Fonti:

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IDRODINAMICA FLUVIALE Prof. Enrico Foti
Fonti - Appunti del corso di Idraulica Fluviale
del Prof. Giovanni Seminara (Università di
Genova)
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• I processi di moto nei corsi dacqua possono
  essere descritti attraverso modelli
  interpretativi caratterizzati da diversi gradi di
  complessità, a seconda del problema che si vuole
  affrontare.
• Esistono
• Modelli tridimensionali (es. moto in unansa
  fluviale)
• Modelli bidimensionali (es. propagazione della
  marea in un bacino confinato)
• Modelli unidimensionali (es. propagazione di una
  piena fluviale)
• Modelli zero-dimensionali (es. riempimento/svuotam
  ento di un serbatoio)

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Nei corsi dacqua, nei canali artificiali e nei
canali lagunari, il campo di moto può essere
descritto adottando il modello di corrente,
individuando cioè una direzione prevalente del
moto, che è in generale ad andamento
curvilineo. Definite quindi sezioni
della corrente le intersezioni di essa con piani
ortogonali alla linea coordinata x prescelta per
rappresentare la direzione della corrente, si fa
riferimento a grandezze dinamiche (velocità,
quantità di moto, energia) mediate nel piano
della sezione. Esse risultato funzioni delle sole
coordinate spaziale x e temporale t.
x
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• Si noti che la scelta di x è in qualche misura
  arbitraria, non potendo essere in generale
  riferita allassetto tridimensionale della
  corrente, parte del quale (es. superficie libera
  e fondo mobile) è a priori non noto.
• Condizioni perché ladozione dello schema di
  corrente sia giustificato
• le curvature della linea dasse siano piccole
  (moti secondari modesti)
• le variazioni spazio-temporali della forma della
  sezione siano sufficientemente lente (vincolo di
  quasi-unidirezionalità del moto).
• Inoltre, adottando il modello unidimensionale si
  assume che
• la velocità verticale è più piccola di almeno un
  ordine di grandezza rispetto alla velocità
  orizzontale (vero nellipotesi di acque basse)
• la velocità trasversale è un ordine di grandezza
  più piccola rispetto a quella nella direzione
  prevalente del moto
• la superficie libera è orizzontale nella
  direzione trasversale (ovvero si trascurano le
  variazioni trasversali del carico pieziometrico)

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• Sotto le citate ipotesi, si può derivare
  lequazione unidimensionale che descrive il moto
  (rcost)
• in cui
• U è la velocità media nella direzione del moto
• W è larea della sezione
• b è un coefficiente di forma
• g è laccelerazione di gravità
• h è la profondità locale
• B è il perimetro bagnato
• b è la larghezza in supeficie
• è il valore medio della tensione
  tangenziale agente sul contorno bagnato
• è il valore medio della tensione
  tangenziale agente sulla superficie libera

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Il principio di conservazione della massa impone
invece che (rcost) in cui - Q è la portata
volumetrica che attraversa la sezione
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• Una corrente a superficie libera si dice in moto
  stazionario uniforme se è
• unidirezionale
• se le sue caratteristiche risultano indipendenti
  dal tempo e dalla coordinata spaziale che
  individua la direzione di moto.
• Condizioni necessarie per un assetto stazionario
  uniforme del moto sono
• alveo cilindrico
• moto pienamente sviluppato (non si risente di
  condizioni al contorno di monte o di valle)
• condizioni stazionarie alle sezioni di estremità

Nota Se la pendenza è modesta le sezioni
possono essere considerate verticali
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Nei moti stazionari uniformi, la linea
piezomatrica risulta parallela al fondo e
coincide con la linea del pelo libero. Il carico
totale è Poiché la portata Q, e quindi la
velocità U, è costante si può ricavare che la
linea dei carichi totali è parallela al fondo e
alla linea piezometrica
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Nel caso di moto uniforme si ricava che gli
sforzi tangenziali al fondo possono essere
espressi come in cui è il
raggio idraulico, oppure utilizzando il
coefficiente di conduttanza C E quindi la
velocità risulta o nella forma originale
proposta da Chezy
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• Il coefficiente di conduttanza C , o il
  coefficiente di Chezy c, dipende dalla
  distribuzione di velocità allinterno della
  sezione
• Per esempio, per sezioni di forma regolare, a
  partire da un profilo logaritimico di velocità,
  Marchi (1961) ha ricavato
• con
• numero di Reynolds della
  corrente
• f coefficiente di forma
• e scabrezza relativa

