Seminar

1
Sortiernetzwerke

• Seminar über Algorithmen
• SS 2005
• von Arash Sarkohi
• und Christian Bunse

2
Übersicht

• Einführung und Begriffe
• Laufzeit
• Entwickeln eines effizienten Sortiernetzwerks

3
Was ist ein Sortiernetzwerk

• Ein Sortiernetzwerk ist ein Vergleichsnetzwerk,
  das eine Eingabe sortiert

4
Was ist ein Vergleichsnetzwerk

• Ein Vergleichsnetzwerk besteht aus
  Vergleichselementen
• Es kann Vergleiche parallel durchführen
• Begriffe
• Eingabe/Ausgabesequenz Werte auf den
  Eingangs-bzw. Ausgangsleitungen

5
Das Vergleichselement
6
Das Vergleichselement
7
Das Vergleichselement
8
SortiernetzwerkeBegriffe

• Vergleichselement arbeitet in Zeit O(1)
• Tiefe einer Leitung Anzahl der VE, die auf der
  Leitung liegen
• Tiefe des Netzwerkes Maximale Tiefe einer
  Ausgangsleitung

9
Beispiel
10
Beispiel
11
Beispiel
12
Beispiel
13
SortiernetzwerkeBegriffe

• Sortiernetzwerk ist ein Vergleichsnetzwerk, in
  dem die Ausgabesequenz für jede Eingabesequenz
  monoton steigend ist.

14
SortiernetzwerkeLaufzeit

• Untere Schranke für die Anzahl der Vergleiche bei
  vergleichsbasierten Sortieralgorithmen
• Auch ein Sortiernetzwerk muss mindestens
• Vergleichselemente besitzen

15
SortiernetzwerkeLaufzeit

• gt Jedes Sortiernetzwerk mit n Eingängen muss
  mindestens die Tiefe haben.

16
Beispiel
17
Warum sind Netzwerke mit Tiefe nicht
trivial ?

• Direkte Umsetzung von bekannten Algorithmen in
  Netzwerke ist nur bedingt möglich
• Sequentielle Algorithmen sind nur bedingt
  parallelisierbar

18
Effiziente Sortiernetzwerke

• Es existiert in der Tat ein Sortiernetzwerk mit
  der Tiefe , allerdings mit
  riesigen Konstanten und nur schwer
  implementierbar
• Unser Ziel ist daher ein Sortiernetzwerk mit der
  Tiefe

19
Vorgehen

• Problemreduktion auf das Null-Eins-Prinzip
• Entwickeln eines bitonischen Sortierers
• Entwickeln eines Mischers
• Entwickeln eines Sortiernetzwerks mit Hilfe von
  Mischern

20
Problemreduzierung

• Ziel Arbeiten mit dem Alphabet 0,1 statt mit
  beliebigen Zahlen.
• Zu Zeigen Wenn SN für Eingabe aus 0,1 korrekt
  arbeitet, so arbeitet es auch korrekt für
  beliebige Eingaben.

21
Problemreduzierung

• Lemma Wenn ein Vergleichsnetzwerk die
  Eingabesequenz a (a1, a2, , an) in eine
  Ausgabesequenz b (b1, b2, , bn) umwandelt,
  dann transformiert das Netzwerk die
  Eingabesequenz
• f(a) (f(a1), f(a2), ,f(an)) für jede
  beliebige monoton steigende Funktion f in eine
  Ausgabesequenz f(b) (f(b1), f(b2), ,f(bn))

22
Null-Eins-Prinzip

• Wenn ein Vergleichsnetzwerk mit n Eingängen alle
  möglichen Sequenzen von Nullen und Einsen
  korrekt sortiert, dann sortiert es alle Sequenzen
  beliebiger Zahlen korrekt

23
Bitonisches Netzwerk

• Ziel Vergleichsnetzwerk, das bitonische
  Sequenzen sortiert

24
Bitonisches Netzwerk

• Def. Eine bitonische Sequenz ist eine Sequenz,
  die monoton steigt und dann monoton fällt oder
  zirkulär verschoben werden kann, so dass sie dann
  monoton steigend und dann monoton fallend ist.
• Beispiele
• (1,4,6,8,3,2) (6,9,4,2,3,5).

25
Bitonisches Netzwerk

• Bitonische Null-Eins-Sequenzen haben die Form
• oder für i,j,k gt
  0.

26
Bitonisches NetzwerkHalfcleaner

• ein Halfcleaner ist ein Vergleichsnetzwerk der
  Tiefe 1, bei dem für i1,,n/2 die Eingabezeile i
  mit der Zeile in/2 verglichen wird.
• alle Elemente der oberen Hälfte sind kleiner
  gleich alle Elemente der unteren Hälfte

27
Bitonisches NetzwerkHalfcleaner
28
Bitonisches Netzwerk

• Lemma Wenn die Eingabe eines Halfcleaners eine
  bitonische Sequenz ist, dann sind sowohl die
  untere als auch die obere Hälfte der Ausgabe
  bitonisch
• Bei Nullen und Einsen ist mind. eine Hälfte rein
  bitonisch (nur Einsen oder nur Nullen)

29
Bitonischer Sortierer

• Der Bitonische Sortierer n sortiert eine
  bitonische Eingabesequenz rekursiv durch einen
  Halfcleanern und zwei bitonischen
  Sortierern/2.

30
Bitonischer Sortierer
31
Bitonischer Sortierer
32
Bitonischer SortiererLaufzeit

• Die Tiefe D(n) kann durch die folgende
  Rekursionsgleichung berechnet werden

33
Bitonischer Sortierer

• Aus dem Null-Eins-Prinzip folgt, dass jede
  beliebige bitonische Sequenz in Tiefe log n
  sortiert werden kann.

34
Bitonischer SortiererVergleichselemente

• Anzahl der Vergleichselemente in einem
  bitonischen Sortierer

35
Mischnetzwerk

• Ein Mischnetzwerk ist ein Netzwerk, das zwei
  sortierte Eingabesequenzen zur einer verschmilzt.

36
Mischnetzwerk

• Idee bilde aus zwei vorsortierten Sequenzen eine
  bitonische, und sortiere diese wie gehabt.
• Invertiere dafür die zweite Eingabehälfte

37
MischnetzwerkÄquivalent zu Halfcleaner
38
Mischnetzwerk

• Das Netzwerk Mergern ist identisch mit dem
  bitonischen Sortierer, allerdings wird der
  Halfcleaner modifiziert.

39
Mischnetzwerk
40
Mischnetzwerk
41
MischnetzwerkLaufzeit

• Die Laufzeit ist identisch mit der des
  bitonischen Sortierers

42
Unser Sortiernetzwerk

• Der Sortierern sortiert eine beliebige
  Eingabesequenz rekursiv durch zwei Sortierern/2
  und einen Mischern.

43
Unser Sortiernetzwerk
44
Unser Sortiernetzwerk
45
Unser Sortiernetzwerk
46
Unser SortiernetzwerkLaufzeit

• Die Tiefe D(n) kann durch die folgende
  Rekursionsgleichung bestimmt werden

47
Unser SortiernetzwerkLaufzeit

• Damit können n beliebige Zahlen parallel in Zeit
• sortiert werden.

48
Unser SortiernetzwerkVergleichselemente

• Anzahl der Vergleichselemente

49
Ende!
50
Literatur

• Th.H.Cormen/C.E.Leiserson/R.Rivest/C.Stein
• Introduction to Algorithms, Second Edition