
Propiedades de r

• Es adimensional
• Sólo toma valores en -1,1
• Las variables son incorreladas ? r0
• Relación lineal perfecta entre dos variables ?
  r1 o r-1
• Excluimos los casos de puntos alineados horiz. o
  verticalmente.
• Cuanto más cerca esté r de 1 o -1 mejor será el
  grado de relación lineal.
• Siempre que no existan observaciones anómalas.

Relación inversa perfecta
Relación directa casi perfecta
Variables incorreladas
-1
1
0
15
Coeficiente de determinación

• No mide la validez del modelo de regresión
  propuesto.
• Sí mide cuanto de la variabilidad se explica por
  la ecuación de regresión estimada.

16

• Hemos usado materiales de
• Julián de la Horra Navarro.
• Estadística aplicada, 3ª edición. Díaz de
  Santos.
• G.C. Canavós.
• Estadística y probabilidad. Métodos y
  aplicaciones. McGrawHill
• Francisco Javier Barón
• http//www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes
• Sara Mateo
• http//www.dea.uib.es/webpersonal/williamnilsson
  /archivos/Capitulo7.ppt

17
DE DÓNDE SALEN LOS COEFICIENTES DE LA RECTA DE
REGRESIÓN?
Qué a y b minimizan la suma de los cuadrados
de los errores cometidos?
MINIMIZAR
El valor que hemos aproximado para y con la
recta de regresión ?
Errores cometidos al aproximar por una recta