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• In condizioni di moto puramente turbolento, nella
  pratica professionale si usano le seguenti
  formule empiriche
• Gauckler (1868)- Strickler (1923)
• Bazin (1865)
• Ganguillet e Kutter (1869)

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(No Transcript)
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Spesso si deve affrontare lo studio di alvei in
cui le sezioni trasversali hanno forma
irregolare, costituite da porzioni caratterizzate
da profondità e scabrezze diverse. Spesso si deve
per esempio distinguere tra un letto di magra e
aree golenali. Un semplice approccio, in
questi casi, è quello di suddividere la sezione
in porzioni distinte caratterizzate da velocità
medie diverse ma pendenza del fondo costante. Si
noti che il raggio idraulico di ciascuna porzione
è determinato dalla porzione di contorno solido
in essa presente. Alle diverse porzioni si
applicano le considerazioni sul moto uniforme,
per esempio la portata complessiva si sommano i
contributi delle singole porzioni.
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Lo studio delle correnti stazionarie a superficie
libera, fondato sul modello 1-D, è finalizzato
principalmente al tracciamento dei cosiddetti
profili di rigurgito, cioè dellandamento della
superficie libera in tronchi quasi-cilindrici del
corso dacqua. Si definisce carico specifico
rispetto al fondo alveo Nel caso di portata
costante, esiste un tirante critico tale che
lenergia sia minima, ovvero Per determinarlo
deve essere soddisfatta la relazione
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Nel caso di sezione rettangolare, laltezza
critica è Nel caso di carico costante, si ha
invece Si evince che esiste un massimo della
portata in corrispondenza della profondità
critica
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Portata
Energia
Portata
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Definita la velocità critica come o in termini
della profondità media Ym W/b - UgtUc -gt
corrente veloce - UltUc -gt corrente lenta
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Definito il numero di Froude come Segue che a
meno del coefficiente correttivo a, si ha Fgt1 per
le correnti veloci e Flt1 per le correnti
lente. Si noti che assegnata la portata Q e le
caratteristiche dellalveo, a ogni pendenza del
fondo if è associata una profondità di moto
uniforme Yu e una profondità critica Yc.. Esiste
una pendenza critica tale che Yu e Yc
coincidono. Gli alvei con pendenza inferiore a
quella critica vengono detti a debole pendenza o
fluviali mentre quelli con pendenza maggiore di
quella critica si dicono a forte pendenza o
torrentizi. Le correnti uniformi sono veloci
negli alvei a forte pendenza e lente negli alvei
a debole pendenza. Si noti che tale condizione
dipende dalla portata assegnata.
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Profili stazionari in alvei cilindrici Nel caso
di alvei cilindrici e moto stazionario, le
equazioni di continutià e del moto
diventano In particolare, per come è stato
assunto il sistema di riferimento hzf Y per cui
lequazione del moto diventa con j pendenza
dei carichi totali, nellipotesi che il moto sia
una successione di moti uniformi per cui si può
scrivere
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Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza
costante Nel caso di alvei cilindrici a pendenza
costante lequazione del moto diventa Ovvero
che è lequazione dei profili stazionari (di
rigurgito) in alvei cilindrici.
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Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza
costante Lequazione Presenta alcuni casi
limite - se Y ? Yu allora j ?if e il profilo
tende a disporsi parallelo al fondo - se Y ?
Yc allora jdE/dY?0 e il profilo tende a disporsi
ortogonlae al fondo - se Y ? h allora j ?0 e
E ? Y (dE/dY?1) e il profilo tende a un asintoto
orizzontale.
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Profili stazionari in alvei cilindrici a
pendenza costante Alvei a debole pendenza
D1
D2
D3
