Optimaliz

1
Optimalizálási módszerek1. A lineáris vektortér

• Kiegészíto gépész levelezok 
• 2003/2004-es tanév II. félév

2
Vektorok, a lineáris vektortér - 1
Definíció (vektor) Vektoron rendezett szám n-est fogunk érteni. (Valós számokkal dolgozunk.) A szám n-esben szereplo számokat koordinátáknak nevezzük. A vektor rövid jelölésére vastagított kisbetuket használunk.Pl x(x1,,xn).
Definíció (két vektor összeadása) Legyen x(x1,,xn), y(y1,,yn) két n elemu vektor. A két vektor összege egy z(z1,,zn) harmadik vektor az alábbi szerint xy(x1y1,,xnyn)(z1,,zn)z
Az összeadás tulajdonságai - kommutativitás xyyx - asszociativitás (xy)zx(yz) - invertálhatóság bármely x,y esetén az xzy egyenletnek létezik z megoldása.
Definíció (Nullvektor, zérusvektor) Olyan 0-val
jelzett vektor, amelyre bármely x vektor esetén
teljesül az x0x összefüggés. 0(0,,0)
3
Vektorok, a lineáris vektortér - 2
Definíció (Vektor szorzása számmal) Legyen x(x1,,xn) egy vektor és ? valós szám. Az x vektor ?-szorosán azt a z ?x vektort értjük, amely képzési szabálya z ?x (?x1,,?xn)
A vektor szorzása számmal muvelet tulajdonságai- vektor disztributivitás ?(xy)?x?y- skalár disztributivitás (??)x?x?x- skalár asszociativitás (??)x?(?x)- egységelemmel szorzás 1xx
Definíció (Lineáris vektortér) Vektorok
összessége, melyben a fenti két muvelet
bevezetésre került.
4
Skaláris szorzat
Definíció (Két vektor skaláris szorzata) Legyen x(x1,,xn), y(y1,,yn) két n elemu vektor. Két vektor skaláris szorzatán azt az xy-nal jelzett valós számot értjük, amelynek képzési szabálya xy x1y1xnyn
A skaláris szorzat tulajdonságai- kommutativitás xyyx- disztributivitás (xy)zxzyz- skalár asszociativitás (?x)y?(xy)- pozitivitás xx ? 0 egyenloséggel akkor és csak akkor, ha x0.
5
A lineáris kombináció
Definíció (Vektorok lineáris kombinációja) Ha a b vektor az a1,a2,,an vektorok és a ?1,,?n valós számok segítségével a b?1a1?nan alakban áll elo, akkor azt mondjuk, hogy b az a1,a2,,an vektorok lineáris kombinációja ?1,,?n együtthatókkal.
Definíció (Generáló rendszer) Egy vektorrendszer részhalmazát a vektorrendszer generáló rendszerének nevezzük, ha a rendszer minden eleme eloáll a részhalmaz lineáris kombinációjaként.
Definíció (Független rendszer) Egy vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha egyetlen eleme sem állítható elo a többiek lineáris kombinációjaként. Egyetlen vektorból álló rendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha az nem a zérusvektor.
Definíció (Bázisrendszer) Egy vektorrendszer bázisrendszere (röviden bázisa) az olyan részrendszer, amely lineárisan független és generáló rendszer is egyidejuleg. A bázisrendszer által a rendszer minden eleme egyértelmuen fejezheto ki. Az így kapott lineáris kombinációban szereplo együtthatókat a vektor adott bázisbeli koordinátáinak nevezzük.
6
A Steinitz tétel
Tétel (Steinitz tétel, független és generáló forma) Egy vektorrendszer bármely lineárisan független részrendszerében a vektorok száma nem lehet több, mint bármely generáló részrendszerében a vektorok száma.
Tétel (Steinitz tétel, bázisforma) Egy vektorrendszer bármely bázisa azonos számú vektorból áll.
Definíció Mesterséges bázis e1(1,0,0,,0,0) e2(
0,1,0,,0,0) e3(0,0,1,,0,0) en-1(0,0,0,,1,0)
en (0,0,0,,0,1)
7
Vektorrendszer rangja
Definíció (Vektorrendszer rangja (mátrixrang, sorrang, oszlop-rang)) A vektorrendszer egy (bármely) bázisában lévo vektorok számát a vektorrendszer rangjának nevezzük. Jele rang(a1,a2,,an)  
Definíció (Lineáris altér és dimenziója (rangja)) Lineáris altérnek nevezzük egy vektorrendszer tagjai által generált összes lehetséges lineáris kombinációinak összességét. Ezen altér rangja megegyezik a vektorrendszer rangjával.
8
Bázistábla és tulajdonságai
Adott bázis esetén egy vektorrendszer tagjait koordinátáikkal egy táblázatba (úgynevezett bázistáblába) foglalhatjuk. A táblázat fejlécében felsoroljuk a rendszer tagjait, a tábla balszélén pedig felsoroljuk a bázisbeli elemeket. Maga a tábla a vektorok koordinátáit tartalmazza az adott bázisban a tábla balszélének megfelelo kiosztásban.  
a1 an
b1 t11 t1n