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Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza
costante Alvei a forte pendenza
F1
F2
F3
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Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza
costante Alvei a pendenza critica
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Profili stazionari in alvei cilindrici a pendenza
costante Alvei orizzontali o acclivi Non hanno
profondità di moto uniforme questa tende ad
assumere valori infinitamente grandi al tendere
di if a zero.
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Il risalto idraulico Il passaggio da corrente
veloce a corrente lenta avviene attraverso la
formazione di un risalto idraulico.
Siano Yu, Uu, Yd e Ud i valori di profondità e
velocità a monte e a valle del risalto
rispettivamente. Si consideri lequazione di
bilancio della quantità di moto del volume di
controllo (assunto il fondo orizzontale).
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Il risalto idraulico Assunto il canale
rettangolare, di larghezza B, il volume di
controllo si assume abbastanza piccolo da
trascurare gli effetti degli sforzi tangenziali
al fondo. Il flusso della quantità di moto
(spinta dinamica) e la spinta idrostatica possono
essere espressi come
La conservazione del flusso di quantità di moto
nel caso di moto permanente implica che
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Il risalto idraulico Da tale relazione si
ricava Poiché la portata è QUYBqwB in cui
qw è la portata per unità di larghezza. Indicando
? Yd/Yu e Fu2 Uu2/(gYu) qw2/(gYu3), si può
scrivere Le cui uniche radici fisicamente
basate sono j1 (stato critico ? non si realizza
il risalto) e la relazione delle altezze
coniugate del risalto idraulico
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Il risalto idraulico Considerando lequazione di
continuità qwUY e il numero di Froude F
U2/(gY) qw2/(gY3), la relazione delle altezze
coniugate può essere utilizzata per trovare le
velocità (coniugate) a monte e a valle del
risalto, nonchè i rispettivi numeri di Froude.
Yd/Yu
Yd/Yu, Fd
Fd
Fu
Il risalto idraulico quindi induce un aumento
della profondità e una diminuzione della velocità
quando il moto da supercritico (Fugt1) diventa
subcritico (Fult1)
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Condizioni al contorno per il tracciamento dei
profili Il tracciamento dei profili di rigurgito
richiede che allequazione del moto vengano
associate opportune condizioni al contorno.
Poiché si tratta di unequazione del I ordine,
una sola condizione è sufficiente a determinare
la soluzione. Lo stato veloce di una corrente
uniforme rende il profilo condizionabile solo da
monte, mentre lo stato lento di una corrente
rende il profilo condizionabile solo da valle.
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Soluzione numerica dellequazione dei profili di
rigurgito Lequazione dei profili di
rigurgito può essere risolta nota una
condizione al contorno a monte (correnti veloci)
o a valle (correnti lente). Facendo riferimento a
un sistema di riferimento orizzontale, si può
usare la profondità h invece di quella locale Y.
Inoltre notando che tutte le grandezze al secondo
membro sono funzioni di x e h , lequazione del
profilo di rigurgito può essere scritta in
generale come posssono essere
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Soluzione numerica dellequazione dei profili di
rigurgito La soluzione numerica è ricavata passo
passo in ogni sezione a partire da un assegnato
valore della quota della superficie libera
(condizione al contorno). Gli schemi più
utilizzati sono il metodo di Eulero e più
frequentemente il metodo di Eulero-Cauchy
(standard-step method). Nel caso subcritico
lintegrazione procede da valle verso monte,
dunque adottando lo schema di Eulero (metodo
esplicito) ovvero, secondo lo schema di
Eulero-Cauchy (metodo implicito) E importante
porre correttamente le condizioni al contorno, al
fine di avere la corretta e stabile integrazione
del profilo. Attenzione in alvei a forte
pendenza la soluzione risulta fortemente
condizionata dalla scelta di Dxn, che deve essere
sufficientemente piccolo!