bm tm1 tmn
9
Pivotálás
Tétel Pivotálásbázisvektorcsere hatása a bázistáblára Ha a bázistáblában valamely vektornak (legyen az s indexu) valamely koordinátája (legyen az r indexu) nem zérus, akkor a bázisban az r indexu vektort kicserélhetjük a kiszemelt s indexu vektorra. A bázistábla ezáltal a következo módon változik meg
10
Ortogonalitási tétel
Tétel Ortogonalitási tétel Ugyanazon vektorrendszer két tetszoleges bázistáblája esetén fennáll a titk0 összefüggés. Itt ti az elso tábla i-dik sora, tk pedig a második tábla k-dik oszlopa kiegészítve olyan vektorrá, amelyben annyi koordináta van, mint a vektorrendszer tagjainak a száma, miközben a kiegészítés zérusokkal történik, kivéve a k-dik koordinátát, ahol a kiegészíto elem 1. A k-dik oszlopban a koordináták olyan indexelés szerint olvasandók, mint az elso tábla i-dik sorában.
11
Kompozíciós tétel
Tétel Kompozíciós tétel Legyen a bázistábla kezdetben olyan, hogy a bázisban az egységvektorok (mesterséges bázis) találhatók. Ekkor tetszoleges számú pivotálás után TYA. Sematikusan  
a1 an e1 em
e1 a11 a1n 1 0

em a1m amn 0 1
a1 an e1 em
b1 t11 t1n y11 y1m

bm t1m tmn y1m ymm
12
Mátrix rangja és inverze
Mátrix rangjának meghatározása Mátrix rangja meghatározható azáltal, hogy oszlopait vektoroknak tekintve hány vektort tudunk a bázisba bevonni az egységvektorok helyére. A rang a bevont oszlopok száma.   Mátrix inverzének meghatározása Négyzetes mátrix esetén ha a bázisba az összes oszlopot sikerült bevinni, akkor a bázistáblában az Y mátrix helyén keletkezik az eredeti inverze. A bázisban lévo vektorok indexeit a kiolvasásnál figyelembe kell venni.
13
Lineáris egyenletrendszerek és megoldásaik
Lineáris egyenletrendszerek és megoldásaik (általános megoldás) A lineáris egyenletrendszer Axb alakban írható fel. A bázistáblában az A oszlopai és a b oszlop szerepel, a bázisba pedig felvesszük az egységvektorokat. Ezt követoen a megoldás, ha van, pivotálások sorozatával kapható meg, mely során az egységvektorokat az A oszlopaira cserélgetjük ki. A megoldás (egy lehetséges), ha van, a b oszlopban keletkezik. Legyen az induló tábla particionálva az alábbi módon       A végso tábla      
a1 an b e1 em
e1 A11 A12 b1 Ek 0
em A21 A22 b2 0 Em-k
a1 an b e1 em
a1 Ek T12 q1 Y11 0
em 0 0 q2 Y21 Em-k
14
Lineáris egyenletrendszer általános megoldása
15
Bázismegoldás
Definíció A lineáris egyenletrendszer bázismegoldása Bázismegoldásnak nevezzük egy lineáris egyenletrendszer megoldását, ha a nembázisbeli koordináták zérusok, a bázisbeliek pedig nemzérusok. Degenerált bázismegoldásról beszélünk, ha a bázisbeliek között is elofordul zérus.   Definíció A lineáris egyenletrendszer nemnegatív bázismegoldásai Ha a bázismegoldásban a bázisbeli koordináták pozitívak akkor nemnegatív bázismegoldásról beszélünk.